數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也要回答三個問題：為什么而學(xué)習(xí)？學(xué)什么？怎樣學(xué)？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原則就為這些問題提供理論依據(jù).
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種獨特的腦力勞動，對不同的學(xué)生、不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)要求.學(xué)習(xí)的對策是不相同的.從教材的規(guī)定性和學(xué)生同社會聯(lián)系的具體現(xiàn)狀出發(fā)，采用帶有普遍性意義的啟發(fā)式教學(xué)下的學(xué)習(xí)方式.
《數(shù)學(xué)教學(xué)要目》中把“對自然界和人類社會諸現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)觀察能力、函數(shù)思維能力、空間想象能力”， 培養(yǎng)學(xué)生“能算善想”的良好習(xí)慣作為數(shù)學(xué)教育的核心.波利亞在20年代就提倡加強思維訓(xùn)練，“學(xué)生學(xué)會思考”，運用數(shù)學(xué)去解決日常問題、科技問題、謎題、社會問題等.
一、 階段漸進原則
波利亞結(jié)合“學(xué)習(xí)三階段”提出循序階段原則，他認為教學(xué)中常常忽視“探索”與“吸收”兩個階段，只斷取了中間“概念水平”階段，從而人為地割裂了學(xué)生認識數(shù)學(xué)應(yīng)該具有的循序階段性，使之缺乏認識的基礎(chǔ)，又喪失了提高的機會.應(yīng)該在引入新知識時能與周圍現(xiàn)實世界密切相聯(lián)，并與學(xué)生的現(xiàn)存知識、生活經(jīng)驗及自然好奇心密切相聯(lián)；在理解薪資回事后，應(yīng)要求學(xué)生能把新知識應(yīng)用于解決新問題，或者簡化老問題的解決.學(xué)生通過所學(xué)知識，對過去所學(xué)的內(nèi)容的條理看得更為清晰，從而進一步開闊眼界.
波利亞還提倡循序漸進地實施解題教學(xué).他建議講解例題時，先讓學(xué)生觀察題目，以激起學(xué)生索解的沖動，講解完畢，留出時間供回顧討論.練習(xí)課中應(yīng)提供一些能引起思考和爭論性的題目，以便“吸收階段”能順利進行；全部題目的安排要體現(xiàn)出思維上的階梯性，按解題方法的內(nèi)在聯(lián)系，一步一個臺階，逐步引向深入，使學(xué)生親自體驗在獨立 研究中碰到的各種不同情景.
二、啟發(fā)探究原則
針對 “以訓(xùn)誡為主的強制灌輸”教育方式，孔子提出了“不憤不啟，不悱不發(fā)舉一隅而不三隅反，則不復(fù)也”的主張.
啟發(fā)式的最大特點是引導(dǎo)學(xué)生動腦筋，最大限度地調(diào)動學(xué)生潛在的主動性、積極性，通過主題內(nèi)因發(fā)展思維能力.
古今中國數(shù)學(xué)家直接間接地接受了這種思想而大力提倡啟發(fā)式，如趙爽主張“凡教之道……憤之，悱之，然后啟發(fā)，舉一隅，使反之以三也”（后人謂之，“舉一反三”），華蘅芳的“誘掖而引進之”也是這個意思；華羅庚、蘇步青都采用啟發(fā)式指導(dǎo)教學(xué)，促進了知識學(xué)習(xí)和智力發(fā)展的結(jié)合.人的靈魂一生下來就擁有真善美與內(nèi)在的固有價值（潛存在觀，pre-existence），因此教育不再是授知，而僅僅在于喚醒，在于使他內(nèi)在的人性能充分展開，尋找自我.也就是讓學(xué)生通過思索產(chǎn)生智慧，再發(fā)現(xiàn)（re-discovery）自己已有的知識.
像波利亞的“怎么解題表”就是啟發(fā)式教學(xué)提問表，他的“解題教學(xué)風(fēng)格”就是啟發(fā)式的生動運用.弗賴登塔爾認為“潛存在觀”應(yīng)予揚棄，我們需要的是“再發(fā)現(xiàn)方法教學(xué)”的思想內(nèi)核，同時，“再發(fā)現(xiàn)”（re-invention），當(dāng)然它也離不開啟發(fā)式或問答法.他進而指出：教學(xué)要像助產(chǎn)士一般，時刻觀察者、聯(lián)系著他的工作對象，決不可之借用學(xué)生的耳朵，而不啟發(fā)學(xué)生的腦子.也就說，學(xué)生的學(xué)習(xí)是在老師的思維啟發(fā)下，師生之間，學(xué)生之間的合作探究.
三、過程學(xué)習(xí)原則
“讓學(xué)生看到思維過程”，這種愿望在名家隊伍中由來已久.七八百年前，李冶反對“褊心跼，不肯曉然示人，唯務(wù)隱在錯糅，故為溟滓黯黵.唯恐學(xué)者得窺其仿佛”的陋習(xí)，意在不可故弄玄虛，要把來龍去脈顯示于學(xué)者，使其知所以然.到近代，華蘅芳身體力行暴露思維過程，他認為“古人之算學(xué)書每使人猝不易解，……病在于只將所造之鏡以示人，而其從人之途，……皆秘匿而不道，因此，他“力挽之習(xí)，于一切算法無不坦白示人……不求深奧，不避粗俗，惟使人易明而已”.
“讓學(xué)生看到思維過程”是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性的得力措施，偉大的數(shù)學(xué)家希爾伯特的老師?？怂沽?xí)慣于課堂上現(xiàn)想現(xiàn)推，有時就把自己置身于困境，再“突圍”出來，這使希爾伯特有機會看到高明的思維過程是如何推進的，有力地促進了思維能力的提高.波利亞在“解題教學(xué)”中也讓學(xué)生看到思維過程，而不直接出示哪怕是絕妙的解答，意在使學(xué)生能從教師的分析中懂得怎樣去變更問題，怎樣引入輔助問題，怎樣進行聯(lián)想及類比，等等.因此，學(xué)生要是教學(xué)活動的參與者，而不是旁觀者；學(xué)生對數(shù)學(xué)題的求解，要當(dāng)作者，而不是讀者.自己積極去思考探究，比接收現(xiàn)成的結(jié)論（答案）強百倍.
四、歸納演繹原則
隨著名家們對歸納與演繹這兩個屬性的不同側(cè)面的充分認識，對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)藝術(shù)的深入了解，“演繹與歸納并重的原則”在數(shù)學(xué)教學(xué)中被普遍接受.這一原則波利亞解釋為創(chuàng)造過程的實驗歸納性和結(jié)果的系統(tǒng)演繹性.
遵循這一原則，既要教學(xué)生學(xué)習(xí)運用科學(xué)歸納、類比等方法去猜結(jié)論、猜條件、猜解法，又要讓他們掌握從探索性演繹法過渡到純形式的演繹法，把猜得的合理命題的證明建立在邏輯演繹基礎(chǔ)上.與傳統(tǒng)教學(xué)相比較，其中加強了實驗歸納思想的教學(xué)，這正是名家們的匠心所在.
波利亞覺得以前很少把處于發(fā)現(xiàn)可能的過程數(shù)學(xué)提供給學(xué)生，因而呼吁：“要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)建造過程的腳手架，而不是簡單的現(xiàn)成品”，應(yīng)加強合情理推理教學(xué)，在介紹演繹證明的同時教學(xué)生猜想，教探索性論證，讓學(xué)生由發(fā)現(xiàn)嘗試.
讓自己喜歡并真正理解數(shù)學(xué)，有必要“學(xué)生再創(chuàng)造（re-create）數(shù)學(xué)”，即學(xué)生學(xué)會建立結(jié)果與證明.如果忽略數(shù)學(xué)歸納發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)，而過分地偏向于演繹化，就會使學(xué)生誤以為數(shù)學(xué)是天才的創(chuàng)造物，數(shù)學(xué)定理是數(shù)學(xué)家通過演繹推理直接由幾個公理導(dǎo)出，這就是完全曲解了數(shù)學(xué)（事實上一些偉大的數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生根本不是邏輯的結(jié)果），容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑與自卑，抑制了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的愿望，不利于創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展.
學(xué)生在課堂上處于活躍、自由、富有創(chuàng)造欲望的狀態(tài)，根據(jù)教師提供的實例或具體的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，由學(xué)生們自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，“再創(chuàng)造”數(shù)學(xué).不光是接收現(xiàn)成的演繹體系，還必須數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界（具體事物或數(shù)學(xué)概念和規(guī)律）的方法——包括公理化方法、使用數(shù)學(xué)語言形式化、現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模式的方法等，參與“數(shù)學(xué)化”的過程，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為一個趣味盎然的活動，學(xué)生在思考中活動，在活動中思考.
五、自主學(xué)習(xí)原則
充分發(fā)揮自己學(xué)習(xí)的主動性，啟動自己的思維器官去探索數(shù)學(xué)的奧秘.
波利亞說：教師講了什么并非不重要，但更重要千萬倍的是學(xué)生想了些什么，學(xué)生的思路應(yīng)該在學(xué)生自己的頭腦中產(chǎn)生，主動系統(tǒng)地發(fā)現(xiàn)事物，在允許的條件下親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西，同時，學(xué)生要接受教師恰當(dāng)?shù)膸椭貏e是“內(nèi)部幫助”.多問是什么？為什么？哪里？何時？怎樣？以催化自己思想的產(chǎn)生.
為了主動學(xué)習(xí)，華羅庚反對“包教包會”的作法.他舉例說：學(xué)生聽課之后，有不懂之處就去問老師，兩次，三次，沒懂再問……表面上近乎好學(xué)，但實質(zhì)上是學(xué)生把希望寄托于“去問”，自己懶于思考，缺乏主動性.老師不是直接以現(xiàn)成的答案解決學(xué)生的疑難，而是從旁提供啟發(fā)線索，或借以參考書，一定要由學(xué)生主動思考后依靠自己得出結(jié)果.
真正的好老師教學(xué)時總是把學(xué)生定理的證明留給學(xué)生，只啟發(fā)學(xué)生.我們需要或者熱愛這樣的老師，愛上老師這樣的教學(xué)方式.
學(xué)生啟動自主學(xué)習(xí)，必須自己主動積極配合老師，教師只能起啟發(fā)引導(dǎo)作用，關(guān)鍵在于學(xué)生自己的主動性.“好學(xué)君子自相觸類而考，何必盡傳”，不必盡傳只緣有“好學(xué)君子”.培養(yǎng)自己的好奇心、自覺性、意志等非智力品質(zhì)視為貫徹這一原則的具體途徑，創(chuàng)新潛質(zhì)生懂得依靠自己是最可靠的力量.
六、動機激發(fā)原則
學(xué)生對教學(xué)的內(nèi)在興趣是學(xué)習(xí)的最佳動機，是執(zhí)著求索的強大動力，“興趣是最好的老師，它永遠勝過責(zé)任感.”應(yīng)當(dāng)把興趣的和愛好作為正在形成某種智力的契機來培養(yǎng).
任何數(shù)學(xué)教學(xué)形式都在尋求激發(fā)最佳動機的辦法.教師“有責(zé)任使學(xué)生信服數(shù)學(xué)史有趣的”（波利亞），然而“數(shù)學(xué)教育的最大缺陷之一卻正是缺乏這種動機理解證法的大概輪廓，學(xué)生若想掌握教學(xué)內(nèi)容，就得在課后主動花幾倍功夫加以整理、完善的激發(fā)”.名家們深信興趣可以培養(yǎng)，并積極尋求培養(yǎng)的途徑，教師引入問題活潑、新鮮，有時詼諧些，或說些似是而非自相矛盾的見解，讓學(xué)生猜測，當(dāng)他們表示出某種猜想以后，就會進一步追求猜想的正確與否，從而熱心起來（波利亞）；在老師的指導(dǎo)下指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中有趣味的東西（如簡便方法），領(lǐng)略數(shù)學(xué)的內(nèi)在魅力，好像被帶進花園，而不是在門外賞花，主動學(xué)生攻鉆難題，一旦成功，就會心懷喜悅，信心大增（華羅庚）；還要體會到自己不斷地有收獲（蘇步青）；加強數(shù)學(xué)美的感受（懷特海）；等等.
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