數(shù)學(xué)的證明有所謂的存在型及建構(gòu)型兩類。譬如要證明任何兩個(gè)正整數(shù)a、b都有最大公約數(shù)，我們可以這么證：考慮型如ax + by的整數(shù)，其中x、y為任意的整數(shù)。設(shè)d = ax 0 + by 0為{ ax + by }中最小的正數(shù)；這樣的d一定存在，而且它就是a、b兩數(shù)的最大公約數(shù) 注1 。這是一個(gè)存在型的證明：d雖然是存在的，但如果a=10 11 +1 , b =10 21 +1，這個(gè)證明卻無(wú)法告訴我們d到底是多少。
在《原本》中，歐幾里得用的是輾轉(zhuǎn)相除求最大公約數(shù)的方法，它不但告訴我們兩個(gè)正整數(shù)一定有最大公約數(shù)，而且告訴我們?cè)鯓尤フ摇＿@是建構(gòu)型的證明。
其實(shí)，在《原本》中，歐幾里得已經(jīng)會(huì)使用存在型的證明。他說(shuō)質(zhì)數(shù)有無(wú)窮個(gè)；假設(shè)不然，設(shè) 為所有的質(zhì)數(shù)?？紤] 這個(gè)數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)一定不是p i，因?yàn)?span id="fbwnfa5u" class="MATH" style="margin: 0px; padding: 0px;">p i除m都除不盡。所以 為所有的質(zhì)數(shù)這樣的假定是錯(cuò)的，所以質(zhì)數(shù)有無(wú)窮個(gè)。在這個(gè)證明過(guò)程中，歐幾里得并沒(méi)有把無(wú)窮個(gè)質(zhì)數(shù)造出來(lái)給你看，所以這是存在型的證明。其實(shí)只要稍加修改，上述的證明就可以變成建構(gòu)型的：假定我們已經(jīng)找到n個(gè)質(zhì)數(shù) ，則將 這個(gè)數(shù)分解，所得的質(zhì)因數(shù)一定和p i不同，所以我們可以找到第n +1個(gè)質(zhì)數(shù)。依建構(gòu)型的觀點(diǎn)，這種潛在的無(wú)窮方法是可以接受的。
雖然歐幾里得已經(jīng)使用了存在型的證明，但希臘以降直到十八世紀(jì)為止，數(shù)學(xué)證明幾乎都是建構(gòu)型的，這大概和希臘的數(shù)學(xué)以尺規(guī)作圖實(shí)際能建構(gòu)者為限有關(guān)。譬如用尺規(guī)作圖無(wú)法作出一角的三等分線，所以有關(guān)三等分線的性質(zhì)就少有人研究。到了十九世紀(jì)，從Gauss 代數(shù)基本定理的存在型證明（見科學(xué)月刊第十六卷第一期本欄）開始，這一類型的證明就愈來(lái)愈普遍。
十九世紀(jì)下半有所謂的代數(shù)不變量論。譬如將二次三項(xiàng)式ax 2 + bxy + cy 2施以線性變換
而得 a ' x ' 2 + 2 b ' x ' y '+ c ' y ' 2，則判別式b 2 - ac（= b ' 2 - a ' c '）是個(gè)不變量。一般而言，將某種形式的多項(xiàng)式施以某種變換可得許多不變量。在這許多不變量中想找出一組有限個(gè)基本不變量，使得其他的不變量都能由這些基本不變量表出，這是當(dāng)時(shí)代數(shù)不變量論的最主要課題。于是每換一種形式的多項(xiàng)式或一種變換，數(shù)學(xué)家就努力尋找相對(duì)的基本不變量。所以代數(shù)不變量論就熱鬧了好一陣子。想不到，到了1888年，Hilbert卻 ??一口氣把這個(gè)問(wèn)題在形式上解決了。但解決的方法很奇怪：他證明在任何情形下，一組有限個(gè)基本不變量一定是存在的；可是這個(gè)證明卻無(wú)法告訴我們?cè)趺凑摇＿@是存在型的證明。它的出現(xiàn)，使不變量的研究意態(tài)闌珊，不久就宣告死亡。難怪當(dāng)時(shí)的不變量大王Gordan忍不住說(shuō)：“這種證明不是數(shù)學(xué)，它是神學(xué)！”
的確，少數(shù)一些數(shù)學(xué)家對(duì)于存在型的數(shù)學(xué)很是反感，尤其是當(dāng)集合論興起，引出許多矛盾的問(wèn)題。他們認(rèn)為只是存在而不知在那兒的，就不該算是數(shù)學(xué)的實(shí)體；當(dāng)集合的濫用引出許多矛盾之后，更有一派數(shù)學(xué)家極力主張惟有建構(gòu)型的實(shí)體、建構(gòu)型的證明才能接受。他們找出存在型的“禍根”，包括無(wú)窮集合論、邏輯上的矛盾證法及排中律，這些統(tǒng)統(tǒng)在排除之列。
建構(gòu)學(xué)派的基本觀點(diǎn)是這樣的：自然數(shù)是一切數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，凡是能從自然數(shù)一步一步建構(gòu)出來(lái)的（不能用存在型的方法）才算是數(shù)學(xué)的實(shí)體。實(shí)數(shù)整體由此不可得，不能做為研究的對(duì)象。其他的無(wú)窮元集合也一樣，都在排除之列，除非是像自然數(shù)1,2,3 ……那樣的潛在的無(wú)窮。所以建構(gòu)學(xué)派否定無(wú)窮，這是大部分?jǐn)?shù)學(xué)家所不能接受的，尤其是Zermelo、Fraenkel、von Neumann等人修訂了集合論公理之后，集合論一方面足夠?qū)С鰝鹘y(tǒng)的分析學(xué)內(nèi)容，另一方面也免除了集合論濫用所引起的許多矛盾；否定無(wú)窮，就使數(shù)學(xué)園地大為縮小。Hilbert說(shuō)：“沒(méi)有人能夠把我們從Cantor（集合論的發(fā)明者）為我們建造的樂(lè)園中趕出去?！贝蟛糠值臄?shù)學(xué)家都會(huì)同意這樣的看法。
在“質(zhì)數(shù)無(wú)窮多”的證明中，歐幾里得先假設(shè)質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)有限，然后導(dǎo)出質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)不是有限的結(jié)果。根據(jù)“一個(gè)敘述及其否定不能同時(shí)為真”的邏輯原理，質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)有限的假定錯(cuò)了，這是所謂的（歸于）矛盾（的）證法。從“質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)有限的假定錯(cuò)了”推到“質(zhì)數(shù)個(gè)數(shù)無(wú)窮”，則要用排中律，它說(shuō)：一個(gè)敘述及其否定兩者之中有一要為真。雖然矛盾證法與排中律我們是那么熟悉，對(duì)數(shù)學(xué)的證明是那么有用，但它們確實(shí)是許多存在型證明的根源。如果堅(jiān)持建構(gòu)型的證明，那么也只好忍痛割愛了。
當(dāng)然，矛盾證法與排中律是那么可愛，大部分的數(shù)學(xué)家愛用都來(lái)不及，當(dāng)然不會(huì)附和建構(gòu)學(xué)派的主張。因此二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的特色之一，仍然是存在型的證明大行其道。其實(shí)就建構(gòu)的觀點(diǎn)而言，存在型的證明也有其用處。譬如，根據(jù)存在型的證明，二次常微分方程式y "=- y的解為二維的線性組合。當(dāng)我們知道，, 是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解后，存在型的證明告訴我們： 是所有可能的解──這正是建構(gòu)型證明所要的。
二十世紀(jì)中葉以來(lái)，電腦科學(xué)興起。電腦注重的是算則(algorithm)──一步一步的計(jì)算步驟，因此存在型的證明就與電腦計(jì)算聯(lián)不上關(guān)系，惟有建構(gòu)型的證明才為電腦所歡迎。于是建構(gòu)型的數(shù)學(xué)又漸漸抬頭，不少人找出從前用存在型證明證過(guò)的定理，想辦法重新用建構(gòu)型??的方法證明。甚至只刊登建構(gòu)型證明的雜志也都出現(xiàn)了。雖然如此，電腦計(jì)算總有容量的限制，想知道誤差有多少，卻往往需要存在型數(shù)學(xué)的幫忙。電腦只能說(shuō)不愿意臣屬于存在型的數(shù)學(xué)，但還是歡迎它的拔刀相助的。
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