主講人：鐘煒（四川省自貢市榮縣教研室書記） 時間：2014年10月9日
“初中數(shù)學講座”分為若干個專題,每個專題分為幾個版塊。本文《對初中數(shù)學教材例題習題的處理策略與二次開發(fā)》分為五個版塊：一是對(初中數(shù)學)教材中例題處理的策略研究;二是淺談如何處理初中數(shù)學教材中的例題;三是淺談初中數(shù)學課本例習題的處理與學生思維品質(zhì)的培養(yǎng);四是淺談初中數(shù)學教材例題習題“二次開發(fā)”的策略;五是初中數(shù)學教材例題習題“二次開發(fā)”的策略研究。
版塊一:對(初中數(shù)學)教材中例題處理的策略研究
來源:百度文庫 日期:2013年1月9日
例題教學是課堂教學的主要環(huán)節(jié),切實加強各種例題的教學,對于學生理解和掌握好數(shù)學知識,培養(yǎng)能力,陶冶情操等都具有舉足輕重的作用.其實,教材所呈現(xiàn)的很多知識都是死的,例題的處理就是為了使教材知識在教學中活起來,因此,處理好教材中的例題才能有效地引導學生思考,才能使教學順利進行,才能提高課堂教學的效率.下面是我“如何處理初中數(shù)學教材中的例題”的一些做法和體會.
一、處理教材例題的原則
要處理好初中數(shù)學教材中的例題,達到自如駕馭教材,提高課堂效率的目的,就要遵循一定的原則：
1.1 目標性原則：每一節(jié)課的教學目標是課堂教學的出發(fā)點和歸宿,在課堂教學中起著導航的作用.教師對例題的“開發(fā)”必須圍繞教學目標進行,開發(fā)后的內(nèi)容要體現(xiàn)目標性原則,不同的教學目標決定著不同的處理方法.
1.2 科學性和現(xiàn)實性原則：數(shù)學知識具有嚴格的邏輯性和高度的科學性, “開發(fā)”的例題必須具有科學性.教師選擇和創(chuàng)造的例題要與學生的生活實際相結(jié)合,對于某些陳舊的、不適合社會發(fā)展的內(nèi)容要刪除,要把某些新進展的、具有時代性的內(nèi)容編成例題,從而充實學生的學習生活,充實教材內(nèi)容.
1.3 主體性原則：教師處理例題必須根據(jù)學生的具體情況,在內(nèi)容的呈現(xiàn)形式上要適合學生的年齡特點,滿足學生的需要,不同地區(qū)、不同基礎的學生應該采用不同的處理方式,做到因材施教.處理例題時還要注意培養(yǎng)他們解題的技能技巧,提高他們的數(shù)學學習能力,使學生學會學習.
二、處理教材例題的方法
首先要尊重教材,畢竟專家在編寫教材時是經(jīng)過從理論到實踐的多重思考與驗證的,教材中有許許多多現(xiàn)成的例題,它們能很好地實現(xiàn)教學目標,很好地促進學生的數(shù)學學習,對于這類例題,我們可以根據(jù)以往積累的成功經(jīng)驗直接傳授給學生.當然,在牢牢把握課時教學目標的前提下,可對教材中的某些例題作出合理 “開發(fā)”.處理后的例題是教師心中的教材,這教材不是原教材的復印,而是根據(jù)教學的目標任務、教材內(nèi)容以及學生的實際情況、運用恰當?shù)慕虒W方法與教學策略進行優(yōu)化整合的.只有這樣經(jīng)過優(yōu)化整合的教材,才能使它有效地內(nèi)化為學生的知識、能力與觀念.例題的再次“開發(fā)”,往往能促使學生的學習由“重結(jié)論輕過程”轉(zhuǎn)向“過程與結(jié)論并重”的方向發(fā)展,從而使學生達到“舉一反三”效果. 我們就如何“開發(fā)”例題方面總結(jié)出以下幾種方法：
2.1 不改變例題改變教學方法與教學策略
在平時的的教學中不但要積累成功的經(jīng)驗,還要總結(jié)失敗的教訓,并以此為鑒,才能使自已的教育教學水平得到提高.有時即使不改變例題而改變教學方法與教學策略,也能使我們的課堂教學起到事半功倍的效果.
2.2 利用教材中的例題改動一些小知識點
這是教師在上課時常用的方法,成特別是在講解計算型的題目時,如：合并同類項時,舉例2a+3a,我們給改成5a+6a或7b+2b,繼而再改成-2a+3b,然后再總結(jié)合并同類項的規(guī)律,這對教學效果是沒有任何影響的,同時這樣隨意改動,自已也覺得得心應手,會給自已增加自信心,自然也就提高了課堂教學效果.
2.3 改變題目的背景
有時為了激發(fā)學生的學習興趣,活躍課堂氣氛,不要忽視了課堂情感的投入,在上課時可以對題目的背景進行適當更改.教師有意識地進行題目背景的更換,使知識溶入在不同的背景中,選擇的背景是學生熟悉的事物和情景,這會讓數(shù)學教學因貼近生活而變得更加可親.讓學生在數(shù)學的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地,使數(shù)學課程更具現(xiàn)實性.
2.4 拓展例題的知識范圍
有的例題僅僅針對一個知識點,解決一個問題,但在實際教學時有時可能會根據(jù)實際情況,需要“借題發(fā)揮”,對例題的知識范圍進行拓展.例如在學習“變化中的三角形”這節(jié)課時,分析了三角形的面積公式S＝ah÷2中,“高h為6不變,底a變化時,有S＝ah÷2＝6a÷2＝3a,點明變量S怎樣隨著自變量a的變化而變化.在學生掌握了這個例題之后及時滲透行程等常用公式中因變量怎樣隨著自變量的變化而變化的例子,教學效果非常好.
2.5 創(chuàng)造全新的例題
教材處理過程中不能只盯著課本中的題目,應選擇和創(chuàng)造一些與學生的生活實際相結(jié)合的例題,增加一些書本上沒有但是今后又要用到的知識,以促進學生今后的發(fā)展.如在上因式分解時可增加“十字相乘法”等的相關例題,二次函數(shù)補充“交點式”等等.
三、“處理例題”的實踐階段
要開展好“處理例題”這項活動,就要關注好以下幾個階段：
3.1 例題的選取階段
題目涉及的知識要點應覆蓋本節(jié)課的內(nèi)容,有一定的代表性；所選例題要能體現(xiàn)“通法通用”, 遵循思維的認知規(guī)律,從易到難,循序漸進.所以所選例題不要一心追求偏、怪、難題,也不要貪多,要重視一題多解、一題多變,注重培養(yǎng)學生解題的能力.
3.2 指導學生分析階段
教師引導學生研讀例題,啟發(fā)學生積極思考例題中的有關問題,包括看懂例題、理解概念、分析問題、得出解題思路、完善解題步驟.
3.3 教師的講解階段
數(shù)學例題的講解分計算題、作圖題、證明題等,對不同類型的題目一般采用不同的方法,即使是同一種類型的題目也可以用多種思考的方法,
3.4 提高總結(jié)階段
例題解答之后,要引導學生反思解題過程,總結(jié)解題的經(jīng)驗教訓,對一些常用的教學方法,解題策略予以歸納概括,提示學生今后注意運用.對于學生易錯又不容易改正的習題要引導學生做好用好錯題集.
版塊二:淺談如何處理初中數(shù)學教材中的例題
作者:江蘇省興化市臨城中心校初中部 王愛榮
來源:百度文 日期:2013年10月31日
摘要：例題教學是初中數(shù)學課堂教學的重要環(huán)節(jié)。不少教師對教材的認識和理解不夠，往往忽略例題的典型性和示范性。例題教學教法單一，講解刻板，缺乏變通、創(chuàng)新，失去了例題教學應有的功能。切實加強各種例題的教學研究,處理好教材中的例題才能有效地引導學生思考,才能使教學順利進行,才能有效提高課堂教學的效率。
關鍵詞：例題教學 教學研究 開發(fā)改編 題后反思 提高效率
眾所周知，例題教學是初中數(shù)學課堂教學的重要環(huán)節(jié)。不但為學生提供解決數(shù)學問題的范例，揭示數(shù)學方法，規(guī)范思考過程，而且為其數(shù)學方法體系的構(gòu)建提供了基石。對于學生理解和掌握好數(shù)學知識,培養(yǎng)能力,具有舉足輕重的作用。然而，不少教師對教材的理解不夠，往往忽略例題的典型性和示范性，輕描淡寫，一帶而過，盲目選擇一些難題、偏題，進行題海戰(zhàn)術(shù)，導致學生恐懼、厭惡數(shù)學，適得其反。也有不少教師例題教學教法單一，照本宣科，講解刻板，缺乏變通、創(chuàng)新，失去了例題教學應有的功能。切實加強各種例題的教學研究, 處理好教材中的例題才能有效地引導學生思考,才能使教學順利進行,才能提高課堂教學的效率。下面談談我對“如何處理初中數(shù)學教材中的例題”的一些做法和體會。
一、要尊重初中數(shù)學教材
教材的編寫時是經(jīng)過從理論到實踐的多重思考與驗證的，凝聚專家學者的經(jīng)驗與智慧。教材中有許許多多現(xiàn)成的例題,它們能很好地體現(xiàn)教學目標,促進學生的數(shù)學學習。對于這類例題, 不能簡單的模仿、記憶，追求解題的難度和技巧，應著重讓學生體會例題蘊含的數(shù)學基本思想和方法，與本節(jié)課教學目標之間的內(nèi)在聯(lián)系。不僅要讓學生知其然，還要知其所以然。
二、將初中數(shù)學教材中的例題進行適當?shù)摹伴_發(fā)”
有些例題的背景比較抽象，缺乏生活氣息，如果將例題進行適當?shù)摹伴_發(fā)”，改編成與學生密切相關的生活情境，不僅可以激發(fā)學生的參與熱情，還能發(fā)揮學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力．處理后的例題是根據(jù)教學的目標任務、教材內(nèi)容以及學生的實際情況、運用恰當?shù)慕虒W方法與教學策略進行優(yōu)化整合的新教材。只有這樣經(jīng)過優(yōu)化整合的教材,才能使它有效地內(nèi)化為學生的知識、能力與觀念。例題的再次“開發(fā)”,往往能促使學生的學習由“重結(jié)論輕過程”轉(zhuǎn)向“過程與結(jié)論并重”的方向發(fā)展,從而使學生達到“舉一反三”效果。以下是我在例題“開發(fā)”方面做了一些嘗試：
1、改變教學方法與教學策略
在平時的的教學中不但要積累成功的經(jīng)驗,還要總結(jié)失敗的教訓,并以此為鑒,才能使自已的教育教學水平得到提高。有時即使不改變例題而改變教學方法與教學策略,也能使我們的課堂教學起到事半功倍的效果。
2、利用學生的典型錯誤，分析例題考查知識和技能，自我設計同類問題
在先學后教模式下，學生自主學習的過程中，在自我的認知和理解的基礎上完成相應的例題和習題，學生往往會出現(xiàn)一些典型錯誤。引導學生分析錯誤產(chǎn)生的原因，運用相應知識可能存在的問題，要求學生自我設計同類題目，加深了對這類問題的認識和理解。長期以往學生就會覺得得心應手,提高了自主學習的能力，增加自信心,自然也就提高了課堂教學效果。
3、改變題目的背景
有時為了激發(fā)學生的學習興趣,活躍課堂氣氛,不要忽視了課堂情感的投入,在上課時可以對題目的背景進行適當更改。教師有意識地進行題目背景的更換,使知識溶入在不同的背景中,選擇的背景是學生熟悉的事物和情景,這會讓數(shù)學教學因貼近生活而變得更加可親。如數(shù)據(jù)集中趨勢中的例題，過于陳舊，缺乏典型性。2008年北京奧運會射擊比賽中埃蒙斯的真實案例，最后一槍射到鄰座的槍靶上，第10發(fā)成績?yōu)?，如何評價這位運動員的射擊水平？情景真實，離學生生活很近，例題的改編激發(fā)了學生的學習興趣，收到了良好的教學效果。
4、拓展例題的知識范圍，觸類旁通，舉一反三
有的例題僅僅針對一個知識點,解決一個問題,但在實際教學時有時可能會根據(jù)實際情況,需要“借題發(fā)揮”,對例題的知識范圍進行拓展。例如在學習方程、不等式和函數(shù)知識，如何理解三者之間的關系，可以結(jié)合具體的例題，配合圖像讓學生理解函數(shù)的對應的本質(zhì)，函數(shù)是整個過程中的對應，不等式是某個范圍內(nèi)的對應，而方程式是某個瞬間的對應，加深學生對三者之間的關系的理解。
三、注重初中數(shù)學教材例題教學的解后反思
注重題后反思，積累經(jīng)驗，總結(jié)規(guī)律。葉圣陶先生說過:“什么是教育？簡單地說教育就是培養(yǎng)習慣?！比欢?，教師常常把例題解答完就了事，不對例題進一步挖掘，題后不引導學生對例題題型、思想方法、表述等進行反思，學生得不到解題反思的熏陶，沒有題后反思的意識，無法養(yǎng)成題后反思的習慣。所以例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內(nèi)容?？梢詮囊韵聝蓚€方面進行嘗試：
1、在解題的方法規(guī)律處反思。善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的。通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破思維定勢；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。
2、在學生易錯處反思。學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果! 如果我們的例題教學能抓住這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。
總而言之，數(shù)學題型千變?nèi)f化，教師所選的例題題型也應隨之變化多端。例題的恰當與否直接關系到學生對一節(jié)課的吸收程度，并且對他本身思維的培養(yǎng)，智力開發(fā)都是非常重要的，作為數(shù)學教師，切不能簡單粗暴的處理例題，隨意的亂舉偏題、難題進行教學的拓展。教師應認真?zhèn)湔n，選好例題，為例題教學作好充分準備，發(fā)揮例題應有的功能，去引導學生，去挖掘?qū)W生的潛能，從而開發(fā)他們的智力，提高學生學習的效率。
版塊三:淺談初中數(shù)學課本例習題的處理與學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)
來源:中學數(shù)學天地新浪博客 日期:2012年1月30日
初中數(shù)學新課改的目的就是提高數(shù)學教學的質(zhì)量，要提高數(shù)學教學的質(zhì)量，必須使學生擁有一個清醒和善于思維的頭腦.在課堂教學中，教師若能對課本例習題進行適當?shù)纳罨透母铮‘數(shù)剡M行引深與推廣，通過對問題的思考、推理、論證、變換等，不僅能開拓學生的解題思路，激發(fā)學生的學習興趣，而且還能有效地訓練學生的思維能力，培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，提高數(shù)學課堂教學的質(zhì)量，把教改推向深入.下面結(jié)合自己的教學實踐談談幾點粗淺認識.
一、一題多解，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性
“一題多解”有利于引導學生沿著不同的途徑去思考問題，由此可以產(chǎn)生多種解題思路.通過“多解”并比較，找出既新穎、獨特，又省時、省工的“最佳解”時，才能調(diào)動學生學習的積極性和主動性，激發(fā)學生的求知欲，才能培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.
例如，證明等腰梯形的判定定理：在同一底上的兩個底角相等的梯形是等腰梯形.（蘇科版九上）
我在講解時，引導學生從以下四個方面分析：（1）平移一腰，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和等腰三角形（2）過上底的兩個端點作高線，轉(zhuǎn)化為兩個全等的直角三角形和一個矩形（3）延長兩腰，轉(zhuǎn)化為兩個等腰三角形.這幾種證法分別用到了全等三角形的對應邊相等、等角對等邊、平行四邊形的性質(zhì)、等式的性質(zhì)等，體現(xiàn)了知識的縱向、橫向的結(jié)合；輔助線的添設也各有特色，展示了解決梯形問題的一般規(guī)律.這樣，對強化學生的解題技能、優(yōu)化學生的思維品質(zhì)具有重要的意義.
二、一題多變，培養(yǎng)學生思維的廣闊性
思維的廣闊性，也稱思維的廣度，是指思路寬廣，富有想象力，善于從多角度、多方位、多層次去思考問題，認識問題和解決問題.教師在對例題進行分析和解答后，若注意發(fā)揮例題以點帶面的功能，有意識地在例題基礎上進一步引伸擴充，挖掘問題的內(nèi)涵和外延，指導學生對新問題的探討，這對培養(yǎng)學生思維的廣闊性是大有裨益的.
例如，我在評講蘇科版九上《圓》復習題9時，我又把該題改編了化為：
已知：MN是⊙O的切線，切點為C，AB是⊙O的直徑.求證：點A、B到MN的距離之和等于⊙O的直徑.
此題看似一道很普通的習題，但經(jīng)過一番探索，不能發(fā)現(xiàn)它有豐富的內(nèi)涵.
（一）挖掘證明
思路1：連OC，證明半徑OC是直角梯形ABED的中位線.
思路2：連AC、BC，過C作CG⊥AB，證明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD＝AG，BE＝BG.
（二）挖掘聯(lián)系
從圖中不難發(fā)現(xiàn)：OD＝OE，AC、BC分別平分∠DAB、∠EBA，因此，本例實質(zhì)上是下面習題的再現(xiàn)：
（1）求證：直角梯形的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等
（2）設AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和⊙O在點C的切線垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.
又因為AB＝AD＋BE，所以它是下面習題的一種特殊形式：
（3）已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB＝AD＋BE，C為DE的中點，
求證：AC、BC分別平分∠DAB和∠EBA.
這樣通過典型范例的思路剖析，使學生牢固掌握了基本題型及解題規(guī)律，揭示了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，前后貫通，引伸拓寬，使學生的思維活動始終處于一種由淺入深，由表及里，由一題到一路的“動態(tài)”進程之中，形成了一條較為完成的知識鏈，而且能充分調(diào)動學生的學習積極性和主動性，激發(fā)學生探求知識的欲望，發(fā)展了學生思維的廣闊性.
三、一題帶類，培養(yǎng)學生思維的深刻性
根據(jù)考查同一知識點的需要，可以從不同的角度、結(jié)合不同的數(shù)學模型作出多種命題.因此，在大量的習題中，有不少題目存在共同的解題規(guī)律.我在處理這類習題時，不僅僅滿足于具體的方法，而是透過現(xiàn)象抓住本質(zhì)，講一個例題得一種方法，達到解一題得一法、明一類的目的，從而培養(yǎng)學生深刻性思維的能力.
四、留因探果，培養(yǎng)學生思維的獨創(chuàng)性
課本上習題具有很大的潛在價值.我在評講時，常常創(chuàng)設新穎情景，展示思維的時間和空間，使學生在積極的探究中學到知識，發(fā)展學生思維的獨創(chuàng)性.
例如：教學蘇科版九上“切線長定理”時，我設計了如下的問題：已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AB與OP相交與點C，根據(jù)已知的條件，寫出四個或四個以上不同類型的結(jié)論.
綜上所述，課本上的不少例習題內(nèi)涵豐富，對強化雙基，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力有極大的潛在價值.在課本例習題的教學中，教師若能根據(jù)題目的特點，挖掘其豐富的內(nèi)涵，多給學生創(chuàng)設思維活動的空間，引導學生進行適當?shù)挠^察、比較、猜測、引伸、拓寬等思維訓練，這不僅能把已學知識點串成線，線聯(lián)成網(wǎng)組成知識面，使學生解一題明一路，提高學習的效率；而且還可以有助于發(fā)展學生思維的廣闊性、培養(yǎng)學生思維的深刻性、提高學生思維的敏捷性、形成思維的創(chuàng)造性，能使學生形成良好的思維品質(zhì).
版塊四:淺談初中數(shù)學教材例題習題“二次開發(fā)”的策略
作者：admin 來源：中國原創(chuàng)論文網(wǎng) 日期：2014年3月2日
在新的課改程理念下，數(shù)學教材不再被看成像“圣經(jīng)”一樣，是教師上課誦讀、宣講的對象，而是看成教學的材料和學生主動建構(gòu)意義的對象。這就要求教師在教學設計中，結(jié)合學生的認知特點和心理規(guī)律，有效地分析教材、整合教材、創(chuàng)生教材，對教材進行再加工、再創(chuàng)造，使教材發(fā)揮其課程資源的應有功能，以提高課堂教學實效。二次開發(fā)教材的重要原則是，做到既尊重教材又超越教材，促使教材真正成為師生共同成長的有效載體。
如何進行例習題再利用教學，真正發(fā)揮例習題應有的教學價值呢？我在課堂教學中，注重課本例習題的探究，在探究課本例習題的過程中讓學生去發(fā)現(xiàn)、思考、釋疑。現(xiàn)例舉例習題常見設計進行說明：
1、增加或改變知識點，把結(jié)論適當延伸。
例題1：如圖⊙o1和⊙o2外切于點A，BC是⊙o1和⊙o2的公切線，B、C是切點，求證：AB⊥AC。
分析：講解例題時，可啟發(fā)學生用多種方法進行求證，特別強調(diào)“切線與過切點的半徑垂直”，為解決問題做好知識準備。
再利用設計1：如圖，延長例題1中的BA交⊙o2于E，延長CA交⊙o1于D，連BD、CE。
求證BD2=DA·DC。
分析：本題實際上是例題1的延伸。這道題的設計源于課本又高于課本，有助于考查學生運用所學知識分析問題、解決問題的能力。本題的結(jié)論可啟發(fā)學生利用例題結(jié)論結(jié)合切線的性質(zhì)通過相似三角形求證。
再利用設計2：如圖，在上題基礎上，過點D作⊙o2的切線DF，切點為F，求證：DB=DF。
分析：對于這一問學生可能不易找到正確的解題途徑，但通過分析，利用第一問結(jié)論再結(jié)合切割線定理便可得到證法。并由此歸納：證明兩條線段相等除運用全等三角形、等腰三角形的有關知識外，還可以運用比例線段的知識進行分析求證。
從不變中求變化，從變化中求規(guī)律，可以培養(yǎng)學生探究數(shù)學問題的能力。
2、變換例題中的條件或結(jié)論
例題2，如圖所示，某校小農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用一堵舊墻，其余各面用木棍圍成柵欄，該校計劃用木棍圍出總長為24m的柵欄.設每間羊圈的長為x（m），三間羊圈總面積S；
（1）寫出S與X之間的函數(shù)關系及自變量x的取值范圍。
（2）請計算，x取何時，面積S最大，最大面積是多少？
分析：本題求解時，學生很容易根據(jù)題目中的條件寫出S與X之間的二次函數(shù)關系及自變量的取值范圍，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出面積S的最大值。
再利用設計1：在上題基礎上，增加舊墻的長度為8m，所求解的問題不變。
分析：本題中自變量X的取值范圍因舊墻長度限制，由原來的0<X<6變化為4≤X
再利用設計2：已知二次函數(shù)y=x2+2x+a（0≤x≤1）最大值為3，求a的值。
3、改求證題為探索題。
例題3，已知如圖，BE、CD為△ABC的高，連結(jié)DE。
求證：∠ADE=∠ACB。
分析：本題欲證的結(jié)論為兩角相等，學生很自然去證兩角所在的兩個三角形相似，證明過程中，學生往往難以找到相似的條件——夾公共角的兩邊對應成比例。
再利用設計：把原題的結(jié)論開放，讓學生探究圖中共有幾對相似三角形，并寫出這幾對相似三角形。
分析：學生在探究圖中相似三角形過程中，啟發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)過程中的結(jié)論，從而有助于學生歸納運用相似三角形證明兩角相等、線段成比例等結(jié)論時的常規(guī)解題思路。
4、代數(shù)與幾何知識相互滲透。
例題4：如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水。修在河邊什么地方，可使所用的水管最短？
分析：這是一道重要的基本題，其解答并不難，如果對其進行引申和綜合，可加大其廣度和深度。
再利用設計：如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（4，— ），且在x軸上截得線段長AB=6。
（1）求二次函數(shù)的解析式。
（2）在y軸上作出一點（不寫作法）使PA+PC最小，并求P點的坐標。
分析：本題的第（2）題由已知A、C兩點在直線Y軸的同側(cè)，利用課本例題的思想方法，求出點A關于Y軸的對稱點A/，再求得直線A/C的解析式，直線A/C與Y軸的交點即為所求點P，從而求解。
版塊五:初中數(shù)學教材例題習題“二次開發(fā)”的策略研究
作者:浙江省富陽市新登鎮(zhèn)中學 盧華偉 來源:百度快照 日期:2011年8月21日
(注:本文在轉(zhuǎn)發(fā)中丟失了一些數(shù)據(jù)和圖表,各位讀者可到網(wǎng)上查閱原文)
摘要:以數(shù)學課程標準為依據(jù)，就初中數(shù)學例題、習題教學的現(xiàn)狀，進行列舉和分析，并結(jié)合教學實踐中的相關案例，緊緊圍繞教材例題、習題 “二次開發(fā)”的策略研究，運用例題、習題題目背景 “二次開發(fā)”的策略，例題、習題題目條件與結(jié)論 “二次開發(fā)”的策略，例題、習題題目基本圖形 “二次開發(fā)”的策略進行引導，尋求改進例題、習題處理的方法，以發(fā)揮其潛能．
關鍵詞:初中數(shù)學 例題習題 教學現(xiàn)狀 二次開發(fā) 策略研究
一、問題的提出
教材的“二次開發(fā)”，主要是指依據(jù)課程標準對教材內(nèi)容進行適度增刪、調(diào)整和加工，從而使之更好地適應具體的教育教學情景和學生的學習需求。教材的“二次開發(fā)”一方面服務于教師本人個性化的教學需求，體現(xiàn)出教師對教材內(nèi)容的理解與闡釋;另一方面也使原有的教材更適合于具體的教育教學情景，服務于學生的需要，有利于學生將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己知識結(jié)構(gòu)的組成部分. 教材的例題、習題是教材的重要組成部分，因此，對例題、習題的“二次開發(fā)”也就成為教材“二次開發(fā)”的重要部分. 筆者認為教材例題、習題的“二次開發(fā)”可以重點對題目背景、題目條件與結(jié)論、題目的解法、題目中的基本圖形進行“二次開發(fā)”.
現(xiàn)實教學過程中，教師對教材例題、習題 “二次開發(fā)”的意識不強，在備課中不能對例題、習題進行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造，在授課時也往往出現(xiàn)一筆帶過、草草了事的教學現(xiàn)狀，根本沒有很好的利用例題、習題的所潛在的價值，而教材例題、習題的“二次開發(fā)”能促使學生的學習方式由“重結(jié)論輕過程”向“過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界．正如數(shù)學教育家波利亞指出的：“一個有責任性的教師窮于應付繁瑣的數(shù)學內(nèi)容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但有不太復雜的題目去幫助學生發(fā)掘題目的各個方面，在指導學生的解題過程中，提高他們的才智和解題能力．”為此，筆者予以關注并參閱對例題、習題處理的相關知識“借題發(fā)揮”，結(jié)合案例分析，緊緊圍繞新課程標準標的要求進行探究，以期促進學生學會從多層次、廣視角，全方位的認識、研究問題，從而提高課堂教學的有效性．
二、數(shù)學課本例題、習題的教學現(xiàn)狀及歸因分析
數(shù)學課本上例題、習題是編者根據(jù)新課標的要求，進過深思熟慮安排的，具有很強的探究價值．教師對例題、習題進行“二次開發(fā)”，能提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和解決問題的能力．
(一)數(shù)學課本例題、習題的教學現(xiàn)狀
在數(shù)學教學中，例題與習題的教學是教學環(huán)節(jié)中的不可缺少的部分，這就要求教師能很好的處理例題、習題的教學，以促進學生更好的發(fā)展．可是在通常的教學中教師是否真正加以體現(xiàn)和落實呢？首先看一節(jié)數(shù)學課例題、習題教學片段實錄：
有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB 、AC上，問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？（浙教版《數(shù)學》九（上）P118頁4．4相似三角形的性質(zhì)）
師：請把題目讀一遍．
生：看題目，讀內(nèi)容．
師：哪位同學來講講？
生：同學們在思考中．
師：既然大家沒有思路，那我給大家講講．
生：抬頭聽老師講解．
師：講解完畢后，問：“懂了嗎？”
生：懂了．
師：好，那我們看下一個題目．
………………
師：課后把課本后面的習題完成，到時我們來對答案．
生：嗯．
………………
在講解例題時，教師經(jīng)常采用的幾種教學方法：（1）老師讀題，讀好后開始分析，然后問學生聽懂了沒有，在學生部分肯定，部分無語中結(jié)束例題的講解．（2）教師讀題后，給學生時間思考，由有思路的學生講解思路，在老師幫助下完成解答．（3）教師認為例題太過簡單，所以用其他的題目代替，要求學生課后自己去看一下例題．（4）用別人做好的課件，根本不知道哪個是例題． 教師對課本習題更加容易忽視，通常的方法是（1）布置習題，沒有下文（2）布置習題，之后快速校對答案．
教師在教學的過程中注重了教學環(huán)節(jié)的“流暢”，教學成為低效或無效的“走馬觀花”式的逛街場．長此以往，課堂教學模式基本上是灌輸—接受．教師往往會比較注重教學的結(jié)果，強調(diào)題海戰(zhàn)術(shù)。所以在數(shù)學教學課堂中經(jīng)常聽到教師一言堂的聲音，能聽到學生的聲音也無非是：“嗯”、“對”、“懂了”“知道了”等一些簡單的字詞，教學的效果可想而知：教師教的累，學生學得苦，難于拓寬學生的視野、貫通學生的思想，容易抑制學生主動性和創(chuàng)造性的發(fā)展．教師對例題、習題簡單操作也給學生起了一個示范作用，學生不會去重視課本例題和習題，僅僅把它們當成自己在完成眾多題目中的一個，不會去設疑、提煉、再創(chuàng)造，學生在平時面對的每一個題目都是那么的陌生，感悟不到題目之間的緊密聯(lián)系，只能在苦學、苦練中學習數(shù)學．教師沒有給學生提供較多的思考、動手和交流的機會，這對學生的發(fā)展是不利的．
（二）例題、習題教學現(xiàn)狀的歸因分析
1．新課改下，教師角色轉(zhuǎn)變不到位
《數(shù)學課程標準》指出數(shù)學課堂學生的學習方式開始逐步多樣化，樂于探究、主動參與勤于動手成為教學過程中教師的共識．課堂的組織形式也在一定程度上發(fā)生了變化，盡可能多地組織學生運用合作、小組合作等方式，在培養(yǎng)學生合作與交流能力的同時，調(diào)動每一個學生的參與意識和學習積極性．新課程標準指出：教師應引導和幫助學生主動去從事觀察、猜想、實驗、驗證、推理、交流等數(shù)學活動．從而使學生自己形成對數(shù)學知識的理解和有效地學習策略．教師充當?shù)慕巧墙M織者、合作者、引導者.正因為教師對新課程下的角色轉(zhuǎn)變不到位，才會出現(xiàn)一言堂的教學方式，忽略學生的主體地位，只要求把例題講完，布置好習題就算完成教學任務.
2．教師對課本例題、習題的“二次開發(fā)”意識不強
雖然在傳統(tǒng)的課堂教學情境中，教師對教材也不是完全的照搬照抄，為了達到有效傳遞學科內(nèi)容的目的，他們對教材內(nèi)容總是作或多或少的處理，但是，這種處理往往局限于數(shù)量的增減或局部內(nèi)容的處理.教師只是外在于他們的課程的執(zhí)行者，是“工匠”。在教學中對例題、習題多少也有點動作，但是，這種動作只是基于經(jīng)驗和直覺，遠未達到理性和自覺的認識。新課程倡導教師創(chuàng)造性地和個性化地運用教材，這意味著教師不再是外部課程的被動消費者，而是積極的開發(fā)者。教師對教材重要組成部分的例題與習題的“二次開發(fā)”，就能不斷豐富著自己的課程知識，創(chuàng)造著新的課程經(jīng)驗，成為自己專業(yè)生活的主人，同時才能真正體現(xiàn)新課標的要求.
三、初中數(shù)學教材例題、習題 “二次開發(fā)”的策略研究
數(shù)學課本中的例題、習題是課本內(nèi)容的重要組成部分，既是對課本知識的詮釋，也是對某些方法的演示，所以進行課本的例題、習題的“二次開發(fā)”，對于理解課本知識的內(nèi)涵，掌握基本解題方法有著重要的意義．筆者結(jié)合平時對例題、習題的“二次開發(fā)”提出策略
(一)例題、習題題目背景“二次開發(fā)”的策略研究
【案例】
如圖，小亮欲測量一電線桿AB的高度，他站在該電線桿的影子上前后移動，直到他身體影子的頂端正好與電線桿影子的頂端重疊，此時同伴測出小亮與電線桿距離BE=12m，小亮的影子長CE=4m．已知小亮的身高DE=1．7m
（1) 圖中△CDE和△CAB是否相似？請說明理由;
（2） 求電線桿AB的高度．（浙教版九年級上冊4．4-2作業(yè)本29頁第3題）
【分析】本題知識點（1）相似三角形的判定；（2）相似三角形的性質(zhì)．
1.改變遮擋物
（1）遮擋物為豎直的平面
小亮和他的同學利用影長測量旗桿高度如圖，1m長的直立竹竿的影長為1．5m．測量旗桿落在地上的影子為21m，落在墻上的影長為2m．求旗桿的高度．
【分析】通過把太陽光看成是平行光的原理,構(gòu)造相似三角形解決這類問題．
（2）遮擋物為斜坡
小亮在下午實踐活動課時, 測量西教學樓的旗桿高度．如圖,當太陽從西照射過來時,旗桿AB的頂端A的影子落在教學樓前的斜坡E處,測得在地面上的影長BD=20米,DE=2米,坡面與水平地面的夾角為30°．同一時刻一根長為1米的直立竹竿的影長為2．6米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果
保留兩個有效數(shù)）
【分析】增加三角函數(shù)和勾股定理的知識,使學生把相關知識貫穿在一起,及時鞏固．
（3）遮擋物的面數(shù)增加
小亮在下午實踐活動課后, 測量西教學樓的旗桿高度．如圖,當太陽從西照射過來時,旗 桿AB的頂端A的影子落在教學樓前的平地C處,測得在平地上EC=2米,地面上的影長BD=20米,DE=4米,坡面與水平地面的夾角為30°． 同一時刻一根長為1米的直立竹竿的影長為3．2米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果保留兩個有效數(shù)）
【分析】增加難度,原理不變,熟練地應用知識和技能,準確
把握解題方向．
（4）無遮擋物
小亮在下午實踐活動課, 測量東教學樓前水杉樹的高度．如圖,當太陽從西照射過來時,小樹AB的頂端A的影子落在司令臺的斜坡處,測得在地面上的影長BD=2米,坡面上影長DE=4米;同一時刻一根長為1米的直立竹竿的在平地上影長為2．6米，在坡面上影長3米為根據(jù)這些數(shù)據(jù)求樹的高度．（精確到0．1米）
【分析】本題利用地面影子在物高上找對應點把物高分成幾部分，構(gòu)造相似三角形解決問題．這樣的解決方法比較貼貼近生活實際，使思路非常明確．
2．移動參照物
（1）參照物的移動（1）
晚上，小亮晚自修結(jié)束回寢室途中，走到C處時，發(fā)現(xiàn)在點B上方的路燈A照得自己的影子CD的長為2米；繼續(xù)往前走4米到達E處時，這時自己的影子EF長為4米 ,已知小亮的身高為1．6米 ，路燈的高度等于多少？
【分析】這類題目有變量和不變的量，注意挖掘里面的等量關系．根據(jù)相似三角形對應邊成比例，并利用等量代換求解．
（2）參照物的移動（2）
小亮探究影子長度的變化規(guī)律，當他走到離路燈2米處時，其影子的頂點標記為H1，此時 影長為 米；當他繼續(xù)走到H1時，其影子的頂點標記為H2，此時影長為 米；當他繼續(xù)走到H2時，其影子的頂點標記為H3，此時影長為 米；…按這樣的規(guī)律繼續(xù)走當他走到Hn,其影子的頂點標記為Hn+1,此時影長為 米．
【分析】對題設條件進行變化，克服學生思維定勢．充分滲透數(shù)學猜想和歸納法，培養(yǎng)學生探究能力和發(fā)散思維能力．
教師有意識的進行題目背景的更換，將知識融入在不同的背景中，選擇的背景是學生熟悉的事物和具體的情景，讓學生在數(shù)學的世界里開拓出可供他們思索、探討和發(fā)展的用武之地，是數(shù)學課程更具現(xiàn)實性．
(二)例題、習題題目條件、結(jié)論“二次開發(fā)”的策略研究
【案例】試題來源（浙教版九年級上冊練習題）
已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且AB=BC,E為弧BC上的一點，求AE=BE+CE．
【分析】本題知識點（1）等邊三角形和全等的相關知識；（2）利用截長補短的解題方法．
1.一題多解
（1）利用截長方法的方法解題
解析：在AE上取點F，使得AF=BE,
≌ (SAS)
∴CF=CE
∴ 是等邊三角形
∴EF=EC
AE=AF+EF
∴AE=BE+CE
（2）利用補短的方法解題
解析：延長EB至點F,使BF=EC,
≌ (SAS)
∴ AE=AF
∴
∴ 是等邊三角形
∴AE=EF=BE+BF
即AE=BE+CE
（3）利用旋轉(zhuǎn)的方法解題
解析：將 順時針旋轉(zhuǎn) ，則 ≌
∴ 是等邊三角形，
(圓內(nèi)接四邊形對角互補)
∴
即點F、B、E三點共線
∴AE=EB+BF
即：AE=EB+EC
（4）利用平行的方法解題
解析：過點C作AE的平行線CF交圓于點F，連接AF.
（5）利用托勒密定理解題
解析：利用托勒密定理可得
是等邊三角形
∴AB=AC=BC
∴BE+EC=AE
新課程標準中提倡“通過解決問題的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗”．在數(shù)學教學中離不開習題講解，通過一題多解使學生加深知識的理解與內(nèi)化，培養(yǎng)學生思維的靈活性、創(chuàng)新性，提高學生解決實際問題的能力．
2.一題多變
變式1：在學習了《圓的基本性質(zhì)》后，小健為小康準備了如下問題：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且AB=BC,E為圓上不同于A、EB、C的任意一點，求AE=BE+CE．
【分析】本題關鍵是E點位置的不確定性，故在解決此題時
必須進行點E位置的討論，用到分類討論的思想．
變式2：已知如圖， 是等邊三角形， ,求AE=BE+CE
【分析】把圓的條件去掉后，還是可以用截長補短的方法解決．
變式3：已知如圖， 是等邊三角形， ，A,B,E,C四點共圓嗎？
變式4 |
變式3 |
變式4：在學習了《圓的基本性質(zhì)》后，小健為小康準備了如下問題：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且AB=BC,E為圓上不同于A、B、C的任意一點，，請你寫出AE、BE、CE之間的數(shù)量關系？
解析：設 ,
變式5 |
【分析】通過探究我們可以發(fā)現(xiàn) 是一個定值．
解析：連結(jié)AC, , ，同理可得
所以 ,而d等于正方形邊長的 倍，即為定值．
變式6：由變式5、變式6你能得出一個什么結(jié)論？
結(jié)論：圓內(nèi)接正多邊形各頂點到圓上任意一點的距離的平方和為定值．
數(shù)學“變式”練習是為了讓學生更加準確地掌握數(shù)學解題方法而采取的變換方式．在數(shù)學教學中進行數(shù)學“變式”練習幫助學生多角度地理解數(shù)學方法、化歸數(shù)學方法，使學生從“知識性”向“智力型”轉(zhuǎn)換“教師講例題，學生仿例題”的公式化的教學，阻止了學生思維的發(fā)展．所以在平時的例題和習題的教學中，應緊密結(jié)合例題、習題進行有目的、多角度的變式訓練.
教學中要善于“借題發(fā)揮”，進行一題多解，一題多變．同時引導學生去探索數(shù)學問題的規(guī)律性，能夠在生活中學以致用，增強學習的信心和興趣．
（三）例題、習題題目基本圖形 “二次開發(fā)”的策略研究
任何一個復雜的幾何圖形都是由若干個基本圖形組合而成的，將一個復雜的圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題必須具備的重要功能之一，而這種“離析”是在真正理解基本圖形的基礎上才能進行的．
1．重視基本圖形
（1）基本圖形的識別與性質(zhì)
【案例】試題來源（浙教版《數(shù)學》九（上）P118頁4．4相似三角形的性質(zhì)）
有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB 、AC上，問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？
【分析】此題涉及的知識點為三角形的相似，以及三角形相似的性質(zhì)．基本圖形為：三角形里面有一個正方形，且正方形的四個頂點分別在三角形的三邊上．性質(zhì)：相似三角形對應邊上的高線之比等于相似比
解析:設正方形邊長為x,△APN∽△ABC， , ，得x=48
（2）基本圖形在純數(shù)學題中應用
如圖，在Rt △ ABC中， ,AC=4,BC=3．
（1）如圖1，四邊形DEFG為△ ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長．
（2）如圖2，三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
(3)如圖3，三角形內(nèi)有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
(4)如圖4，三角形內(nèi)有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ ABC，求正方形的邊長．
圖1 |
圖2 |
圖3 |
圖4 |
【分析】此題主要還是考查基本圖形及其性質(zhì)，第4小題變成了一個探究規(guī)律的題目．
（3）基本圖形的在生活題中應用
小明在出墻報時，需要長48cm、寬4cm的彩色紙條鑲邊，現(xiàn)有如圖一張三角形彩色紙零件，其中BC=25cm,BC邊上的高為20cm，給出一種裁紙方法：將AB、AC分為五等分，然后如圖連接兩邊的對應的點，并以這些連接線為一邊作矩形，剪出這些小矩形紙條，用來為墻報鑲邊，問：這種方法能滿足鑲邊需要嗎？請說明理由．
【分析】此題為生活實際題，但圖形是基本圖形
2．重視對基本圖形的變式
【案例】已知：如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，AC=CE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°．求證： △CAB≌ △ECD． （選自七年級下 1．5全等三角形（3）作業(yè)題 ）
【分析】此題所涉及的知識點為：三角形的全等．
解析：
∴△CAB≌ △ECD
（1）對基本圖形變式1
弱化條件：AC=CE（線段相等）……結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似
如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D 在邊BC的延長線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°． 求證： △CAB∽ △ECD．
解析：
∴△CAB∽ △ECD
應用：如圖,正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B,C重合的任意一點，連接AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設BP的長為xcm,CQ的長為ycm．(1)求點P在BC上運動的過程中y的最大值；(2)當 cm時，求x的值．
【分析】此題能夠在復雜圖形中找出基本圖形，則解決就不成問題了．
（2）對基本圖形變式2
弱化條件：“直角”
如圖：在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,則△ABC≌△CDE．
解析：
∴△ABC≌△CDE
應用： 如圖，△ABC為等邊三角形，點D,E,F分別在邊BC,CA,AB上，且△DEF也為等邊三角形．除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；
解析：
∴△BDF≌△CED
∴BF=CD,BD=CE
（3）對基本圖形變式3
同時弱化條件：“線段相等”和“直角”
如圖，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE．
解析：
∴△ABC∽ △CDE
應用：如圖，在Rt△CAB中，∠CAB=90°，AB=AC=2,點D在BC上運動（不能到達點B,C）,過點D作∠ADE=45°，DE交AC于點E．
(1)求證：△ABD∽△DEC;(2)設BD=x,AE=y,求y關于x的函數(shù)關系式．
解析：可證明△ABD∽△DEC（AA），利用相似三角形對應邊成比例得出
在基本圖形的變式中，學生往往難以理解變式后的圖形與基本圖形之間的關系，嘗嘗會將基本圖形的本質(zhì)特征與所給問題的個別特征相混淆．為了排除非本質(zhì)屬性的干擾，在教學的起始階段，除利用基本圖形外，還應有意識地運用變式圖形，讓學生理解．
四、結(jié)論
1．教材例題、習題的“二次開發(fā)”有利于提高數(shù)學教學的有效性
蘇霍姆林斯基說過：“如果你追求的只是那種表面的，顯而易見的刺激，以引起學生對學習和上課的興趣，那你就永遠不能培養(yǎng)起學生對腦力勞動的真正熱愛”．研究表明，大量的題型復制、繁難的習題求解演示和解題術(shù)的記憶與重復等活動并不能讓學生有效地進行學習．教師對數(shù)學課本例題、習題的“二次開發(fā)”將大大提高數(shù)學教學的有效性．雖然我們經(jīng)常一節(jié)課只研究一個問題（進行一題多解和一題多變），有時到下課了還沒有研究結(jié)束，但這樣的教學效果特別好，學生得到的是思想方法，是情感體驗，是個性發(fā)展，學生會學，樂學，對數(shù)學知識理解深刻，獨立性高，知識遷移能力強．愛因斯坦說過：“學校教給學生什么樣的知識最有價值？那就是學生離開學校許多年之后，還留在學生大腦中的那一部分東西．”而這樣的教學，學生所形成的能力，是不會隨著時間而消逝的．
2．為最大限度地對例題、習題進行“二次開發(fā)”的研究，教師還需加強自身業(yè)務素質(zhì)的提高
以前我們常說：“要給學生一杯水，首先教師應該有一桶水．”但就眼前學生的發(fā)展來看，這一桶水顯然是不夠的．新《課程標準》對教學內(nèi)容、教學方法、教學模式、教學評價體系等方面都作了較大調(diào)整，對教師的基本素質(zhì)提出了新的要求．教師要努力提高自己靈活運用和開發(fā)教材的能力，加強自己探究性、創(chuàng)造性的指導能力，形成教學反思的習慣等，當教師自身業(yè)務素質(zhì)提高了，對數(shù)學課本例題、習題的“二次開發(fā)”就會游刃有余，也能充分發(fā)揮學生數(shù)學學習的主動性、創(chuàng)造性，很好的培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力．
總之，對數(shù)學課本例題、習題的“二次開發(fā)”，一方面教師的自身素養(yǎng)會在研究的過程沖不斷提高，數(shù)學課堂的會更加有效．另一方面在這樣的教學模式下能充分激起學生學習數(shù)學的興趣，并能主動地、自覺地去探究數(shù)學問題，有利于促進學生的發(fā)展．
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