中國特色《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)》的五個流派
我國是習(xí)題王國，在國際奧林匹克數(shù)學(xué)競賽一直名列前茅，在大型國際測試中數(shù)學(xué)成績遙遙領(lǐng)先，這是巨大的成績.
取得這樣的成績：
首先是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師隊伍的支撐，根據(jù)馬立平博士的研究，我國數(shù)學(xué)教師的水平遠(yuǎn)高于美國；其次是我國的優(yōu)秀傳統(tǒng)，如熟能生巧的理念，雙基的實施等等.本章先介紹數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的五個流派，這集中反映了我國數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中優(yōu)秀的傳統(tǒng)、理念和做法.
當(dāng)然，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)也存在著嚴(yán)重的問題，那就是題海戰(zhàn)術(shù)盛行，本章對此也進(jìn)行了評說.中國特色《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)》五個流派波利亞的著作，尤其是《怎樣解題》，對我國的數(shù)學(xué)教學(xué)觸動很大，激起了我國學(xué)者和教師深入地研究數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是數(shù)學(xué)解題教學(xué).
但是，對于他的著作，國內(nèi)似乎也不是滿堂掌聲的.波利亞是著名數(shù)學(xué)家，他在合情推理方面的論述似乎更受人注意. 國外有報道說，學(xué)生無法根據(jù)這張解題表去解決問題，國內(nèi)似乎也沒有人聲稱按這張表解題.
并沒有什么出奇的地方，解題時，自覺不自覺地大多有這樣四個步驟. 這張表并不是一把萬能的鑰匙，更不是解題的綱領(lǐng)，它只是一串提示，也許會給解題者一點啟發(fā)，但問題的解決還必須依靠解題者自己的努力. 沒有必要去背這張表，可以根據(jù)實際情況問自己幾個為什么，或給別人一些提示.
王梓坤院士評價了波利亞的著作之后，更對我國的教師和學(xué)者提出了要求：對中國的教育，中國人的思維的特點并不大了解，因此，我們更需要切合我國實際的相應(yīng)著作.
20世紀(jì)90年代開始，華人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)引起了世人的關(guān)注.國際數(shù)學(xué)測試一再證明華人地區(qū)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績十分優(yōu)秀，但是另一方面，華人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)給人的印象是，停留在記憶、模仿、練習(xí)、考試等等缺乏主動性的學(xué)習(xí)層面.這就是所謂的“中國學(xué)習(xí)者悖論”.為了回答這個“悖論”，中國學(xué)者深入進(jìn)行了研究，最終寫成了《華人如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》一書.我們中國的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有自己的特點，首先是注重學(xué)習(xí)效率；同時還重視雙基：華人學(xué)生有良好的記憶（九九表，公式法則的背誦），熟練的運算速度，邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)以及“變式”的重復(fù)練習(xí).這是符合“熟能生巧”的古訓(xùn)的，由此形成了中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特色.
解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要組成部分，在中國數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)必然打上以上的烙印.我國的數(shù)學(xué)教師是富有創(chuàng)造力的群體，在具體地落實雙基時，積累了解題教學(xué)的許多經(jīng)驗，在學(xué)習(xí)消化波利亞的著作之后，形成豐富多彩的若干流派.張景中院士說：練武功的上乘境界是要“無招勝有招”.但是小巧果然不足取，大巧也確實太難，對于大多數(shù)學(xué)子，還要重視有章可循的招式…… 也就是說，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執(zhí)行的方法，即算法. 這是我國古代數(shù)學(xué)的特點，和優(yōu)秀傳統(tǒng).
恐怕這種“大巧”還是要靠個人領(lǐng)悟，難以言傳； 但如果不講方法，搞題海戰(zhàn)術(shù)，一題一法，這種“小巧”也不可取，對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，還是要講求循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)有章可循的解題通法.
這是張院士提出的教育數(shù)學(xué)思想的一個組成部分，有著重要的理論意義和實用價值.我們體會，中巧說的核心是有章可循，關(guān)鍵是反思、總結(jié)、提煉.在中學(xué)數(shù)學(xué)里，大概應(yīng)該體現(xiàn)在兩個方面：對于前者，應(yīng)該提煉出有效的算法，一步一步按部就班即可；對于后者， 我們也應(yīng)該總結(jié)出一些規(guī)律，若干個方法，指出先思考什么,再用哪種方法，使之有方向可探,讓解題經(jīng)驗顯性化.
張院士當(dāng)過初中數(shù)學(xué)教師，他的這些話，既體現(xiàn)了科學(xué)家的智慧，也凝聚了數(shù)學(xué)教師的經(jīng)驗.張院士研究方向主要是幾何的計算機證明，他創(chuàng)造了“張法”，使任何幾何題都可以用計算機加以證明，而且這個證明過程是可讀的.應(yīng)該說，張院士就是運用了我國數(shù)學(xué)研究的傳統(tǒng)——算法思想，把人們通常認(rèn)為千變?nèi)f化的，無法程序化的，必須絞盡腦汁才能證出來的幾何題，歸納為一套按部就班的可操作的方法，成為算法的一個典范.中巧說實際上也是許多優(yōu)秀教師教學(xué)經(jīng)驗的結(jié)晶，他們都反對題海戰(zhàn)術(shù)，主張總結(jié)規(guī)律，用規(guī)律來指導(dǎo)學(xué)生解題.上海老一輩的數(shù)學(xué)教育家趙憲初說：“先要舉三反一，才能舉一反三.”趙老說的“一”，應(yīng)該就是指規(guī)律.要知道，趙老執(zhí)教的是上海的名校——南洋模范中學(xué)，這個學(xué)校的畢業(yè)生中有30多名院士，著名的計算機專家王選院士和數(shù)學(xué)家張恭慶院士就是其中的兩位.這個學(xué)校的學(xué)生水平都是了不得的，對這樣的學(xué)生，教師尚且要先“舉三反一”，幫助他們總結(jié)出規(guī)律來，然后才能“舉一反三”，更何況一般的學(xué)校呢？北京的名師孫維剛提出：“一題多解，多解歸一，多題歸一”，也有總結(jié)的意思在其中.福建的名師任勇更是直接，他認(rèn)為：“概括各類問題的解法是一種重要的數(shù)學(xué)記憶模式.”
中巧說對于數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)來說，是有效的.（1）中巧說體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模式觀和算法思想現(xiàn)在，一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究模式和秩序的科學(xué).我國學(xué)者徐利治和鄭毓信提出“數(shù)學(xué)即是模式的建構(gòu)和研究”，并撰寫了《數(shù)學(xué)模式論》（廣西教育出版社,1993年）.整個數(shù)學(xué)的歷史就是提出問題、形成模式、研究模式、應(yīng)用模式，最后突破模式,并創(chuàng)造新模式的歷史.歐幾里得把幾何歸結(jié)為一個公理化的體系，笛卡兒從代數(shù)化的角度突破了這個模式，形成了解析幾何新體系，羅巴切夫斯基從公理的角度，突破了歐幾里得幾何,創(chuàng)立了非歐幾何的體系.數(shù)學(xué)家如此地重視模式,以至到20世紀(jì)中葉，法國有一批數(shù)學(xué)家，用布爾巴基的名字出版了一系列的著作，取名為《數(shù)學(xué)原本》，企圖找到整個數(shù)學(xué)究竟是什么樣的結(jié)構(gòu)、體系和模式.盡管他們的期望最終沒有達(dá)到，但他們的成果對認(rèn)識數(shù)學(xué)是十分有益的.另外，吳文俊院士認(rèn)為，世界數(shù)學(xué)發(fā)展的源流有兩個：而中巧說就是對某個類型的題的解法總結(jié)成算法，并形成模式，因此是符合學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的規(guī)律的.有一種觀點叫“相同要素論”，即新問題與原有知識之 間有“相同要素”，可以遷移; 還有一種是美國心理學(xué)家賈德的概括化理論：概括出一般原理容易遷移.
對數(shù)學(xué)，概括化理論可能更有效，更值得推薦，特別是在當(dāng)前.我們要從雜亂無章的習(xí)題中，概括出一般原理來，對克服題海戰(zhàn)術(shù)肯定是有效的.
（3）中巧說符合基礎(chǔ)教育的目標(biāo)我國已經(jīng)普及九年義務(wù)教育，在發(fā)達(dá)的地區(qū)，基本上普及了高中教育.對大多數(shù)的學(xué)校來說，主要是培養(yǎng)有文化的普通勞動者.人的智力分布呈正態(tài)分布，即聰明的和愚笨的占少數(shù)，中間狀態(tài)的占絕大多數(shù). 不能期望人人都掌握大巧，正如張院士說的那樣：“大巧”還是要靠個人領(lǐng)悟，難以言傳.張景中院士在論述中巧說時，很謹(jǐn)慎地用了“對大多數(shù)學(xué)子”這一詞語：“對大多數(shù)學(xué)子來說，還要重視有章可循的招式.”
這正體現(xiàn)了基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo).（4）中巧說是克服題海戰(zhàn)術(shù)的良藥不可否認(rèn)的，現(xiàn)在中學(xué)界，大多數(shù)學(xué)校奉行的仍是題海戰(zhàn)術(shù).題海戰(zhàn)術(shù)就是企圖讓學(xué)生做遍所有的題目來應(yīng)付考試，其產(chǎn)生的負(fù)面影響可想而知.而如果采用中巧，把數(shù)學(xué)問題分門別類，一類一類地尋求可以機械執(zhí)行的方法，并把這種方法教給學(xué)生，效果肯定是好的. 戴再平教授認(rèn)為：模式識別是解數(shù)學(xué)題時廣泛采用的策略.
華南師范大學(xué)傅學(xué)順教授提出的一系列觀點中，“反應(yīng)塊思想”很有特色.1962年，傅學(xué)順畢業(yè)于北京師范大學(xué).恰逢波利亞的著作傳到中國，并引起了華羅庚等學(xué)者的重視，學(xué)者們覺得要跟蹤波利亞，要像波利亞一樣研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律和解題的方法.于是，由中科院數(shù)學(xué)研究所副所長，學(xué)部委員（也就是后來稱的院士）關(guān)肇直岀面招收一名數(shù)學(xué)教育方向的研究生，這名研究生就是傅學(xué)順.傅學(xué)順既受到華羅庚、關(guān)肇直等學(xué)者的培養(yǎng)，也得到錢學(xué)森的指點； 既研究波利亞這樣的國外學(xué)說，也研究總結(jié)像我國的原北師大副校長傅種孫先生這樣的前輩數(shù)學(xué)教育家的經(jīng)驗.
因此他提岀的觀點可能和部分一流學(xué)者的學(xué)習(xí)經(jīng)驗有關(guān).優(yōu)秀生腦海里不僅儲存有定理及其證明，而且儲存有另外的許多基本問題及其解法. 一拿到數(shù)學(xué)問題，通過聯(lián)想（或其他思維方法誘發(fā)），可以迅速認(rèn)出問題中包含的一個個基本問題（稱為反應(yīng)塊），從而把難題分解,迅速降低難度.
反應(yīng)塊思想實際上也是許多優(yōu)秀教師經(jīng)驗的總結(jié).20世紀(jì)八九十年代，上海的徐方瞿老師提出了“基本圖形分析法”； 上海南洋模范中學(xué)的江志英老師在教平面幾何時，十分重視從已知條件里能夠伸展出什么結(jié)論來； 還有許多教師，強調(diào)學(xué)生要記住112,122,132 ,…, 192的值，等等，應(yīng)該說都是強調(diào)積累，記住定理公式的一些推論，記住基本圖形的性質(zhì)，記住一些典型例題，記住一些數(shù)據(jù)，便于在解題時迅速調(diào)用. 由于腦子里有不少反應(yīng)塊，學(xué)生在調(diào)用時，會產(chǎn)生“一看到……就想到……”的反應(yīng).
傅先生說：腦子里的反應(yīng)塊多了，反應(yīng)就“快”了.反應(yīng)塊思想對于數(shù)學(xué)解題是有效的.（1）反應(yīng)塊思想符合認(rèn)知規(guī)律反應(yīng)塊思想符合心理學(xué)原理中的“相同要素論”理論.對于語文，一般是通過學(xué)習(xí)一篇篇的范文，從中體會寫作的道理，從而學(xué)習(xí)寫作，這大概就是“相同要素論”在起作用.“相同要素論”，不但有助于語文學(xué)習(xí)，而且在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也有一定的作用.我們常常在解題時遇到這樣的情況：這道題和以前做過的某道題有類似的地方，這就是在尋找“相同要素”，于是就把解原來那道題的方法、經(jīng)驗遷移過來.
一個好的數(shù)學(xué)家與一個蹩腳的數(shù)學(xué)家差別在于，前者有很多具體的例子，后者只有抽象的理論. “例子”可以使概念法則具體化,也可以促進(jìn)遷移.
但是這些例子應(yīng)該是范例，少而精，才能記得住，才容易遷移.可惜，現(xiàn)在不少數(shù)學(xué)教師是布置大量的練習(xí)，并對學(xué)生說“我都給你們做過了，再考不出，不是我的事情了”，這種做法是把“相同要素論”異化了.試想，頭腦里充滿了雜亂無章的例子，你叫他怎么搜索到所需要的例子？搜索不到所需要的例子，怎么遷移？反應(yīng)塊思想強調(diào)要把公式的一些推論、典型例題、基本圖形性質(zhì)記在腦子里，有用的東西積累多了，遇到新問題，就可以進(jìn)行聯(lián)想，這樣就有利于解題.這些公式的一些推論、典型例題、基本圖形性質(zhì)，從心理學(xué)上說，是一種“圖式”，專家和新手的差別之一，就是頭腦里儲存的圖式的多寡和質(zhì)量.據(jù)說國際象棋冠軍頭腦里儲存了幾萬個棋局，所以他能夠面對復(fù)雜局面迅速作出反應(yīng).學(xué)數(shù)學(xué)要不要記憶？歷來有不同的看法.華羅庚的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是：聰明在于勤奮，天才在于積累.張奠宙教授在《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》一書中提岀中國數(shù)學(xué)雙基四大特征：記憶通向理解形成直覺，運算速度保證高效思維，演繹推理堅持邏輯精確，依靠變式提升演練水準(zhǔn)，明確指出記憶在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.西方強調(diào)理解，甚至認(rèn)為不理解的記憶，3個月一定忘記.而我國古代傳統(tǒng)認(rèn)為記憶和理解相輔相成的.
然而，對于一時不怎么理解，可以先記住了，并在運用中慢慢加深理解，也是一種有效的學(xué)習(xí)方法.
人生識字糊涂始，就是這個意思. 如，九九表，有多少孩子能夠理解它的意思？先記住了再說，以后慢慢地理解它.
當(dāng)然，在中學(xué)階段，主要是理解基礎(chǔ)上的記憶.反應(yīng)塊思想認(rèn)為，不但要記住一些公式，還要記住它的一些推論，需要記住基本圖形的性質(zhì)，需要記住典型例題，記住小經(jīng)驗，以便在需要時可以迅速調(diào)用，這對解題肯定是有益的，并且使用的過程又可以加深對公式、推論的理解.當(dāng)然，學(xué)數(shù)學(xué)不能光靠記憶.據(jù)說有個有關(guān)愛因斯坦的故事：有人問愛因斯坦一個數(shù)據(jù)，他回答說，“我不知道，可以查手冊.”他的頭腦里只記有用的東西，能夠讓計算機做的，能夠在手冊上査到的，就沒有必要記住.但是我們認(rèn)為這個故事，與反應(yīng)塊思想的積累并不矛盾.（3）反應(yīng)塊思想反映優(yōu)秀生思維的一個側(cè)面數(shù)學(xué)優(yōu)秀生的思維有好多特征，聯(lián)想能力強是其中的一個重要特征.優(yōu)秀生從不就事論事，決不放過解題過程中的任何“副產(chǎn)品”： 或?qū)ふ翼槺憬鉀Q了的命題、公式和數(shù)據(jù)；或“加強”結(jié)論，看能否得到更“精”的命題；優(yōu)秀生解一道題往往可以引岀幾道新題，解決了就一并存入腦海，使知識體系不斷膨脹，使思路向各方延伸，使自己善于識別改頭換面的問題.
就是說，優(yōu)秀生的起點高，聯(lián)想時思路寬.與之相對的是，后進(jìn)生往往是“從0開始”.顧泠沅主持的青浦實驗，最早提出了數(shù)學(xué)變式教學(xué)的概念.變式教學(xué)，就是變更概念中的非本質(zhì)屬性：變換條件和結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置實際應(yīng)用的環(huán)境或使問題背景復(fù)雜化，而概念或問題的本質(zhì)不變.在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，又常常稱為變式練習(xí).
張奠宙教授說，變式練習(xí)是中國數(shù)學(xué)教育的一個創(chuàng)造. 通過變式練習(xí)，教師為學(xué)生的思維發(fā)展提供了一個個階梯，重復(fù)但不呆板. 有利于學(xué)生構(gòu)建完整、合理的新知識.
每一個變式，具有創(chuàng)新的意味，但是又能夯實基礎(chǔ)，實現(xiàn)“在堅實的基礎(chǔ)上有所發(fā)展”的教學(xué)理念.我們主張科學(xué)訓(xùn)練，那種過度的反復(fù)操作使人厭煩.張奠宙教授說，依靠變式可以提升演練水準(zhǔn)，原因之一是因為變化的東西能讓人有新鮮感，這是符合心理學(xué)原理的.人們對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識是一個由淺入深、由易到難的循序漸進(jìn)的過程，習(xí)題的變式一般以階梯型呈現(xiàn)，即習(xí)題的設(shè)計由淺入深、由易到難、由簡到繁、由模仿到開放，層層推進(jìn)，逐步展開.變式訓(xùn)練的這種循序漸進(jìn)的做法，當(dāng)然也是符合認(rèn)知規(guī)律的.（2）變式訓(xùn)練有利于形成優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因為變式是保留問題的本質(zhì)部分，變化非本質(zhì)部分，更改問題的情境或改變思維的角度，讓學(xué)生可以體會到，不管怎樣變化，原來萬變不離其宗.所以變式訓(xùn)練有利于對問題本質(zhì)的理解.通過變式可以生成一組題，實現(xiàn)有機串聯(lián)，既能覆蓋某個知識技能的諸多方面，又有助于理解本質(zhì)和關(guān)鍵.解決了這樣一組題，學(xué)生往往會有感而發(fā)，“這類問題我都不怕了 ”，從而形成優(yōu)良認(rèn)知結(jié)構(gòu)，如解題模塊、命題聯(lián)想系統(tǒng)等.（3）變式訓(xùn)練可以提高課堂教學(xué)的效率為了提高課堂的容量以及效率，我們可以編制一兩道習(xí)題，通過對習(xí)題的變式，或加一條線，或改變一個數(shù)據(jù)，深層次挖掘，由“一題多變”，達(dá)到“一題多用”的效果.由于題目形式上變動不大，抄題畫圖的時候就可以省下來了，學(xué)生順次思考，馬上可以讀懂題目，也省下了再次重新審題的時間，因此提高了課堂教學(xué)的效率.愛因斯坦認(rèn)為，當(dāng)學(xué)校里所學(xué)的具體內(nèi)容都忘記的時候，還留在腦子里的就是素質(zhì).我們一生中，數(shù)學(xué)課程一般長達(dá)9至12年，甚至更多，但是據(jù)統(tǒng)計70%的人只用到小學(xué)的算術(shù)，29%的人用到中學(xué)數(shù)學(xué)，只有1%的人才會用到高等數(shù)學(xué).大多數(shù)人成年之后，基本上把數(shù)學(xué)知識都忘得差不多了. 少的可能只知道三段論，
多的可能記住了化歸、反推、特殊化等等.不論多少，這些在腦子里留下的東西確實是涉及數(shù)學(xué)素質(zhì)的東西，而這些東西大多是數(shù)學(xué)思想方法.
不少教師在習(xí)題教學(xué)中主張突出數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)素質(zhì).經(jīng)徐利治教授的倡導(dǎo)，近幾十年來，我國數(shù)學(xué)教師在這方面做了大量的工作.特別值得提出的是由無錫市徐瀝泉老師，天津市楊世明(楊之)等主持的“MM( mathematical methodology)教育方式”的全國性的大型試驗，這個實驗是全方位的，就數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)來說，既教論證又教猜想可能是其第一個特點，而第二個特點就是滲透數(shù)學(xué)思想方法.這第二個特點反映了數(shù)學(xué)素質(zhì)論.現(xiàn)在，化歸思想、特殊化、分類討論、交軌法等等，已經(jīng)成為廣大教師頻繁使用的詞語.因此，提倡在數(shù)學(xué)教學(xué)中，特別在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)素質(zhì)論已為廣大教師所接受.張奠宙教授在《中國特色的數(shù)學(xué)教育理論芻議》一文中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的提煉，是中國數(shù)學(xué)教育的重要特征, 到現(xiàn)在為止，西方的數(shù)學(xué)教育界，還沒有像我們這樣地關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法.
所以說,數(shù)學(xué)素質(zhì)論是中國特色的.（1）數(shù)學(xué)素質(zhì)論反映了數(shù)學(xué)學(xué)科特征每個學(xué)科都有各自需要培養(yǎng)的素質(zhì)，如有的學(xué)科要培養(yǎng)動手實驗，有的要培養(yǎng)情感體驗，而數(shù)學(xué)學(xué)科要培養(yǎng)的主要素質(zhì)是數(shù)學(xué)思維方法.目前中學(xué)廣泛使用的種種數(shù)學(xué)思想方法，就是數(shù)學(xué)思維方法中的一部分，有利于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也有利于學(xué)生今后的發(fā)展.難怪“MM”的實驗者驕傲地聲稱，別的教學(xué)方法的實驗，到初三、高三就不敢再實驗了，而“MM”有鮮明的學(xué)科特色，不怕中考、高考，在畢業(yè)班照樣實驗.因為他們的實驗不是花花動作，而是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的,是實打?qū)嵉?（2）數(shù)學(xué)素質(zhì)論有利于辯證思想的形成不要以為數(shù)學(xué)培養(yǎng)的就是三段論這樣的邏輯思維，其實數(shù)學(xué)思想方法里充滿了辯證法，如“退,退到足夠的地方”，反證法，主元法，割補法，變換，化歸等等，在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，肯定有利于學(xué)生辯證思維的形成.孫維剛是北京22中數(shù)學(xué)教師，他在改革開放后，進(jìn)行了三輪從初一到高三的試驗，既教數(shù)學(xué)，又當(dāng)試驗班的班主任.他的1997屆高三畢業(yè)班，有40名畢業(yè)生，100%達(dá)到一本線，22名考上北大、清華，1名得了國際奧數(shù)金牌，8名獲全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽一等獎.北京22中不是重點中學(xué)，這樣的業(yè)績，至今無人能及.他有極強的個人魅力，他的教學(xué)風(fēng)格獨特，絕無僅有.孫維剛的教學(xué)經(jīng)驗是全方位的，就數(shù)學(xué)教學(xué)而言,他本入總結(jié)了5條：①總是要站在系統(tǒng)的高度教、學(xué)知識；②更著重對數(shù)學(xué)中的哲理的發(fā)現(xiàn)、汲??； ④題不在多但求精彩，學(xué)會一題多鮮、多解歸一、多題歸一； ⑤從初一開始，就提倡和指導(dǎo)學(xué)生開展問題研究，練習(xí)寫論文.
本書只研究數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，但研究孫老師的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)時，很難和他整體的數(shù)學(xué)教學(xué)思維割裂開來.筆者學(xué)習(xí)了孫維剛的著作之后，覺得孫老師的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的要點可歸結(jié)如下：（1）題不在多但求精彩，主張發(fā)散思維和收斂思維相結(jié)合當(dāng)然，因為他把學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性調(diào)動起來了，學(xué)生在課外肯定也不會閑著.更為特別的是，他主張一題多解、多解歸一、多題歸一，是非常精彩的、經(jīng)典的論述.而多解歸一、多題歸一（他總結(jié)了4個大規(guī)律，15個中規(guī)律,40個小規(guī)律），則是總結(jié)、提煉，是收斂思維.
兩者結(jié)合，就 可達(dá)到舉一反三的目的.應(yīng)該說，孫老師在解題教學(xué)時，是教規(guī)律，教策略，教算法，教應(yīng)變特點.（2）站得高，揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵，具有數(shù)學(xué)的個性孫老師不就事論事，他的課不圖表面的熱鬧，而是數(shù)學(xué)味很濃，又常常把解法提升到數(shù)學(xué)思想方法的高度，提升到哲學(xué)的高度，強調(diào)“站在系統(tǒng)高度看問題”，提出了廣義對稱思想、運動觀點、美學(xué)觀點等等.（3）既教論證，又講猜想，符合啟發(fā)式教學(xué)的原則孫老師講究“怎么想出來的”，有時會毫不吝惜地用好幾堂課的時候來分析一道題. 在遇到困難時，孫老師總教學(xué)生“換個角度看問題”.（4）鼓勵學(xué)生創(chuàng)新，提出問題，質(zhì)疑，具有發(fā)現(xiàn)法教學(xué)的特征孫老師提出從初一開始就要寫論文，鼓勵提出問題，并提出要“打倒孫老師”.因此，他的學(xué)生思路開闊，敢想敢發(fā)表自己的見解.筆者認(rèn)為，孫維剛數(shù)學(xué)教學(xué)的特點，首先是對數(shù)學(xué)內(nèi)涵揭示深刻； 同時，又調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,使學(xué)生的思維非?；钴S.
之所以說孫維剛風(fēng)格是一個流派，是因為他集我國優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的優(yōu)秀經(jīng)驗于一身.如，在揭示數(shù)學(xué)內(nèi)涵方面，我國大多數(shù)數(shù)學(xué)教師，在數(shù)學(xué)解題中都注意突岀數(shù)學(xué)思想方法. 又如在調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)思維方面，南京師范大學(xué)附屬中學(xué)的馬明老師就特別重視啟發(fā)、激活學(xué)生的思維，他一生中上課無數(shù)，但沒有錄過像，為什么？就是因為他為了啟發(fā)、激活思維,對有價值的問題不惜時間進(jìn)行探討，因此常常會完不成事先設(shè)計的教學(xué)內(nèi)容. 再如，“MM”實驗也是強調(diào)既教論證，又教猜想的. 又如，上海市西南位育中學(xué)的陸云亭老師有時在課上只講一兩個例題，當(dāng)學(xué)生說岀了一個正確的解法時，陸老師還要問：“你是怎么想出來的?”就這樣，層層揭示學(xué)生的思維過程.
他上課不是一板一眼的，而是“信馬由韁，八方聯(lián)系”，因此很多教師學(xué)習(xí)和模仿孫老師的大規(guī)律、中規(guī)律、小規(guī)律的，常常覺得無從著手.尤其是在當(dāng)前這種教學(xué)強調(diào)規(guī)范，強調(diào)中規(guī)中矩，甚至要檢查教師教案的大環(huán)境背景下，孫老師的做法能不能推廣，是個問題.如，不提倡預(yù)習(xí)，反對先復(fù)習(xí)再做題，不留家庭作業(yè)，考試不嚴(yán)格監(jiān)場……這是在連續(xù)6年并自己帶班的特定的環(huán)境下形成的，在當(dāng)前能不能推廣，更是個難題.不管怎樣，他的教學(xué)風(fēng)格，成為我國數(shù)學(xué)教師的一個標(biāo)桿，是我們學(xué)習(xí)的榜樣，是毋庸置疑的.有的從強調(diào)歸納、總結(jié)的角度（中巧說）， 有的從組織安排例題習(xí)題的角度（變式教學(xué)）, 有的從聯(lián)想的角度（反應(yīng)塊思想）， 有的強調(diào)數(shù)學(xué)本身的特征（數(shù)學(xué)素質(zhì)論）
數(shù)學(xué)教師的教學(xué)是綜合藝術(shù)，往往還是會將幾種做法融合在一起的.如孫維剛風(fēng)格就是融合的典范，既講清數(shù)學(xué)，又激發(fā)思維；既教實.又教活的典范.“中巧說”，適合于大多數(shù)學(xué)子，“反應(yīng)塊思想”對全體學(xué)生也都有效，但對中等以上的學(xué)生可能更有施展的余地, “變式教學(xué)”、“數(shù)學(xué)素質(zhì)論”早已為廣大教師所接受，并已經(jīng)廣泛使用,“孫維剛風(fēng)格”是大家學(xué)習(xí)的榜樣，但由于他寬闊的知識面和獨特的個人魅力，以及他留下的經(jīng)驗的操作性不夠，廣大教師學(xué)習(xí)起來有一定的困難.
根據(jù)當(dāng)前我國教育的現(xiàn)狀，學(xué)習(xí)和研究適合于大多數(shù)學(xué)子的、可操作的“中巧說”，可能顯得 更為重要.因此、本書的主要指導(dǎo)思想是“中巧說”，也吸收了其他流派的一些做法.轉(zhuǎn)自：中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)（zxsxjyx）本文摘自《陳永明實話實說數(shù)學(xué)教學(xué)》《數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究》鄒生書數(shù)學(xué)
2021年第三季度
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