【編者按】前不久的“數(shù)學(xué)深度教學(xué)十講之一”，引發(fā)了諸多讀者的共鳴與交流，今把其中的“十講之二”分享給大家。不妨前后結(jié)合起來閱讀，相信會(huì)有更大的收獲，如果產(chǎn)生了觀點(diǎn)上的碰撞，歡迎投稿到《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部的郵箱 shuxuetg@163.com。
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在第一講中，我們既提到了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，又認(rèn)為片面強(qiáng)調(diào)“人人都應(yīng)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”體現(xiàn)了狹窄的“學(xué)科性思維”。這兩者是否有一定的矛盾？恰恰相反。筆者以為，這十分清楚地表明了由“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”轉(zhuǎn)向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的重要性，后者可被看成這里所提倡的“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的一個(gè)重要內(nèi)涵，即我們應(yīng)當(dāng)由突出強(qiáng)調(diào)具體的數(shù)學(xué)方法和策略，轉(zhuǎn)變?yōu)樽⒅匾话阈运季S策略與思維品質(zhì)的提升。
還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，上述主張反映了這樣一種思考：數(shù)學(xué)教育應(yīng)為大多數(shù)將來未必會(huì)從事與數(shù)學(xué)有關(guān)行業(yè)的學(xué)生作出實(shí)質(zhì)性的貢獻(xiàn)。基于對(duì)波利亞相關(guān)思想的分析，我們可以更好地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。
具體地說，作為“問題解決”現(xiàn)代研究的直接奠基者，波利亞之所以特別重視“問題解決”與“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”，主要是認(rèn)為它們具有超出數(shù)學(xué)的普遍意義：“解題是人類的本性。我們可以把人類定義為‘解題的動(dòng)物’；他的生活充滿了不可立即實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。我們大部分的有意識(shí)思維是與解題相關(guān)的；當(dāng)我們并未沉溺于娛樂或白日做夢(mèng)時(shí)，我們的思想有著明確的目標(biāo)?！睌?shù)學(xué)啟發(fā)法的用途“不限于任何題目。我們的問題可以是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的……”［1］
然而，盡管波利亞的上述工作具有十分廣泛和深遠(yuǎn)的影響，在波利亞以后的相關(guān)理論研究中也有不少新的重要成果，但從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，相關(guān)努力似乎又都未能取得預(yù)期的效果。例如，20世紀(jì)80年代在世界范圍內(nèi)盛行的“問題解決”運(yùn)動(dòng)，就曾希望通過啟發(fā)式的教學(xué)有效提升學(xué)生解決問題的能力，但最終卻不得不面對(duì)這樣的事實(shí)：盡管學(xué)生已經(jīng)具備了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，似乎也已較好地掌握了相應(yīng)的解題策略，卻仍然不能有效地解決問題。
上述情況當(dāng)然引起了人們的深入思考。以下就是一個(gè)普遍性的認(rèn)識(shí)：“以問題解決作為學(xué)校數(shù)學(xué)教育的中心”有一定優(yōu)勢(shì)，但也有很大的局限性。首先，“問題解決”并不能被看成數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)）的唯一形式；再者，除去“問題提出”這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，我們應(yīng)特別重視這一問題：“獲得解答，繼續(xù)前進(jìn)”。
上述認(rèn)識(shí)主要圍繞數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行分析，而如果著眼于大多數(shù)學(xué)生，我們顯然又應(yīng)超出數(shù)
學(xué)，從更一般的角度進(jìn)行思考。這也正是波利亞曾明確提及的一個(gè)觀點(diǎn)：“解數(shù)學(xué)題的能力，當(dāng)然依賴于某些有關(guān)的數(shù)學(xué)的專題知識(shí)，除此而外，它還有賴于某種有益的思維習(xí)慣，某種一般性的我們?cè)谌粘Ｉ钪蟹Q之為‘常識(shí)’的東西。一位教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，則他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)。對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事，一位數(shù)學(xué)教師假如在這方面取得了成績，那么他就真正為他的學(xué)生（無論他們以后是做什么工作的）做了好事。能為那70%在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情?！保?］
這正是以大多數(shù)學(xué)生,特別是以將來未必會(huì)從事數(shù)學(xué)相關(guān)行業(yè)的學(xué)生為對(duì)象進(jìn)行考察的結(jié)果，更集中地反映了“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一思想對(duì)于數(shù)學(xué)教育的主要啟示，即我們必須超出數(shù)學(xué),從更廣泛的角度進(jìn)行分析思考。這不只是指我們必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面，也是指我們還應(yīng)由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性思維策略的學(xué)習(xí)與思維品質(zhì)的提升。
還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，我們?cè)诖怂岢牟⒎恰俺ＷR(shí)”的簡單回歸，而是“常識(shí)”在更高層面，即“專業(yè)化”基礎(chǔ)上的重建。例如，數(shù)學(xué)教學(xué)中所提及的“幾何直觀”顯然不應(yīng)被等同于“感性直觀”的簡單回歸，而是指我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用幾何圖形表現(xiàn)內(nèi)在的思維活動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)思維的“可視化”，并由此發(fā)展自身的“形象思維”與“數(shù)學(xué)直覺”。
在此，又直接涉及這樣一個(gè)問題：就大多數(shù)將來未必會(huì)從事數(shù)學(xué)相關(guān)行業(yè)的學(xué)生來說，
這么多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否真的沒有任何效果或影響？從文化的角度看，答案并非如此！所謂“文化”，在此主要是指由某種因素（職業(yè)、居住地域、民族等）聯(lián)系起來的一個(gè)群體特有的生活方式和工作方式，包括思維方法和價(jià)值觀念等。它具有兩個(gè)重要的特征。（1）體現(xiàn)于人們生活或工作的方方面面，即相關(guān)成員的舉手投足之中，十分自然、自在，而非刻意做作，可被看成主體內(nèi)在的價(jià)值觀念、生活態(tài)度與思維方式的具體體現(xiàn)。（2）文化的養(yǎng)成主要是一個(gè)潛移默化的過程：作為共同體的一員，人們正是通過在相應(yīng)群體中的生活與工作不知不覺地養(yǎng)成了相應(yīng)的生活方式、思維方法和價(jià)值觀念等；正因此，人們對(duì)此往往不具有清醒的自我意識(shí)，更缺乏自覺的反思。
進(jìn)而，“數(shù)學(xué)文化”就是指人們通過實(shí)際參與各種數(shù)學(xué)活動(dòng)（包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)）所形成的一些特殊的行為方式、思維方法與價(jià)值觀念等，它們都不是刻意做作的結(jié)果，而是體現(xiàn)于生活或工作的方方面面、舉手投足之中。
由以下的對(duì)照比較可以看出，長期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)會(huì)對(duì)人產(chǎn)生一定的影響，盡管其直接涉及的只是數(shù)學(xué)教師與語文教師。
【例2】語文教師與數(shù)學(xué)教師的不同“行事方式”。
經(jīng)常參加教師培訓(xùn)，此類活動(dòng)常常是這樣安排的：這一周是語文，下一周則是數(shù)學(xué)。一次碰到安排住宿的老師，筆者隨口問：“數(shù)學(xué)老師和語文老師的味道是否一樣？”盡管對(duì)方不是搞教育的，她的回答卻十分肯定：“數(shù)學(xué)老師和語文老師的味道完全不一樣！”這當(dāng)然引起了筆者的興趣：“怎么不一樣？”這位老師回答道：“語文老師很難弄，非常個(gè)性化，每個(gè)老師的要求都不一樣。有的說我神經(jīng)衰弱，不能和別人睡一個(gè)房間，所以千萬千萬給我安排個(gè)單間；有的說我一定要住向陽的房間，因?yàn)榭床灰婈柟馕視?huì)情緒低落……數(shù)學(xué)老師則很簡單，來了以后只有一句話：‘是不是大家都一樣？’”
聽報(bào)告也不一樣：語文老師容易激動(dòng)，愿意鼓掌，甚至?xí)酒饋砉恼疲牭郊?dòng)之處恨不得沖上來和你擁抱……數(shù)學(xué)老師則往往靜靜地坐在那里，比較含蓄，不太愿意鼓掌，最多露出一點(diǎn)微笑，說一句“這個(gè)人講得還不錯(cuò)”……
以下則是筆者的一次親身經(jīng)歷。
在深圳聽課，有數(shù)學(xué)教育專家，也有語文背景的專家，大家一起聽課。一堂課下來，有語文背景的專家三次流下了熱淚；但筆者的第一反應(yīng)是：“我還沒有搞清楚為什么要掉淚呢！”
還是在深圳，聽中文教授作報(bào)告“什么是中國語義”?？梢栽O(shè)想：如果是數(shù)學(xué)教師，一定會(huì)對(duì)“中國語義”做出明確定義。但中文教授的做法完全不同，他舉了10個(gè)例子：“推敲不定之月下門”“閉花羞月之少女貌”……很生動(dòng)，很有味道，但例子說完就沒有了。我說：“你還沒給定義呢！”但這恰恰是語文教學(xué)的特有韻味：語文講究的就是比喻，從而給人留下充分的想象空間；而數(shù)學(xué)講究的是確定性、客觀性和精確性。
綜上可見，語文教師與數(shù)學(xué)教師在一定程度上就可被看成生活在不同的“世界”之中，即具有完全不同的“文化”，盡管雙方很可能都未能清楚地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)。
那么，究竟什么是筆者在此所倡導(dǎo)的主要觀點(diǎn)呢？概括地說，“深度教學(xué)”所希望的就是由上述的不自覺狀態(tài)（“潛移默化”）轉(zhuǎn)向更自覺的狀態(tài)，特別是，我們能通過數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的適當(dāng)調(diào)整和落實(shí)，為大多數(shù)學(xué)生在離開學(xué)校以后留下更多、更有價(jià)值的東西。
最后，應(yīng)當(dāng)指出的是，為了實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)，我們不應(yīng)僅僅圍繞數(shù)學(xué)本身去分析思考，而應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步研究未來社會(huì)對(duì)于合格公民究竟有怎樣的不同要求（對(duì)此我們將在第三講中做出具體的分析論述）。在這一基本立場(chǎng)下，我們對(duì)“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”的具體涵義做出如下概括：數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升；我們還應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向更自覺的學(xué)習(xí)，包括善于通過同學(xué)間的合作與互動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人。
參考文獻(xiàn)
［1］G.波利亞.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.
［2］G.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)（第二卷）［M］.劉景麟，等譯.呼和浩特:內(nèi)蒙古人民出版社，1981.
（內(nèi)容選自《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2019年第9期“專欄”欄目。歡迎通過中國知網(wǎng)下載，或訂購《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》雜志。圖片來自網(wǎng)絡(luò)）
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