平行四邊形是特殊的四邊形。本章我們在平行線、三角形和四邊形的基礎上進一步研究平行四邊形；并通過平行四邊形角、邊的特殊化，研究矩形、菱形和正方形等特殊的平行四邊形，認識這些概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確它們的內(nèi)涵與外延；探索并證明平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關性質定理和判定定理，進一步明確命題及其逆命題的關系，不斷發(fā)展學生的合情推理和演繹推理能力。
本章教學時間約需14課時，具體分配如下（僅供參考）：
18.1 平行四邊形 6課時
18.2 特殊的平行四邊形 6課時
數(shù)學活動
小結 2課時
一、教科書內(nèi)容和本章學習目標
（一）本章知識結構框圖
（二）教科書內(nèi)容
平行四邊形是常見的幾何圖形，既有豐富的性質，又在現(xiàn)實生活中具有廣泛的應用，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形的性質更加豐富、應用更加廣泛。
學生在第一學段已經(jīng)學習過平行四邊形，本學段七年級下冊“三角形”一章中研究了多邊形及其內(nèi)角和等內(nèi)容，包括四邊形及其內(nèi)角和；八年級上冊“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等三角形的性質。這些內(nèi)容是學習本章的重要基礎。
本章引言直接進入特殊的四邊形——平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形的學習，在平行四邊形的基礎上，學習矩形、菱形、正方形這些特殊平行四邊形。
“18.1 平行四邊形”主要研究平行四邊形的概念、性質定理和判定定理；在平行四邊形概念和性質的基礎上，介紹兩條平行線間距離的概念；作為性質定理和判定定理的一個應用，探究并證明三角形中位線定理。
“18.2 特殊的平行四邊形”首先研究特殊的平行四邊形：矩形和菱形，它們分別是有一個角是直角，或有一組鄰邊相等的特殊的平行四邊形。18.2.1和18.2.2分別研究矩形和菱形的概念、性質定理和判定定理，在矩形和菱形的基礎上，再研究它們的特殊情況：同時具有兩個特殊條件的平行四邊形：正方形，它是有一個角是直角的特殊菱形，或者是有一組鄰邊相等的特殊矩形。由此得出，正方形具有平行四邊形的所有性質。18.2.3給出了正方形的概念，并讓學生自己研究它的性質定理和判定定理。
本章重點是平行四邊形的概念、性質定理和判定定理。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們的性質定理和判定定理的研究方法，與平行四邊形性質定理和判定定理的研究方法一脈相承。兩條平行線間的距離相等、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等結論的探索與證明，都以平行四邊形和矩形的概念和有關定理為依據(jù)，是平行四邊形知識的綜合應用。另外，平行四邊形的性質定理，也常常是證明兩條線段相等、兩角相等、兩條直線平行或垂直的重要依據(jù)。所以掌握平行四邊形的概念、性質定理和判定定理，并能應用這些知識解決問題，是學好本章的關鍵。
本章教學內(nèi)容之間聯(lián)系比較緊密，研究問題的思路和方法也類似，推理論證的難度也不大。相對來說，平行四邊形與各種特殊平行四邊形之間的聯(lián)系與區(qū)別，是本章的教學難點。因為各種平行四邊形概念交錯，容易混淆。在應用它們的性質定理和判定定理的時候，有時會出現(xiàn)用錯、多用、少用條件的錯誤。教學中要注意結合教科書中的結構圖，分清這些平行四邊形的從屬關系，梳理它們的性質定理和判定定理，克服難點。
（三）本章學習目標
1．理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，了解它們之間的關系；
2．探索并證明平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質定理和判定定理，并能運用它們進行證明和計算；
3. 了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離；
4. 探索并證明三角形中位線定理；
5．通過經(jīng)歷平行四邊形以及特殊平行四邊形性質定理和判定定理的探索過程，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗和體驗，進一步培養(yǎng)學生的合情推理能力；
6．通過平行四邊形以及特殊平行四邊形的性質定理、判定定理以及相關問題的證明和計算，進一步培養(yǎng)和發(fā)展學生的演繹推理能力；
7．通過分析平行四邊形與各種特殊平行四邊形概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，使學生進一步認識特殊與一般的關系。
二、編寫時考慮的幾個問題
1．突出圖形性質定理和判定定理的探索與發(fā)現(xiàn)過程，通過合情推理發(fā)現(xiàn)結論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想
本章研究平行四邊形以及特殊的平行四邊形，圖形比較多，而且圖形的性質定理和判定定理也比較多。教科書呈現(xiàn)這些內(nèi)容時，注意突出圖形性質和判定的探索與發(fā)現(xiàn)過程，由觀察度量、實驗操作、圖形變換等方式，通過合情推理發(fā)現(xiàn)結論，形成猜想，運用演繹推理證明猜想。
例如，通過觀察度量，猜想平行四邊形的對邊相等、對角相等性質；通過平行四邊形的變形——角的變化，一個角為直角，探究并發(fā)現(xiàn)矩形的四個角都是直角、對角線相等等性質；利用菱形的軸對稱性，探究并發(fā)現(xiàn)菱形四條邊都相等、對角線互相垂直、對角線平分對角等性質。學生通過觀察度量、實驗操作、圖形變換等，運用合情推理，探究并發(fā)現(xiàn)結論，形成猜想，進而要求學生運用演繹推理對猜想進行證明，得出圖形的性質。把合情推理和演繹推理有機結合起來。
2. 強調從數(shù)學本身提出問題，通過圖形性質定理的逆命題，提出判定圖形是否成立的命題，運用演繹推理證明這些命題的真?zhèn)?，給出圖形的判定定理，進一步明確圖形的性質定理與判定定理之間的關系
在平行四邊形和特殊平行四邊形的判定定理的學習過程中，教科書從這些圖形的性質定理出發(fā)，通過這些圖形性質定理的逆命題，先指出判定圖形是否成立的命題，讓學生思考其真?zhèn)?，然后運用演繹推理證明這些命題的真?zhèn)?，從而給出圖形的判定定理。上述呈現(xiàn)方式，由命題及其逆命題角度出發(fā)，從數(shù)學本身提出問題，在證明判定定理的過程中，使學生進一步明確性質定理與判定定理之間的關系：從命題的角度說，它們之間有時是互逆的。比如，在“18.1.2平行四邊形的判定”，一開始，提出“思考”通過前面的學習，我們知道，平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。反過來，對邊相等、對角相等、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形嗎？也就是說，平行四邊形的性質定理的逆命題成立嗎？
3．加強“圖形的性質”和“圖形的變化”“圖形與坐標”等之間的聯(lián)系，從多種角度認識圖形的性質
教科書編寫時，重視上述部分內(nèi)容的聯(lián)系與綜合，上述部分是一個統(tǒng)一的整體，只不過關注的角度不同。例如，利用平移由平行四邊形引出菱形的概念，利用圖形的旋轉發(fā)現(xiàn)平行四邊形、矩形的性質，利用菱形的軸對稱性探究菱形的性質，習題中安排了在平面直角坐標系中表示平行四邊形與特殊平行四邊形的頂點坐標，利用圖形的頂點坐標證明平行四邊形與特殊的平行四邊形的性質等等都體現(xiàn)了“圖形的性質”和“圖形的變化”“圖形與坐標”之間的聯(lián)系。
4．強調轉化與化歸等數(shù)學思想方法
轉化與化歸是數(shù)學的常用的方法。在平行四邊形的學習中，我們通過連接對角線，把平行四邊形化歸為兩個全等的三角形，運用全等三角形的性質得出平行四邊形的性質；在探索并證明三角形的中位線時，又通過構造平行四邊形，把三角形中的問題轉化為剛剛學習過的平行四邊形的性質，利用平行四邊形的性質得出三角形的中位線定理；在矩形的性質的學習中，自然推出直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，把直角三角形中的問題轉化為矩形中問題，用矩形的性質進行證明，得出結論。教科書反復提到三角形與平行四邊形之間的互相轉化，通過三角形研究平行四邊形，運用平行四邊形的性質研究三角形的有關問題。編寫時，讓學生了解這些思想，引導學生通過添加適當?shù)妮o助線，把未知化歸為已知，運用已有知識解決問題，進一步提高學生分析問題、解決問題的能力。
5．注意與現(xiàn)實生活的聯(lián)系
平行四邊形是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中應用較廣的一種幾何圖形，尤其是矩形、菱形、正方形等特殊的平行四邊形。例如，引言、平行四邊形、菱形等概念，注意從實際引入；在研究性質和判定方法時，注意它們的實際應用；安排“實驗與探究 豐富多彩的正方形”，介紹正方形在實際中的應用；教科書的例、習題中也有一些實際應用的例子等等。這些材料都是從實際中提煉出來的，要通過這些知識的教學，幫助學生運用所學知識解決實際問題。還可以根據(jù)本地區(qū)的實際，選擇一些實際問題，引導學生加以解決，提高他們應用知識解決問題的能力。
三、對教學的幾個建議
1．關于平行四邊形的及特殊平行四邊形概念之間屬加種差、內(nèi)涵與外延之間的關系
概念、判斷和推理是思維的基本形式，概念是基礎，在概念本質屬性的基礎上進行判斷，在概念和判斷的基礎上進行推理。三者之中，概念是基礎。
本章概念比較多，概念之間聯(lián)系非常密切，關系復雜。由于平行四邊形和各種特殊平行四邊形的概念之間重疊交錯，容易混淆，弄清它們的共性、特性及其從屬關系非常重要。實際上，有時學生掌握了它們的特殊性質，而忽視了共同性質。如有的學生不知道正方形是矩形，又是菱形，也是平行四邊形，應用時常犯多用或少用條件的錯誤。教學時，不僅要講清矩形、菱形、正方形的特殊性質，還要強調它們與平行四邊形的從屬關系和共同性質。也就是在講清每個概念特征的同時，強調它們的屬概念，弄清這些概念之間的關系。在原有屬概念基礎上附加一些條件（種差），通過擴大概念的內(nèi)涵、減少概念的外延的方式引出新的種概念；同時在原有屬概念的性質和判定方法的基礎上，來研究種概念的性質和判定方法。
弄清這些關系，最好是用圖示的辦法。例如，教科書給出了平行四邊形以及特殊的平行四邊形的關系，研究正方形時給出了它與矩形、菱形之間包含關系的圖形。為了進一步明確上述概念的屬加種差的關系，對上述概念進行分類，也是明確概念的一種邏輯方法。通過分類，可以幫助學生更好地掌握概念，同時也學習一些分類的方法。在本章小結中，教科書通過圖示給出了本章主要概念之間的關系，要讓學生注意這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，進一步體會分類的思想。教學中要重視這些圖示的作用，讓學生弄清這些圖形之間的關系。
在弄清這些圖形之間關系的基礎上，還要進一步向學生說明概念的內(nèi)涵與外延之間的反變關系，即內(nèi)涵越小，外延越大；反之外延越小，內(nèi)涵越大。例如，正方形的定義中，包含四邊形、平行四邊形、矩形、菱形所有的特征，它的外延很小，而平行四邊形的外延很大。弄清了各種特殊平行四邊形的概念，各種平行四邊形之間的從屬關系也就清楚了，它們的性質定理、判定定理也就不會用錯了。
2．進一步培養(yǎng)學生的合情推理能力和演繹推理能力
從培養(yǎng)學生的推理論證角度來說，“平行四邊形”這一章處于學生初步掌握了推理論證方法的基礎上，進一步鞏固和提高的階段。本章內(nèi)容比較簡單，證明方法相對比較單一，學生前面已經(jīng)進行了一些推理證明的訓練。但這種訓練只是初步，要進一步的鞏固和提高。教學中同樣要重視推理論證的教學，進一步提高學生的合情推理能力和演繹推理能力。在推理與證明的要求方面，除了要求學生對經(jīng)過觀察、實驗、探究得出的結論進行證明以外，還要求學生直接由已有的結論對有些圖形的性質通過推理論證得出。另外，為了鞏固并提高學生的推理論證能力，本章定理證明中，除了采用嚴格規(guī)范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據(jù)題設和已有知識，經(jīng)過推理，得出結論。另外也有一些文字敘述的證明題，要求學生自己寫出已知、求證，再進行證明。這些對學生的推理能力要求較高,難度也有增加，但能激發(fā)學生的學習興趣，活躍學生的思維，對發(fā)展學生的思維能力有好處。教學中要注意啟發(fā)和引導，使學生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎上，推理論證能力有所提高和發(fā)展。
另外，在解決有關平行四邊形的問題時，反復運用了平行線和三角形的有關知識，因此本章內(nèi)容是平行線和三角形知識的深入和運用。獲得新知識后，要注意運用它們。隨著知識的豐富，學生解決問題的途徑也增多了。在學完本章后，要引導學生直接運用這些知識解決有關問題，避免再通過添加輔助線轉化為平行線或三角形來解決，防止學生總在熟悉的三角形中兜圈子，不會運用新知識來解決問題。
3．注意幫助學生梳理知識內(nèi)容
這一章的概念比較多，圖形的性質和判定方法也比較多。雖然難度都不是很大，但要全部記住這些定理，也要花費許多時間和精力。同概念教學一樣，解決這個問題也可以采用圖示的辦法。學完了一個知識點后，適時引導學生對所學內(nèi)容進行梳理，畫出主要內(nèi)容的圖表，有利于學生掌握圖形的概念和性質。例如，可以將正方形的有關內(nèi)容列成下圖：
類似地，我們也可以引導學生列出表示平行四邊形、矩形、菱形等圖形概念、性質、判定方法等的圖表，幫助學生理解這些概念。
4．關注信息技術的應用
在本章的教學中，有條件的學校還要關注信息技術工具的使用。利用信息技術工具，可以很方便地制作圖形，讓圖形“動”起來，許多計算機軟件還具有測量功能，這有利于我們在圖形的運動變化的過程中發(fā)現(xiàn)其中不變的位置關系和數(shù)量關系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質。
例如，本章許多圖形的性質都是可以運用信息技術讓圖形動起來，在運動變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質的。如平行四邊形對角線互相平分的性質，矩形性質的得出，利用軸對稱得到菱形的性質，探究中點四邊形的性質等。這種運動變化，許多信息技術軟件都能實現(xiàn)。另外，許多信息技術軟件具有測量功能，可以方便地測出角的大小和線段的長度，這有利于在運動變化中觀察它們之間的關系，發(fā)現(xiàn)圖形的性質等等。
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