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簡易邏輯問題的解題思路

       《常用邏輯用語》高中數(shù)學(xué)選修2-1的第一章，是邏輯學(xué)的一個部分，在高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容與選修內(nèi)容的學(xué)習(xí)中起著承先啟后的作用。本章內(nèi)容主要包括四種命題的關(guān)系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞。在高考中主要以它為媒介，考查高中數(shù)學(xué)各章內(nèi)容的知識點(diǎn)．是每年高考的必考內(nèi)容之一．相當(dāng)一部分成績不錯的同學(xué)在遇到簡易邏輯問題時，經(jīng)常出錯．本文對簡易邏輯問題的解法作一探討．

1．利用集合理清關(guān)系

      充分（必要）條件是高中學(xué)段的一個重要概念，并且是學(xué)生理解上的一個難點(diǎn)。要解決這個難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來，讓學(xué)生看得見、想得通，才是最好方法。本文使用集合模型對充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實(shí)踐證明效果較好。

例1．“x ²－3x+20”是“x1”的             條件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）

解：設(shè)命題p:“x²－3x+20”、q:“x1”對應(yīng)的集合分別為A、B，

則，，顯然“”,

因此“x²－3x+20”是“x1”的既不充分也不必要條件。

2．抓住量詞，對癥下藥

全稱命題與存在性命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決此類命題的題目時一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而對癥下藥。

例2．（1）已知命題與命題p：“”q：“，”都是真命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍為_____________

（2）已知命題p：“”與 q：“，”都是真命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍為____________

解：（1）命題p：轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時，”，即，即。

命題q：即方程有解，，解得或

綜上所述：。

（2）命題 p：轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，，即，即。

命題q同（1）

綜上所述：或。

3．挖掘等價轉(zhuǎn)化思想提高解題速度

       在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時時刻刻滲透著等價轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個命題（原命題與逆否命題或逆命題與否命題）一定同真或同假，它們就是等價的；但原命題與逆命題不等價，即原命題為真，其逆命題不一定為真。

      例3．在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點(diǎn)。

（1）求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么＝3”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

解：（1）設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y²=2x于點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂) 

         當(dāng)直線的鈄率不存在時,直線的方程為x=3,此時,直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,－)               ∴=3；

 當(dāng)直線的鈄率存在時,設(shè)直線的方程為，其中，

         由得

         又 ∵ ，

    ∴，

    綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；

(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y²=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0)  該命題是假命題。

   例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時=3，直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上。

例4．設(shè)p： ，q：x²+y²≤r²(r>0) ,若q是¬p的充分不必要條件，求r的取值范圍。

分析：“q是¬p的充分不必要條件”等價于“p是¬q的充分不必要條件”。設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，則可由AC_RB出發(fā)解題。

解：設(shè)p、q對應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集C_RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，也即是圓x²+y²=r²外的點(diǎn)的集合。

∵AC_RB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離>r,

∴直線3x+4y-12=0上點(diǎn)到原點(diǎn)最近距離≥r ,

因?yàn)樵c(diǎn)O到直線3x+4y-12=0的距離d= ,

所以d的范圍為 。

4．采用補(bǔ)集思想另辟蹊徑

例5．已知三條拋物線y=x²-4ax-4a+3,y=x²+(a-1)x+a²,y=x²+2ax-2a中至少有一條與x軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：符合題意的情形有七種，而反面只有一種情形。利用補(bǔ)集思想求解。

解：若三條拋物線均不與x軸相交，則 ⊿₁<0,⊿₂<0,⊿₃<0 ，解得 。本題所求范圍即為它的補(bǔ)集，即 。

點(diǎn)評：已知全集U，若直接求其子集A有困難，則可先考慮其補(bǔ)集C_UA，再利用C_U（C_UA）=A而間接求出A。這種在順向思維受阻后改用逆向思維的思想，就是數(shù)學(xué)上的補(bǔ)集思想方法。補(bǔ)集思想方法的運(yùn)用，常給人以“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的體驗(yàn)。從哲學(xué)意義上講，它是通過兩次否定實(shí)現(xiàn)一次肯定，體現(xiàn)了否定之否定規(guī)律。

例6．已知函數(shù)f(x)=4x²-2(p-2)x-2p²-p+1在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實(shí)數(shù)C使f(C)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

分析：“在區(qū)間[-1，1]上至少存在一個實(shí)數(shù)C使f(C)>0成立”在具體運(yùn)用時難以將之體現(xiàn)而求出p的范圍。如果注意到它的反面即是“函數(shù)f(x) 在區(qū)間[-1，1]上不存在實(shí)數(shù)C使f(C)>0成立”，也既是“函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上恒≤0”的話，運(yùn)用補(bǔ)集思想方法，則問題就迎刃而解了。

解：設(shè)所求p的范圍為集合A，則C_UA={p|函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，1]上恒≤0}，

注意到函數(shù)f(x)圖象拋物線開口向上，

∴C_UA=p={p|p≤-3,或p} ,

∴A={p|-3<p<} 。

總之，在簡易邏輯的解題中蘊(yùn)涵著非常豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合的思想以及等價轉(zhuǎn)化的思想等，這是我們在學(xué)習(xí)的過程中需要加以重視，不斷總結(jié)。