命題和充要條件
二. 知識(shí)講解：
本考點(diǎn)內(nèi)容在高考中主要考查基本概念和基本原理，不會(huì)單獨(dú)命題，但會(huì)與其它知識(shí)結(jié)合，解邏輯問題的關(guān)鍵是熟練地掌握基本概念和基本方法。
1. 命題：所謂命題，是指可以判斷真假的語(yǔ)句，命題分為真命題和假命題兩種。
2. 命題有四種形式，即原命題、逆命題、否命題、逆否命題，其中原命題與逆否命題同真同假，逆命題和否命題同真同假，即逆否關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。
3. 判斷充要條件問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：
（1）明確命題中的條件是什么，結(jié)論
是什么；
（2）若，
，則是
的充分不必要條件，也稱是的必要不充分條件；若，則稱是的充要條件，若，，則稱是的既不充分也不必要條件。
4. 要知道數(shù)學(xué)用語(yǔ)，如“當(dāng)且僅當(dāng)”，“有且僅有”是指充要條件的。
【典型例題】
[例1] 已知命題：方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，：方程
無實(shí)根，如果或為真，且為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍。
解：由則，即：
由，則，即：
而或為真，且為假等價(jià)于和中有且僅有一個(gè)為真，另一個(gè)為假
（1）當(dāng)真假時(shí)，有則
（2）當(dāng)假真時(shí)，有，則
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或
[例2] 設(shè)集合，，
，則點(diǎn)P（2，3）的充要條件是（ ）
A. B.
C. D.
解：由，則P（2，3）等價(jià)于
即故應(yīng)選A
[例3] 一元二次方程（）有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
解：設(shè)（）的兩根為，則方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，等價(jià)于即，而A是充要條件，B、D均為既不充分也不必要條件，只有C是充分不必要條件。
[例4]（1）若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線；（2）若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線，以上命題中，逆命題為真命題的是（ ）。
解：
（1）的逆命題為：若四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，則這四點(diǎn)不共面，顯然為假命題。
（2）的逆命題為：若兩條直線是異面直線，則這兩條直線沒有公共點(diǎn)，根據(jù)異面直線的概念可知其為真命題，所以應(yīng)填（2）。
該題也可利用逆否關(guān)系的等價(jià)性進(jìn)行分析。
（1）的逆命題與否命題等價(jià)，否命題為：若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中存在三點(diǎn)共線，它是假命題。
（2）的否命題為：若兩條直線有公共點(diǎn)，則這兩條直線不是異面直線，它是真命題，故應(yīng)填（2）。
【模擬試題】
一. 選擇題：
1. 設(shè)全集為U，A、B為U的子集，則下列命題中與等價(jià)的有（ ）
① ，② ，③ ，④
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
2. 已知：，：的兩根介于和4之間，則是的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. 如果是B的充分而不必要條件，那么A是B的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 已知，，其中為正實(shí)數(shù)，則，，同時(shí)成立是成立的是（ ）
A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件
C. 充要條件 D. 既非充分也不必要條件
二. 填空題：
5. “對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式（）成立，則，”的逆命題，否命題和逆否命題中，真命題共 個(gè)。
6. 下列四個(gè)命題：
① “”是“，或”的充分不必要條件
② “”是“”的必要不充分條件
③ “”是“有實(shí)根”的充分不必要條件
④ “”是“”的充要條件
⑤ “若，則”的逆否命題是“若”，則，其中真命題的序號(hào)是 。
【試題答案】
一. 選擇題：
1. D 2. A 3. B 4. C
二.
5. 3
6. ①②③
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