精確性和確定性是數(shù)學陳述的鮮明標志，這是公認的。但對于“數(shù)學是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”這個問題，人們就有了分歧，而這種爭論本該是哲學或政治領(lǐng)域的特質(zhì)。
“發(fā)現(xiàn)”這種說法暗示了在真實或超自然的世間存在著“前世”，而“發(fā)明”這種說法涉及人類心智，無論指個人的心智，還是指整個人類的心智。這個問題是一個跨學科的課題，涵蓋了哲學、數(shù)學、認知科學乃至人類學，絕不是數(shù)學能獨立解決的——至少不能直接解決。
有的學者是柏拉圖主義者（發(fā)現(xiàn)論者），有的學者是形式主義者（發(fā)明論者）。也有觀點認為這個問題本身就是個偽命題，數(shù)學既是發(fā)現(xiàn)，又是發(fā)明；一般情況，概念是發(fā)明的，定理是發(fā)現(xiàn)的。這個回答的最后，會以歐幾里得的黃金分割率為例，來闡釋為什么說數(shù)學是發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的結(jié)合。
觀點的一方：數(shù)學是發(fā)現(xiàn)
1989年，法國數(shù)學家阿蘭·孔涅（Alain Connes），這位贏得了數(shù)學界最負盛名的兩項榮譽（1982年的菲爾茲獎和2001年的克拉夫德獎）的數(shù)學家清晰地表達了自己的觀點。
知名而多產(chǎn)的數(shù)學科普作家馬丁·加德納（Martin Gardner）也支持“數(shù)學是一種發(fā)現(xiàn)”的觀點。對他來說，無論人類認識與否，數(shù)與數(shù)學都是獨立于人類認知存在的，這一點毫無疑問。他曾風趣地評論：“如果森林中有2只恐龍魚另外2只恐龍相遇，不管周圍是否有人類在觀察，那兒都會有4只恐龍。但是，愚蠢的熊卻不會知道?！盵2]正如孔涅所強調(diào)的，“數(shù)學是一種發(fā)現(xiàn)”（這也是柏拉圖的看法）的支持者認為，一旦人們理解了某個數(shù)學概念，如自然數(shù)1,2,3,4，…，那么就會面臨一些無可爭議的事實，如
，這與人們?nèi)绾慰创鼈兊年P(guān)系并無關(guān)聯(lián)。至少，這會給我們留下一種印象：我們接觸的就是存在的真實世界。
觀點的另一方：數(shù)學是發(fā)明
當然，并不是所有人都這么認為。在為孔涅的一本書撰寫評論文章時，英國數(shù)學家邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，他在1966年獲得了菲爾茲獎，在2004年獲得阿貝爾獎）寫道：
阿蒂亞確信：“通過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創(chuàng)造了數(shù)學?！盵3] 語言學家喬治·萊考夫（George Lakoff）和心理學家拉斐爾·努涅斯（Rafael Núez）也持同樣的觀點。二人在合著的《數(shù)學從哪里來》一書中總結(jié)道：“數(shù)學是人類天性的一部分，它源于我們的身體、大腦，以及我們在這個世界中每天的經(jīng)歷?！?/p>
阿蒂亞、萊考夫和努涅斯的觀點又引出了另一個有趣的問題：如果數(shù)學完全是人類發(fā)明，那么它真的具有普遍性嗎？想象一下，假如外星文明真的存在，它們是否也會發(fā)明出與我們相同的數(shù)學呢？卡爾·薩根（Carl Sagan，1934-1996）曾認為，答案是肯定的。當他在《宇宙》一書中探討智能文明將哪種訊息傳播到外空間時，薩根提出：“任何自然的物理進程都不可能只傳播僅包含質(zhì)數(shù)的無線電信息。假設(shè)接收到這樣的信息，我們就能推斷出那里存在一個至少喜歡質(zhì)數(shù)的文明?！钡@如何確定呢？
數(shù)學物理學家史蒂芬·沃爾夫拉姆（Stephen Wolfram）在《一門新科學》一書中提到，他認為這種稱為“人類的數(shù)學”的智慧，也許僅代表盛開在數(shù)學之樹上的眾多不同“花朵”中的一朵。假如不使用基于數(shù)學公式的法則來描繪自然的話，人類也可以使用其他類型的法則，比如，在簡單的計算機程序中所體現(xiàn)的法則。
有些分子生物學家和認知學家基于對大腦功能的研究提出了另外一種觀點：數(shù)學與語言的區(qū)別不大。換句話說，無數(shù)世代的人類在注意自己的雙手、雙眼、兩腿后，數(shù)字“2”的抽象定義就慢慢形成了。同樣，“鳥”這個字的概念也是這樣形成的——人們逐漸認識到，這個字代表有兩只翅膀，并能夠飛起來的動物。正如發(fā)過神經(jīng)系統(tǒng)學家讓-皮埃爾·尚熱（Jean-Pierre Changeux）所說的：“對我而言，公理化方法（歐幾里得幾何學就建立在幾條公理之上）就是與使用大腦相關(guān)的腦功能的表現(xiàn)”[4] 但是，如果數(shù)學算作另外一種語言的話，我們又該如何解釋，孩子為何在學習語言時相對比較輕松，而相當一部分孩子在學習數(shù)學時卻倍感吃力呢？
黃金分割率、幾何學與數(shù)學的兩重性
在歐幾里得那本不朽名著《幾何原本》的第6 卷中，有一個定義是關(guān)于如何把一條線段從特定方式分為兩條不等線段的。一個更早的定義是關(guān)于面積的，出現(xiàn)在第2 卷中。歐幾里得提出，線段AB被點C 分為兩段，如果以C 為端點的這兩條線段的長度之比（AC/CB），與整個線段長度除以較長線段長度的值（AB/AC）相等，那么整條線段的分割比例就符合“中末比”。換句話說，如果AC/CB =AB/AC，那么這一比例就稱為中末比。在19 世紀，這一比例有了更廣為人知的名字——“黃金分割率”。黃金分割率可以用一個非常簡單的代數(shù)表達式表示：如
你也許要問，歐幾里得為什么要如此費事地定義一種線段的分割方式，還專門給這個比例起了一個名字？畢竟，我們有無數(shù)種方式來分割一條線段。在從畢達哥拉斯學派和柏拉圖學派傳承下來的神秘文化中，我們或許能找到答案。畢達哥拉斯學派癡迷于數(shù)的研究。他們認為奇數(shù)代表男性和善，同時帶有偏見地認為偶數(shù)代表女性和惡。他們對數(shù)5 有特殊的興趣，因為5 是2 和3 的和，而3 是第一個奇數(shù)（男性），2 是第一個偶數(shù)（女性）。（1 并沒有被認為是一個數(shù)，而被當作所有數(shù)的源頭。）因此，在畢達哥拉斯學派眼中，5 是愛情和婚姻的化身。他們還用五角星作為彼此之間兄弟情誼的象征。這是黃金分割率第一次出現(xiàn)在歷史上。
如果你作一個正五角星，并仔細測量其中三角形任意一長邊與底邊的比值，你就會發(fā)現(xiàn)，這兩條邊之比恰好等于黃金分割率（上圖中的a/b）。同樣，中間的正五邊形的對角線與其邊之比，也等于黃金分割率（下圖中的c/d）。事實上，只用直尺和圓規(guī)就可以輕松地畫出這樣一個正五角星（這種尺規(guī)作圖畫出正五角星的方法在古希臘時代就有記錄）。在作圖過程中，你需要把一條線段分成兩段，而這個分割點就滿足黃金分割。
在畢達哥拉斯之后，柏拉圖又賦予黃金分割率新的神秘含義。古希臘人相信，宇宙中的所有物質(zhì)都是由4 種基本元素組成——土、火、空氣和水。在對話錄《蒂邁歐篇》中，柏拉圖用5 種符合對稱規(guī)則的多面體來解釋物質(zhì)的結(jié)構(gòu)，它們通常被稱為“柏拉圖多面體”（platonic solids）。這5 種凸面立體是正四面體、立方體（正六面體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。這些多面體是僅有的各面都是正多邊形（針對每一個單獨的多面體而言）且其面積都相等的多面體，同時，每個多面體上的所有頂點都在一個球面上。柏拉圖把其中4 個多面體與構(gòu)成宇宙的4 種基本元素聯(lián)系在了一起。例如，他認為土是立方體，火是正四面體，氣是正八面體，水是正二十面體。關(guān)于正十二面體（下圖的d圖形），柏拉圖在《蒂邁歐篇》中寫道：“對于剩下的第5 種復(fù)合圖形，上帝用它來代表全部，并給它繡上精美的圖案?！币簿褪钦f，在柏拉圖眼中，正十二面體代表整個宇宙。請注意，正十二面體的每一個面處處都有黃金分割率的影子，它的體積和表面積都可以用黃金分割率的公式來表達——正二十面體也是如此。
歷史表明，通過反復(fù)實驗和試錯，畢達哥拉斯學派及其后來者發(fā)現(xiàn)了特定幾何圖形的構(gòu)成方式。在他們看來，這些幾何圖形代表著一些重要的概念，例如愛和整個宇宙。毫無疑問，正是畢達哥拉斯學派和歐幾里得（他證明了這一教義）“發(fā)明”了蘊含在這些結(jié)構(gòu)之中的黃金分割率的概念，并為它起了名字。與其他比例不同，1.618... 這個數(shù)激發(fā)了眾人的熱情，成了一項豐富的數(shù)學研究的核心。即使在今天，我們?nèi)匀荒茉谝恍┮庀氩坏降牡胤桨l(fā)現(xiàn)它的蹤跡。
例如，在歐幾里得時代的兩千年之后，德國天文學家約翰尼斯·開普勒發(fā)現(xiàn)在斐波那契數(shù)列中，黃金分割率竟然也神秘地顯現(xiàn)了。斐波那契數(shù)列是指數(shù)列1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …從第3 個數(shù)開始，數(shù)列中每一個數(shù)都是它之前的兩個數(shù)之和，例如，2 ＝ 1 ＋ 1，3 ＝ 1 ＋ 2，5 ＝ 2 ＋ 3，等等。如果用這個數(shù)列中的一個數(shù)除以它前面的那個數(shù)， 例如，144÷89，233÷144，其結(jié)果在黃金分割率附近波動。而且，隨著數(shù)列的增加，這個值會越來越接近黃金分割率。比如，如果只取小數(shù)點之后6 位的話，斐波那契數(shù)列的上述除法運算可得到如下結(jié)果：144÷89 ＝1.617978，233÷144 = 1.618056，377÷233 ＝ 1.618026，等等。
如今，人們通過觀察發(fā)現(xiàn)，在一些植物葉片的排列分布方式（術(shù)語叫“葉序”）和部分鋁合金晶體結(jié)構(gòu)中，都存在斐波那契數(shù)列和黃金分割率的影子。
為什么把歐幾里得定義的黃金分割概念視為一種發(fā)明？這是因為歐幾里得憑借富有創(chuàng)意的思想，把這個比例挑選了出來，進行了詳細的分析，并成功地吸引了其他數(shù)學家的注意。不過值得注意的是，古代中國沒有明確闡釋黃金分割率的概念，目前發(fā)現(xiàn)的中國古代數(shù)學文獻中基本上沒有對它的具體描述。同樣，古印度也沒有發(fā)明黃金分割率的概念，只是在研究三角學的一些定理時隱約提到了這個比例。
許多例子可以證明，“數(shù)學是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明”這個問題其實是一個偽命題。數(shù)學是發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的結(jié)合！作為一種概念，歐幾里得幾何學中的公理是發(fā)明，正如國際象棋的規(guī)則是人類的發(fā)明一樣。公理被人類發(fā)明的各種概念不斷補充，如三角形、平行四邊形、橢圓、黃金分割率等。但從總體而言，歐幾里得的幾何學定理又都是發(fā)現(xiàn)，它們是連接不同概念的橋梁。在某些情況下，證明催生了定理——數(shù)學家仔細研究什么是能證明的，并從中總結(jié)、推演出定理。還有另一種情況，正如阿基米德在《方法論》中所描述的，數(shù)學家首先找出自己感興趣的某個問題的答案，之后再尋找證明方法。
一般情況下，概念是被發(fā)明的。比如，質(zhì)數(shù)這一基本概念是被數(shù)學家發(fā)明的，但是，關(guān)于質(zhì)數(shù)的相關(guān)定理卻是人們的發(fā)現(xiàn)。[5]在古巴比倫、古埃及和古代中國，當時的數(shù)學家們盡管已經(jīng)發(fā)展出了先進的數(shù)學理論，但他們從未提出過質(zhì)數(shù)的概念。我們能說，他們只是沒有“發(fā)現(xiàn)”質(zhì)數(shù)嗎？這就好比說，英國沒有“發(fā)現(xiàn)”唯一的、匯編成法典的憲章。正如一個國家在沒有憲法時也能正常運轉(zhuǎn)一樣，沒有質(zhì)數(shù)的概念，復(fù)雜的數(shù)學也能不斷發(fā)展。在歷史上，數(shù)學的確也是這樣發(fā)展的！
是什么原因促使古希臘人發(fā)明了“公理”和“質(zhì)數(shù)”等概念？我們無法確定。但我們可以猜想，這要歸功于他們堅持不懈地探索宇宙基本結(jié)構(gòu)的努力。質(zhì)數(shù)是數(shù)的基石，正如原子是物質(zhì)構(gòu)成的基礎(chǔ)。同樣，公理猶如一口源泉，所有的幾何真理都從中源源不斷地噴涌而出。正十二面體被視為代表了整個宇宙，而正是黃金分割率的概念引入了這一象征。
這些討論揭露了數(shù)學又一個有趣的特性：數(shù)學是人類文明的重要組成部分。在古希臘人發(fā)明了公理方法以后，西方所有后續(xù)的數(shù)學理論都遵循這一方法，并接受了同樣的哲學和實踐方式。人類學家萊斯利·懷特（Leslie A. White，1900—1975）曾試圖概括、總結(jié)數(shù)學中體現(xiàn)的人類文明，他說：“假如牛頓是在霍屯督部落（南非的一個原始部落）長大成人的，他的計算能力可能只和霍屯督人一樣?！盵6]許多數(shù)學發(fā)現(xiàn)（如紐結(jié)不變量），甚至一些意義重大的數(shù)學發(fā)明（如微積分），都是由不同數(shù)學家在獨立的工作中實現(xiàn)的，這恐怕都源于數(shù)學體現(xiàn)出的文化復(fù)雜性。
《最后的數(shù)學問題》 作者：[美] 馬里奧·利維奧 譯者：黃征
數(shù)學是人類的發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？數(shù)學貌似能解釋宇宙萬物，而這種無處不在的威力究竟從何而來？從信奉“萬物皆數(shù)”的畢達哥拉斯、刀斧之下依然從容演算的阿基米德，到探索宇宙奧秘的近代科學十足伽利略和剔除“我思，故我在”的解析幾何之父笛卡爾，再到反對柏拉圖主義的現(xiàn)代數(shù)學家阿蒂亞，數(shù)學思想在千百年來人類的深層思考中不斷演變、一脈相承。這些偉大科學家的傳奇經(jīng)歷、重要貢獻及其在數(shù)學史上的遠見卓識，繪成一幅斑斕的數(shù)學思想史畫卷，在作者的妙筆下緩緩舒展。
關(guān)于數(shù)學的本質(zhì)，數(shù)學與物質(zhì)世界、與人類思維之間的微妙關(guān)系，都將在這本書里得到充分探討，熱愛數(shù)學的朋友，不要錯過。
^尚熱、孔涅，1995年。
^加德納，2003年。
^阿蒂亞，1995年。
^尚熱、孔涅，1995年。
^關(guān)于這一思想請參閱赫什（2000）引用的耶胡達·拉夫（Yehuda Rav）的一篇文章。
^懷特，1947年。
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