一、一周知識概述
本周學(xué)習(xí)內(nèi)容為1.6邏輯聯(lián)結(jié)詞、 1.7四種命題及1.8充分條件與必要條件．理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，理解并掌握四種命題及其相互關(guān)系，掌握充分條件與必要條件，關(guān)鍵是要掌握關(guān)于充要條件的判斷．掌握反證法。
二、重難點知識的歸納與剖析
1．“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．不含邏輯聯(lián)結(jié)詞，是簡單命題；由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成，是復(fù)合命題．或、且、非是三種最基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞．課本給出了三種簡單的復(fù)合命題“p且q”，“p或q”和“非p”的真值表：
2．四種命題的形式是：
原命題：若p則q，
逆命題：若q則p
否命題：若
則
，
逆否命題：若
則
．
四種命題之間的相互關(guān)系
3．一個命題的真假與其它三個命題的真假有如下三條關(guān)系：
（1）原命題為真，它的逆命題不一定為真．
例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆命題“若ab=0，則a=0”是假命題．
（2）原命題為真，它的否命題不一定為真．
例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的否命題“若a≠0，則ab≠0”是假命題．
（3）原命題為真，它的逆否命題一定為真．
例如，原命題“若a=0，則ab=0”是真命題，它的逆否命題“若ab≠0，則a≠0”是真命題．
4．從邏輯推理關(guān)系上看
（1）若p
q且q
p，則p是q的充分而不必要條件；
（2）若q
p且p
q，則p是q的必要而不充分條件；
（3）若p
q且q
p（或p
q且
p
q）則p是q的充要條件；
（4）若p
q且q
p，則p既不是q的充分條件也不是q的必要條件。
從集合與集合之間關(guān)系上看
（1）若A
B，則A是B的充分條件；
（2）若A
B，則A是B的必要條件；
（3）A=B，則A是B的充要條件；
（4）若A
B且B
A，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件。
三、難點知識剖析
1．對反證法的理解
①反證法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真.在直接證明原命題有困難時，就可轉(zhuǎn)化為證明它的逆否命題成立.
②用反證法證明命題的一般步驟是
第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
第二步：從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.
③一般地來說，在什么條件下(或問題中)想到用反證法來證明，下面提供幾種情形作為參考.
第一，問題共計有n種情況，現(xiàn)要證明其中一種情況成立時，可想到用反證法證明把其他的 n-1種情況都排除，從而確定這種情況成立.
如要證明兩條直線相交，可用反證法證明這兩條直線平行不成立，因為在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交，平行不成立，那么間接的證明兩條直線相交；
第二，命題用否定形式敘述的，如證明2不是方程2x+1=0的根，可用反證法證明，假設(shè)2是方程2x+1=0的根，則2×2+1應(yīng)等于0，而2×2+1=5，產(chǎn)生矛盾，從而確定2不是方程2x+1=0的根成立；
第三，命題用“至少”的字樣敘述時，可用反證法證明，如證明a≠b，b≠c至少有一個成立，那我們可用反證法證明如下：假設(shè)a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，從這一條件出發(fā)推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，a≠b，b≠c至少有一個成立；
第四，當(dāng)命題成立非常明顯，而要直接證明，所用的理論不少，且不容易說明白，而它的逆命題易證，如（1）中的舉例，證明兩條直線相交的依據(jù)幾乎沒有，而平行線有很多性質(zhì)，易于推理，因此，用反證法把證明兩條直線相交問題轉(zhuǎn)化到平行線的性質(zhì)．
2.否命題與命題的否定是兩個不同的概念
若p表示命題，“非p”叫做命題的否定.如果原命題是“若p則q”，那么這個原命題的否定是“p則非q”，即只否定結(jié)論.
原命題的否定命題是“若非p，則非q”，即否定條件又否定結(jié)論，例如“菱形的四條邊都相等”的否定為“菱形的四條邊不都相等”；把“菱形的四條邊都相等”作為原命題，則它的否命題是“若四邊形不是菱形，則它的四條邊不都相等.”
3．三個邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的交、并、補(bǔ)運算的關(guān)系。
(1) 對“或”的理解可聯(lián)想到集合中“并集”的概念，
或
中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一個是成立。
(2) 對“且”的理解，可聯(lián)想到集合中“交集”的概念，
或
中的“且” 是指“x∈A”或“x∈B”這兩個條件都要滿足。
(3) 對“非”的理解，可聯(lián)想到集合中的“補(bǔ)集”概念，若命題中對應(yīng)于集合P，則命題非P就應(yīng)對應(yīng)著集合P在全集U中的補(bǔ)集CuP。
4．用集合觀點來理解“充分條件”、“必要條件”、“充要條件”
(1) 若p
q，則p是q的充分條件；若p
q，則p是q的必要條件。設(shè)A={x|p}，B={x|q}，如果A
B，就是x∈A則x∈B，則A是B的充分條件，即p
q。如圖：
(2) 若A=B則A是B的充要條件，即p
q.
5．結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等用集合觀點來解決《簡易邏輯》中一些問題。
例1、寫出若a、b<0則a<0且a>0的否命題
分析：
“若p則q”的否命題“若
p則
q”，它涉及了邏輯聯(lián)結(jié)詞的否定，對此我們從集合角度來看，a<0且b>0可表示為一個點集A，用圖形表示。如圖，不滿足“a<0且b>0”的點（a,b），在陰影的另一部分，即
。它可以看作是Ｘ軸及以下部分(b≤0)和Ｙ軸及右側(cè)部分（a≥0）部分合起來構(gòu)成，即兩塊區(qū)域的并集， a、b滿足“a≥0或b≤0”。
因而，否命題為若a、b≥0則a≥0或b≤0。
說明：“p且q”的否定為“非p或非q”，用集合的觀點來解釋，并結(jié)合圖形，同學(xué)更容易接受并理解。
例2、對實數(shù)x、y、“|x|+|y|≤1”是“|x|≤1，|y|≤1”的什么條件?
分析：
從集合的角度判斷，考慮集合A={(x,y)| |x|+|y|≤1}與B={(x,y)| |x|≤1，|y|≤1}的包含關(guān)系。如圖
可以知道，A
B，所以 |x|+|y|≤1是|x|≤1，|y|≤1的充分而不必要條件。
說明：充分條件、必要條件充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，在判斷時應(yīng)①確定條件是什么、結(jié)論是什么；②嘗試從條件推導(dǎo)結(jié)論，從結(jié)論推導(dǎo)條件；③確定條件是結(jié)論的什么條件。而前面我們已經(jīng)用集合的觀點來概括“充分”、“必要”、“充要”條件，因此解決這類問題時，有時可以借助集合的運算及包含關(guān)系來解決。
四、例題講解
例1、判斷下列命題的真假，并寫出它的逆命題，否命題，逆否命題，同時，也判斷這些命題的真假.
①若a＞b，則ac2＞bc2
②若a＞b，則
＜
③若一個式子是等式，則它的兩邊都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果仍是等式
④若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線
⑤若四邊形的對角互補(bǔ)，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形
⑥若在二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，b2-4ac＜0，則該二次函數(shù)圖像與x軸有公共點
分析：
要判斷命題的真假性，關(guān)鍵是看條件是否能推出結(jié)論，如果能，則是真命題，如果不能，則是假命題．寫出其它的幾個命題時，關(guān)鍵是分清條件和結(jié)論以及條件和結(jié)論的否定．
解：
① ∵當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，∴該命題為假命題
逆命題：若ac2＞bc2，則a＞b.為真
否命題：若a≤b，則ac2≤bc2.為真
逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.為假
② 該命題為假命題：∵ 當(dāng)a＞0，b＜0時
>
;
逆命題：若
<
，則a＞b.為假(如b＞0，a＜0時)
否命題：若a≤b，則
≥
.為假(如b＞0，a＜0時)
逆否命題：若
≥
，則a≤b.為假(如a＞0，b＜0時)
③ 該命題為真，這是等式的性質(zhì)
逆命題：若兩個式子都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果相等，則這兩個式子相等.為假，如把x和x2+1都乘以0后相等，但x≠x2+1
否命題：若兩個式子不相等，則把它們都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果也不相等.為假
逆否命題：若兩個式子都乘以同一個數(shù)，所得結(jié)果的不相等，則這個兩式也不相等.為真
④ 該命題為真
逆命題：若直線是圓的切線，則圓心到直線的距離等于半徑.為真
否命題：若圓心到直線的距離不等于半徑，則該直線不是圓的切線.為真
逆否命題：若直線不是圓的切線，則圓心到直線的距離不等于半徑.為真
⑤ 該命題為真
逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補(bǔ).為真
否命題：若四邊形的對角不互補(bǔ)，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形.為真
逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補(bǔ).為真
⑥ 該命題為假，∵當(dāng)b2-4ac＜0時，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實根.因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸無公共點.
逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸有公共點，則b2－4ac＜0.為假
否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖像與x軸沒有公共點.為假
逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸沒有公共點，則b2－4ac≥0，為假.
點評：
1.寫出一個命題的逆命題，否命題及逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫.
2.在判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假時，要利用原命題與其逆否命題的等價性（即同真同假），逆命題與否命題的等價性．
例2、設(shè)集合A、B是全集U的兩個子集，則A
B是
的（?。?div style="height:15px;">
至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍.
從正面入手，本題所要考慮的情況較多，但其反面情況僅有一種情況，故可考慮用反證法的思想去求解.
由③得a(a+2)＜0，即-2＜a＜0.
即可”.這種反證法的思想很重要，用起來也很簡潔明了.否則，用直接法求a的取值范圍將是很困難的.
