?。ㄒ唬皵?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則
弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，而且每個(gè)學(xué)生有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，已有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)的實(shí)際。在運(yùn)用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)” 進(jìn)行教學(xué)時(shí)，必須明確認(rèn)識(shí)以下幾點(diǎn)：
第一，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來(lái)自于現(xiàn)實(shí)世界．把那些最能反映現(xiàn)代生產(chǎn)、現(xiàn)代社會(huì)生活需要的最基本、最核心的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能作為數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容．
第二，數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容不能僅僅局限于數(shù)學(xué)內(nèi)部的內(nèi)在聯(lián)系，還應(yīng)該研究數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界各種不同領(lǐng)域的外部關(guān)系和聯(lián)系。這樣才能使學(xué)生一方面獲得既豐富多彩而又錯(cuò)綜復(fù)雜的“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”內(nèi)容，掌握比較完整的數(shù)學(xué)體系．另一方面，學(xué)生也有可能把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界中去．
第三，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該為所有的人服務(wù)，應(yīng)該滿足全社會(huì)各種領(lǐng)域的不同層次的人對(duì)數(shù)學(xué)的不同水平的需求。
?。ǘ皵?shù)學(xué)化”原則
弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過(guò)數(shù)學(xué)化來(lái)進(jìn)行。
現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教育所說(shuō)的數(shù)學(xué)化有兩種形式：一是實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)學(xué)成分，并對(duì)這些成分做符號(hào)化處理；二是從符號(hào)到概念的數(shù)學(xué)化，即在數(shù)學(xué)范疇之內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化了的問(wèn)題作進(jìn)一步抽象化處理。
對(duì)于前者，基本流程是：
1、確定一個(gè)具體問(wèn)題中包含的數(shù)學(xué)成分；
2、建立這些數(shù)學(xué)成分與學(xué)生已知的數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系；
3、通過(guò)不同方法使這些數(shù)學(xué)成分形象化、符號(hào)化和公式化；
4、找出蘊(yùn)含其中的關(guān)系和規(guī)則；
5、考慮相同數(shù)學(xué)成分在其他數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域方面的體現(xiàn)；
6、作出形式化的表述。
對(duì)于后者，基本流程是：
1、用數(shù)學(xué)公式表示關(guān)系；
2、對(duì)有關(guān)規(guī)則作出證明；
3、嘗試建立和使用不同的數(shù)學(xué)模型；
4、對(duì)得出的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行調(diào)整和加工；
5、綜合不同數(shù)學(xué)模型的共性，形成功能更強(qiáng)的新模型；
6、用已知數(shù)學(xué)公式和語(yǔ)言盡量準(zhǔn)確的描述得到的新概念和新方法；
7、作一般化的處理、推廣。
（三）“再創(chuàng)造”原則
弗賴登塔爾說(shuō)的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過(guò)程再現(xiàn)。學(xué)生“再創(chuàng)造”來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)際上就是一個(gè)“做數(shù)學(xué)”(doing mathematics)的過(guò)程，這也是目前數(shù)學(xué)教育的一個(gè)重要觀點(diǎn)。
需要特別注意的是，弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論不是“教育學(xué)+ 數(shù)學(xué)例子”式的論述， 而是抓住數(shù)學(xué)教育的特征，緊扣數(shù)學(xué)教育的特殊過(guò)程，因而有“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”、“數(shù)學(xué)化”、“數(shù)學(xué)反思”、“思辯數(shù)學(xué)”等諸多特有的概念。他的著作多數(shù)根據(jù)自己研究數(shù)學(xué)的體會(huì)，以及觀察兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，思辯性的論述比較多。于是有人批評(píng)說(shuō)弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論缺乏實(shí)踐背景和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。其實(shí)，他的許多研究成果尚未被大家仔細(xì)研究，有興趣的讀者不妨閱讀他的著作。
二、波利亞的解題理論
（一）波利亞對(duì)數(shù)學(xué)教育的基本看法
波利亞認(rèn)為：中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的就是“教會(huì)年輕人思考”，這種思考既是有目的的思考，產(chǎn)生式的思考，也包括形式的和非形式的思維。數(shù)學(xué)教育中注重培養(yǎng)學(xué)生的興趣、好奇心、毅力、情感
體驗(yàn)等非智力品質(zhì)的重要性。
要成為一個(gè)好的解題者，如果“頭腦不活動(dòng)起來(lái),是很難學(xué)到什么東西的,也肯定學(xué)不到更多的東西”。“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”, 最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索、去“發(fā)現(xiàn)”。
教學(xué)是一門藝術(shù)。教學(xué)過(guò)程本身應(yīng)該遵循一些規(guī)律性的東西,并尤其強(qiáng)調(diào)興趣對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。
（二）波利亞關(guān)于解題的研究
波利亞專門研究了解題的思維過(guò)程，并把研究所得寫成《怎樣解題》一書。這本書的核心是他分解解題的思維過(guò)程得到的一張“怎樣解題”表，并以例題表明這張表的實(shí)際應(yīng)用。書中各部分基本上是配合這張表，是對(duì)該表的進(jìn)一步闡述和注釋。
《怎樣解題》表包括“弄清問(wèn)題”、“擬定計(jì)劃”、“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”和“回顧”四個(gè)階段?！芭鍐?wèn)題”是認(rèn)識(shí)、并對(duì)問(wèn)題進(jìn)行表征的過(guò)程，應(yīng)成為成功解決問(wèn)題的一個(gè)必要前提；“擬定計(jì)劃”是關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容；“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”較為容易，是思路打通之后具體實(shí)施信息資源的邏輯配置；“回顧”是最容易被忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)而固定下來(lái)。其中，他對(duì)第二步即“擬定計(jì)劃”的分析是最為引人入勝的。
他指出尋找解法實(shí)際上就是“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系，如果找不出直接聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問(wèn)題。最終得出一個(gè)求解計(jì)劃?！彼€把尋找并發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程分解為五條建議和23個(gè)具有啟發(fā)性的問(wèn)題，它們就好比是尋找和發(fā)現(xiàn)解法的思維過(guò)程的“慢動(dòng)作鏡頭”，使我們對(duì)解題的思維過(guò)程看得見，摸得著。
三、 建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)教育理論
（一）建構(gòu)主義概述
建構(gòu)主義(constructivism)有時(shí)候也譯作結(jié)構(gòu)主義，理論根源可追溯到2500多年前?，F(xiàn)代建構(gòu)主義主要是吸收了杜威的經(jīng)驗(yàn)主義和皮亞杰的結(jié)構(gòu)主義與發(fā)生認(rèn)識(shí)論等思想，并在總結(jié)60年代以來(lái)的各種教育改革方案的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上演變和發(fā)展起來(lái)的。
在教育領(lǐng)域中常常談?wù)摰慕?gòu)主義具有認(rèn)知理論和方法論的雙重身份。
1、數(shù)學(xué)知識(shí)是什么
·數(shù)學(xué)知識(shí)不是對(duì)現(xiàn)實(shí)的純粹客觀的反映，任何一種傳載知識(shí)的符號(hào)系統(tǒng)也不是絕對(duì)真實(shí)的表征，它只不過(guò)是人們對(duì)客觀世界的一種
解釋、假設(shè)或假說(shuō)。它不是問(wèn)題的最終答案，它必將隨著人們認(rèn)識(shí)程度的深入而不斷地變革、升華和改寫，出現(xiàn)新的解釋和假設(shè)。
·數(shù)學(xué)知識(shí)不可能以實(shí)體的形式存在于個(gè)體之外，真正的理解只能是由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗(yàn)背景而建構(gòu)起來(lái)的，取決于特定情況下的學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程。否則，就不叫理解，而是叫死記硬背或生吞活剝，是被動(dòng)的復(fù)制式的學(xué)習(xí)。
2、學(xué)生如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)
·學(xué)習(xí)不是由教師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生不是簡(jiǎn)單被動(dòng)地接收信息，而是主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的意義，這種建構(gòu)是無(wú)法由他人來(lái)代替的。
·學(xué)習(xí)不是被動(dòng)接收信息刺激，而是主動(dòng)地建構(gòu)意義，是根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)背景,對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)地選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義。外部信息本身沒(méi)有什么意義，意義是學(xué)習(xí)者通過(guò)新舊知識(shí)經(jīng)驗(yàn)間的反復(fù)的、雙向的相互作用過(guò)程而建構(gòu)成的。因此，學(xué)習(xí)不是象行為主義所描述的“刺激—反應(yīng)”那樣。
·學(xué)習(xí)意義的獲得，是每個(gè)學(xué)習(xí)者以自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，對(duì)新信息重新認(rèn)識(shí)和編碼，建構(gòu)自己的理解。在這一過(guò)程中，學(xué)習(xí)者原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)因?yàn)樾轮R(shí)經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)入而發(fā)生調(diào)整和改變。
3、教師如何開展課堂教學(xué)
與傳統(tǒng)教學(xué)的三個(gè)假設(shè)相對(duì)應(yīng)的是，建構(gòu)主義指導(dǎo)下的課堂教學(xué)是基于如下三個(gè)基本假設(shè)：
·教師必須建立學(xué)生理解數(shù)學(xué)的模式。教師應(yīng)該建立反映每個(gè)同學(xué)建構(gòu)狀況的“卷宗”，以便判定每個(gè)學(xué)生建構(gòu)能力的強(qiáng)弱；
·教學(xué)是師生、生生之間的互動(dòng)；
·學(xué)生自己決定建構(gòu)是否合理。
根據(jù)上述教學(xué)目的和假設(shè)，一個(gè)數(shù)學(xué)教師在建構(gòu)主義的課堂上就需要做以下六件事：
·加強(qiáng)學(xué)生的自我管理和激勵(lì)他們?yōu)樽约旱膶W(xué)習(xí)負(fù)責(zé)；
·發(fā)展學(xué)生的反省思維；
·建立學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)的“卷宗”；
·觀察與參與學(xué)生嘗試、辨認(rèn)與選擇解題途徑的活動(dòng)；
·反思與回顧解題途徑；
·明確活動(dòng)、學(xué)習(xí)材料的目的。
需要強(qiáng)調(diào)的是：對(duì)于建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)， 我們應(yīng)當(dāng)吸取精華，拒絕一些“極端的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我國(guó)的教育改革。
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