“發(fā)現(xiàn)”這種說法暗示了在真實(shí)或超自然的世間存在著“前世”，而“發(fā)明”這種說法涉及人類心智，無論指個人的心智，還是指整個人類的心智。
——馬里奧·利維奧
有兩個問題：第一，數(shù)學(xué)是獨(dú)立于人類心智之外的存在嗎？第二，為什么數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用領(lǐng)域最終會遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過早先的研究范疇？這兩個問題有著錯綜復(fù)雜的關(guān)聯(lián)。但是，為了簡化討論，我將會逐一回答它們。
你也許會問：今天的數(shù)學(xué)家在面對“數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明”這個問題時，他們的答案是什么？
下面，我就引用數(shù)學(xué)家菲利普·戴維斯（Philip Davis）和魯本·赫什（Reuben Hersh）在他們那本經(jīng)典的《數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)》一書中，對當(dāng)代數(shù)學(xué)家所處環(huán)境的生動描寫：
“對于這個問題，大部分人也許都會同意這種觀點(diǎn)：一位真正的數(shù)學(xué)家，他在工作日是一位柏拉圖主義者（把數(shù)學(xué)當(dāng)作一種發(fā)現(xiàn)），而在休息日時，他就變成了一位形式主義者（認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種發(fā)明）。也就是說，當(dāng)數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)時，他相信自己面對的是一種客觀現(xiàn)實(shí)，而他試圖確定的就是這種客觀現(xiàn)實(shí)的屬性。但接下來，當(dāng)他不得不對這種客觀現(xiàn)實(shí)給出哲學(xué)解釋時，他發(fā)現(xiàn)最簡單的辦法就是假裝自己根本不相信它?！?/span>
在這些引文中，我就不再處處都用“他或她”來替代“他”，以此來展現(xiàn)數(shù)學(xué)家的“人口”結(jié)構(gòu)變化了。我一直有一種印象，對于今天眾多的數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家來說，上述描寫和刻畫始終都是事實(shí)。盡管如此，一些 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)家的立場卻十分堅定，他們要么完全支持柏拉圖主義，要么完全贊同形式主義論。哈代在他那本《一個數(shù)學(xué)家的辯白》中講過一段話，代表了柏拉圖主義者的觀點(diǎn)：
“對我，或者對大多數(shù)數(shù)學(xué)家而言，還存在另外一種現(xiàn)實(shí)，我稱之為'數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)’。無論是數(shù)學(xué)家還是哲學(xué)家，對數(shù)學(xué)真實(shí)的本質(zhì)都沒有達(dá)成共識。有些人認(rèn)為它是'精神上的’，在某種意義上它是我們構(gòu)造的；另一些人則認(rèn)為它是客觀的，是獨(dú)立于我們之外的。倘若有人能對數(shù)學(xué)真實(shí)做出令人信服的解釋，那么就能解決許多最難的形而上學(xué)的問題。如果他能把物理真實(shí)囊括到他的解釋里，那么他就能解決所有關(guān)于形而上學(xué)的問題。
“即使我有能力探討這些問題，我也不愿在這里討論。不過，我會直接說出自己的觀點(diǎn)，以避免產(chǎn)生一些不太要緊的誤解。我相信，數(shù)學(xué)真實(shí)存在于我們之外，我們要做的是發(fā)現(xiàn)和觀察它，那些我們所證明的定理，并且夸夸其談地把它們說成是我們'創(chuàng)造’的定理，只不過是我們的觀察記錄。自柏拉圖以來，許多享有盛譽(yù)的哲學(xué)家都以這樣或那樣的方式表達(dá)過這個觀點(diǎn)。不喜歡哲學(xué)的讀者可以換種說法，這對我的結(jié)論沒什么影響。”
不過，也不是所有人都同意這種看法。數(shù)學(xué)家愛德華·凱斯納（Edward Kasner，1878—1955）和詹姆斯·紐曼（James Newman，1907—1966）在他們合著的《數(shù)學(xué)與想象》一書中就表達(dá)了完全相反的觀點(diǎn)：
“數(shù)學(xué)享有的聲望是其他任何一種目的明確的思想所無法比擬的，這并不奇怪。數(shù)學(xué)在科學(xué)領(lǐng)域促成了眾多進(jìn)展，它在處理實(shí)際問題中不可或缺，它讓純粹的抽象思想變得更容易理解。所以，數(shù)學(xué)被視為最受推崇的人類智力成就，絕對是實(shí)至名歸。
盡管數(shù)學(xué)備受推許，但是，首個獲得如潮好評的數(shù)學(xué)分支卻是近幾年才出現(xiàn)的非歐四維幾何學(xué)。當(dāng)然，這絕不是說微積分、概率論、無限運(yùn)算、拓?fù)鋵W(xué)以及其他我們討論過的數(shù)學(xué)分支不重要。所有這些分支都極大地豐富了數(shù)學(xué)這門學(xué)科的內(nèi)容，并讓我們對物理宇宙的認(rèn)識更加深入。然而，這些分支中沒有一個像非歐幾何這個'異端邪說’一樣，推動了數(shù)學(xué)自身的反省，促使了人們重新認(rèn)識數(shù)學(xué)各個分支之間及其與數(shù)學(xué)整體之間的關(guān)系。
這種英勇而寶貴的精神催生了'異端邪說’，但最終讓我們戰(zhàn)勝了一個觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)真理是獨(dú)立存在的，并與人類心智無關(guān)。奇怪的是，這種觀點(diǎn)一直以來都存在。畢達(dá)哥拉斯應(yīng)當(dāng)就是這么認(rèn)為的，而笛卡兒和 19 世紀(jì)以前成百上千位偉大數(shù)學(xué)家也都贊同。今天，數(shù)學(xué)已經(jīng)從重重的枷鎖下解放出來，拋棄了過去的束縛。不論數(shù)學(xué)的本質(zhì)是什么，我們認(rèn)識到它如同心智一樣自由，如同想象一樣可以被捕捉。非歐幾何證明了，天體的音樂（畢達(dá)哥拉斯之語），而是人類自己的作品，唯一限制它的只有思維的規(guī)則?！?/span>
精確性和確定性是數(shù)學(xué)陳述的鮮明標(biāo)志，這是公認(rèn)的。但對于“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”這個問題，人們就有了分歧，而這種爭論本該是哲學(xué)或政治領(lǐng)域的特質(zhì)。這出乎意料嗎？不一定?！皵?shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明”，這個問題其實(shí)根本就不是一個數(shù)學(xué)問題。
“發(fā)現(xiàn)”這種說法暗示了在真實(shí)或超自然的世間存在著“前世”，而“發(fā)明”這種說法涉及人類心智，無論指個人的心智，還是指整個人類的心智。
這個問題是一個跨學(xué)科的課題，涵蓋了哲學(xué)、數(shù)學(xué)、認(rèn)知科學(xué)乃至人類學(xué)，絕不是數(shù)學(xué)能獨(dú)立解決的——至少不能直接解決。因此，從這個意義上講，數(shù)學(xué)家甚至不是回答這個問題的最佳人選。畢竟，用語言來表演魔術(shù)的詩人，不必是最好的語言學(xué)家；最偉大的哲學(xué)家通常也不是研究人類大腦功能的專家。
至于數(shù)學(xué)究竟是“發(fā)明”還是“發(fā)現(xiàn)”，只能從不同學(xué)科領(lǐng)域（如果有可能的話，應(yīng)當(dāng)從全部學(xué)科領(lǐng)域）的眾多線索中仔細(xì)探查，才有望得到答案。
一部分人相信數(shù)學(xué)存在于獨(dú)立于人類的一個宇宙之中，但當(dāng)他們辨識宇宙的性質(zhì)時，還會不可避免地歸入兩個不同的陣營。
第一個陣營是“真正”的柏拉圖主義者，對他們而言，數(shù)學(xué)身居在一個充滿數(shù)學(xué)形象的抽象而永恒的世界里。由此，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)事實(shí)上是自然界一個真實(shí)的組成部分。因?yàn)槲乙呀?jīng)從多個角度討論過純柏拉圖主義的主要觀點(diǎn)和理論中的哲學(xué)缺陷，所以，我在此僅大致分析一下其不足之處。
美國麻省理工學(xué)院的天體物理學(xué)家麥克斯·泰格馬克（Max Tegmark）對“數(shù)學(xué)是物理世界的一部分”這種觀點(diǎn)分析得最透徹，想法也最激進(jìn)。
泰格馬克認(rèn)為：“我們所處的宇宙不僅是用數(shù)學(xué)描述的，它本身就是數(shù)學(xué)。”
泰格馬克的論證以一個無可辯駁的假設(shè)為起點(diǎn)。他假設(shè)，外部的物理現(xiàn)實(shí)是獨(dú)立于人類存在的，接著，他仔細(xì)分析了這種現(xiàn)實(shí)可能的終極理論的性質(zhì)，而所謂的“終極理論”就是物理學(xué)家們所說的“萬物理論”。
泰格馬克主張，既然物理世界與人類毫無關(guān)系，那么對它的描述一定不能帶任何人類的主觀色彩（特別是人類使用的語言）。換句話說，終極理論不能包含諸如“亞原子微粒”“振蕩波”“時空扭曲”等概念，或者其他由人類構(gòu)想出的結(jié)構(gòu)。
由此，泰格馬克總結(jié)道，從這種假設(shè)出發(fā)，對宇宙唯一可能的描述只能涉及抽象的概念，以及這些概念之間的關(guān)系，而他認(rèn)為，這些正是數(shù)學(xué)的操作定義（working definition）。
毫無疑問，泰格馬克對數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的論證還是相當(dāng)有趣的。但是，即使他的觀點(diǎn)完全正確，距離解決數(shù)學(xué)“無理由的有效性”這個問題，還有很長的路要走。
在一個被視為數(shù)學(xué)的宇宙中，數(shù)學(xué)與自然界之間有著“天衣無縫”的關(guān)聯(lián)，就沒什么好震驚的了。
然而，我發(fā)現(xiàn)泰格馬克的推理過程并不是無懈可擊的。
泰格馬克本人總結(jié)說：“我認(rèn)為，我們周圍的物理現(xiàn)實(shí)是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，我把這種假說稱為'數(shù)學(xué)宇宙’，對此你應(yīng)當(dāng)深信不疑?！?/span>
在我看來，從外部世界的存在（獨(dú)立于人類存在）到泰格馬克的這個結(jié)論，其間的跨越只不過是一種小把戲而已。泰格馬克試圖描述數(shù)學(xué)真正的特性，他說：“在一位現(xiàn)代邏輯學(xué)家看來，數(shù)學(xué)就是抽象實(shí)體以及它們之間關(guān)系的集合?！钡?，泰格馬克所指的現(xiàn)代邏輯學(xué)家可是人類！
換句話說，泰格馬克從來沒有真正“證明”我們的數(shù)學(xué)不是由人類創(chuàng)造的，他只是這樣猜想而已。而且，正如法國神經(jīng)生物學(xué)家讓 –皮埃爾·尚熱在對類似觀點(diǎn)表達(dá)看法時所說的：“就我們所研究的生物學(xué)中的自然現(xiàn)象而言，如果說物理現(xiàn)實(shí)屬于數(shù)學(xué)客體，在我看來，這將會帶來認(rèn)識論上的大難題。大腦內(nèi)的物理狀態(tài)怎么能代表在大腦外的其他物理狀態(tài)呢？”
其他觀點(diǎn)試圖把數(shù)學(xué)客體直接置于外部物理現(xiàn)實(shí)之中，而數(shù)學(xué)在解釋自然時的有效性被當(dāng)成了一條證據(jù)。然而，這實(shí)際上假設(shè)了，數(shù)學(xué)的有效性不可能有其他解釋。我在后面會證明這種觀點(diǎn)也不正確。
假如數(shù)學(xué)既不存在于不受時間與空間限制的柏拉圖主義世界里，也不存在于物理世界中，那么，這是不是就意味著數(shù)學(xué)完全是由人類創(chuàng)造的？絕對不是這樣。
實(shí)際上，數(shù)學(xué)研究成果大多是一種發(fā)現(xiàn)。在進(jìn)一步討論之前，我們十分有必要看看當(dāng)代認(rèn)知學(xué)家是怎么看待這個問題的。原因很簡單，即使數(shù)學(xué)全部都是人類的發(fā)現(xiàn)，這些發(fā)現(xiàn)終究來自數(shù)學(xué)家的大腦。
近年來，認(rèn)知科學(xué)取得了巨大的進(jìn)步。自然而然，我們期望神經(jīng)生物學(xué)家和心理學(xué)家把他們的注意力轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，特別是人類認(rèn)知中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
如果你僅僅浮光掠影地了解一下認(rèn)知科學(xué)的研究成果，你可能會覺得，這不過展現(xiàn)了馬克·吐溫的那句名言：“在一個手拿錘子的人的眼中，任何東西看上去都像一個釘子。”
雖然論述重點(diǎn)各有不同，但從本質(zhì)上講，所有神經(jīng)生物學(xué)家和生物學(xué)家都斷定，數(shù)學(xué)是人類的創(chuàng)造。但在仔細(xì)分析之后，你會發(fā)現(xiàn)，盡管認(rèn)知學(xué)家對認(rèn)識數(shù)據(jù)的解釋還遠(yuǎn)遠(yuǎn)稱不上清晰明了，但毫無疑問的是，認(rèn)知科學(xué)在探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的過程中開創(chuàng)了一個新階段。下面有一個認(rèn)知學(xué)家提出的例子——雖然不起眼，但很有代表性。
法國神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)家斯坦尼斯拉斯·迪昂（Stanislas Dehaene）主要研究數(shù)學(xué)認(rèn)知，他在 1997 年出版的《數(shù)感》一書中總結(jié)道：“對數(shù)字的直覺深深地根植于我們的腦海之中?！?nbsp;這一觀點(diǎn)其實(shí)與直覺論思想十分相近。
直覺論希望將所有的數(shù)學(xué)知識都建立在純粹的對自然數(shù)的直覺形式之上。迪昂堅持認(rèn)為，有關(guān)算術(shù)的心理學(xué)發(fā)現(xiàn)證實(shí)了“數(shù)字屬于'思維的自然客體’，依靠這些固有的屬性，我們才認(rèn)識了世界”。
迪昂和同事們單獨(dú)研究了蒙杜魯庫人（Mundurukú）的行為——這是居住在亞馬孫河流域的一個與世隔絕的印第安人部落，其語言對數(shù)的概念只有從 1 到 4 這 4 個數(shù)字。之后，他們在 2006 年針對幾何學(xué)的認(rèn)知提出了一個類似觀點(diǎn)：“這個離群索居的部落對幾何概念或圖形的理解是無意識的、自發(fā)的。這證明了，幾何的核心知識就如初等算術(shù)一樣，都是人類心智普適的構(gòu)成要素?！?/span>
當(dāng)然，并非所有認(rèn)知學(xué)家都贊同迪昂的最后一個結(jié)論。 例如，有人就指出，蒙杜魯庫人在這項(xiàng)幾何實(shí)驗(yàn)中能成功地從直線中辨認(rèn)出曲線，從多個正方形中正確指出混雜其間的三角形，或是從多個圓形中指認(rèn)出橢圓，這和人們從一堆物體中挑出與眾不同的物體的能力有更大關(guān)系，而不是先天擁有幾何學(xué)知識。
在《關(guān)于心智、物質(zhì)和數(shù)學(xué)的對話》一書中，法國神經(jīng)生物學(xué)家讓 – 皮埃爾·尚熱與法國數(shù)學(xué)家阿蘭·孔涅——他也是一位柏拉圖主義的信徒——就數(shù)學(xué)本質(zhì)展開了一段十分有趣卻發(fā)人深省的討論：
“數(shù)學(xué)客體與人類感知世界無關(guān)，原因在于數(shù)學(xué)客體自身生成的特性，以及它們產(chǎn)生其他客體的能力。需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，大腦中存在某種所謂的'意識隔間’，這是一種物理空間，用來模仿和創(chuàng)造新的客體……從某些角度來講，新的數(shù)學(xué)客體就像是生物體：這些作為物理客體的生物體，容易受到快速進(jìn)化的影響；但與生物體（病毒是個特例）不同的是，它們的進(jìn)化在我們的大腦中進(jìn)行。
最終，針對“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”這個問題，最明確的觀點(diǎn)是由認(rèn)知語言學(xué)家喬治·萊考夫和心理學(xué)家拉斐爾·努涅斯提出的，在二人合著的那本頗富爭議的《數(shù)學(xué)從哪里來》一書中，他們聲稱：
“數(shù)學(xué)是人類天性的一部分，它源于我們的身體、大腦，以及我們在這個世界中每天的經(jīng)歷。（因此，萊考夫和努涅斯稱數(shù)學(xué)源于'心智的物化’。）……數(shù)學(xué)是人類提出的系統(tǒng)化概念，這種概念體系充分利用了人類普通的認(rèn)知工具。人類創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，并有責(zé)任保持和拓展它。在數(shù)學(xué)的肖像上，一定會有人類的面孔出現(xiàn)?！?/span>
認(rèn)知科學(xué)家通過觀察大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果——他們把這些結(jié)果視為無可辯駁的證據(jù)，最終得出結(jié)論。
在這些實(shí)驗(yàn)中，有一部分涉及人類在執(zhí)行數(shù)學(xué)任務(wù)的過程中，大腦功能性成像的研究。還有一些研究人員研究了嬰幼兒的數(shù)學(xué)技能，以及現(xiàn)存原始部落（如蒙杜魯庫人）中的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，這些研究的樣本基本上從來沒有接受過教育，還有些對象遭受過各種輕重不一的腦部損傷。研究者大多認(rèn)為，嬰幼兒已經(jīng)表現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)能力了。
例如，大部分人只需看一眼就能說出自己看到的物體數(shù)量是一個、兩個還是三個。有一個專業(yè)術(shù)語描述這種現(xiàn)象，叫作“數(shù)感”（subitizing）。在分組、配對等形式中，以及對于一些十分簡單的加法和減法等基本的算術(shù)概念，人類確實(shí)表現(xiàn)出某種天生的能力。
在簡單理解一些非?；A(chǔ)的幾何概念方面，人類似乎也同樣表現(xiàn)出這種先天的才能——盡管人們對于后者有一些爭議。神經(jīng)系統(tǒng)科學(xué)家還區(qū)分了大腦不同區(qū)域的功能，例如，目前他們普遍認(rèn)為，人類大腦左半球的角回似乎是玩轉(zhuǎn)數(shù)字和完成數(shù)學(xué)運(yùn)算的關(guān)鍵部位，但它不是語言或記憶的核心區(qū)域。
萊考夫和努涅斯認(rèn)為，人類要想超越天生的內(nèi)在能力，最主要的方式是構(gòu)建“概念隱喻”（conceptual metaphors），也就是將抽象的概念轉(zhuǎn)換為更具體的概念的思維過程。例如，算術(shù)概念的基礎(chǔ)就是對物體集合的隱喻。
另一方面，關(guān)于類的更抽象的布爾代數(shù)，以隱喻的方式把類和數(shù)聯(lián)系在了一起。萊考夫和努涅斯還構(gòu)建了復(fù)雜的場景，探討了有趣的觀點(diǎn)，例如，人類為什么覺得某些數(shù)學(xué)概念要比其他概念更難。同時，英國謝菲爾德大學(xué)的認(rèn)知神經(jīng)系統(tǒng)學(xué)家羅斯瑪麗·華萊（Rosemary Varley）等其他科研人員認(rèn)為，至少有一部分?jǐn)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是以語言技能為基礎(chǔ)的，也就是說，人類借用了構(gòu)建語言所使用的心智工具，才對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻的理解。
認(rèn)知科學(xué)家們堅定地認(rèn)為，數(shù)學(xué)是與人類心智相聯(lián)系的，他們不贊成柏拉圖主義的數(shù)學(xué)世界。有趣的是，我注意到柏拉圖主義最堅定的反對派并不是神經(jīng)系統(tǒng)學(xué)科學(xué)家，而是 20 世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家之一邁克爾·阿蒂亞爵士。
如果現(xiàn)在讓你從數(shù)學(xué)中選擇一個最有可能是獨(dú)立于人類心智存在的概念，你會選擇哪一個？絕大多數(shù)人或許會毫不猶豫地選擇自然數(shù)。的確，還有什么比 1, 2, 3, 4,…更“自然”的概念嗎？
德國數(shù)學(xué)家利奧波德·克羅內(nèi)克（Leopold Kronecker，1823—1891）是一位直覺論者，但他也曾公開講過一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，而其他所有事都是人類的工作。”所以，如果有人能夠證明，作為數(shù)學(xué)概念的自然數(shù)也源自人類心智，那么，這將成為支持“數(shù)學(xué)是人類的發(fā)明”這一觀點(diǎn)最強(qiáng)有力的證據(jù)了。
好，讓我們重新回到阿蒂亞身上。他曾經(jīng)舉了一個例證：“讓我們想象一下，假設(shè)文明沒有出現(xiàn)在人類之中，而是誕生在太平洋深處，與世隔絕的水母群體之中。水母沒有單獨(dú)的個體體驗(yàn)，只能感覺到周圍的水。運(yùn)動、溫度和壓力將為它提供基本的感知經(jīng)驗(yàn)。在這樣的環(huán)境中，不會出現(xiàn)離散的概念，也不會有什么計數(shù)。”
換句話說，阿蒂亞相信，即使是自然數(shù)這種最基本的概念，也是由人類通過對物理世界基本元素的抽象（認(rèn)知科學(xué)家可能會說，“通過基本的隱喻”）而創(chuàng)造的。換一種說法，比如，數(shù) 12 代表了所有數(shù)量為“12”的物體的抽象通用屬性，同樣，“思維”這個詞代表了發(fā)生在我們大腦中的各種過程。
你也許不贊成假設(shè)“水母的宇宙”作為代表，來證明這一觀點(diǎn)。你也許會說，在我們周圍只有一個無法回避的宇宙，所有猜想都應(yīng)當(dāng)以這個宇宙為背景。然而，這種反駁其實(shí)相當(dāng)于承認(rèn)了，自然數(shù)這一概念依賴于人類所體驗(yàn)的宇宙！提醒一下，萊考夫和努涅斯的“數(shù)學(xué)源于心智的物化”的觀點(diǎn)，表達(dá)的正是這個意思。
如此說來，數(shù)學(xué)概念貌似源于人類心智。讀到這里，你可能會產(chǎn)生疑問：“之前你還稱大多數(shù)的數(shù)學(xué)是被發(fā)現(xiàn)的，這一立場本質(zhì)上與柏拉圖主義十分接近——這不是自相矛盾了嗎？”
在日常用語中，“發(fā)現(xiàn)”和“發(fā)明”的區(qū)別有時十分清楚，有時又頗為模糊。沒有人會說莎士比亞“發(fā)現(xiàn)”了哈姆雷特，或者說居里夫人“發(fā)明”了鐳。針對某類疾病的新藥通常被視為一種“發(fā)現(xiàn)”，然而，它們通常來自人工合成的新化學(xué)成分。在這里，我想舉一個非常典型的數(shù)學(xué)例子，我相信它不僅能幫助我們區(qū)分“發(fā)明”和“發(fā)現(xiàn)”，還有助于我們深刻理解數(shù)學(xué)演化和發(fā)展的過程。
在歐幾里得那本不朽名著《幾何原本》的第 6 卷中，有一個定義是關(guān)于如何把一條線段從特定方式分為兩條不等線段的。一個更早的定義是關(guān)于面積的，出現(xiàn)在第 2 卷中。
歐幾里得提出，線段AB被點(diǎn)C分為兩段（圖 9-1），如果以C為端點(diǎn)的這兩條線段的長度之比（AC/CB），與整個線段長度除以較長線段長度的值（AB/AC）相等，那么整條線段的分割比例就符合“中末比”。換句話說，如果AC/CB=AB/AC，那么這一比例就稱為中末比。在 19 世紀(jì)，這一比例有了更廣為人知的名字——“黃金分割率”。黃金分割率可以用一個非常簡單的代數(shù)表達(dá)式表示 ：
圖 9-1
你也許要問，歐幾里得為什么要如此費(fèi)事地定義一種線段的分割方式，還專門給這個比例起了一個名字？
畢竟，我們有無數(shù)種方式來分割一條線段。在從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和柏拉圖學(xué)派傳承下來的神秘文化中，我們或許能找到答案?；叵胍幌?，我曾在前面提到過，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派癡迷于數(shù)的研究。
他們認(rèn)為奇數(shù)代表男性和善，同時帶有偏見地認(rèn)為偶數(shù)代表女性和惡。他們對數(shù) 5 有特殊的興趣，因?yàn)?5 是 2 和 3 的和，而 3 是第一個奇數(shù)（男性），2 是第一個偶數(shù)（女性）。（1 并沒有被認(rèn)為是一個數(shù)，而被當(dāng)作所有數(shù)的源頭。）
因此，在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派眼中，5 是愛情和婚姻的化身。他們還用五角星（圖 9-2）作為彼此之間兄弟情誼的象征。這是黃金分割率第一次出現(xiàn)在歷史上。如果你作一個正五角星，并仔細(xì)測量其中三角形任意一長邊與底邊的比值，你就會發(fā)現(xiàn)，這兩條邊之比恰好等于黃金分割率（圖 9-2 中的 a/b）。
同樣，中間的正五邊形的對角線與其邊之比，也等于黃金分割率（圖 9-3 中的 c/d）。事實(shí)上，只用直尺和圓規(guī)就可以輕松地畫出這樣一個正五角星（這種尺規(guī)作圖畫出正五角星的方法在古希臘時代就有記錄）。在作圖過程中，你需要把一條線段分成兩段，而這個分割點(diǎn)就滿足黃金分割。
圖 9-2
圖 9-3
在畢達(dá)哥拉斯之后，柏拉圖又賦予黃金分割率新的神秘含義。古希臘人相信，宇宙中的所有物質(zhì)都是由 4 種基本元素組成——土、火、空氣和水。
在對話錄《蒂邁歐篇》中，柏拉圖用 5 種符合對稱規(guī)則的多面體來解釋物質(zhì)的結(jié)構(gòu)，它們通常被稱為“柏拉圖多面體”（platonic solids）。這 5 種凸面立體是正四面體、立方體（正六面體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。
這些多面體是僅有的各面都是正多邊形（針對每一個單獨(dú)的多面體而言）且其面積都相等的多面體，同時，每個多面體上的所有頂點(diǎn)都在一個球面上。柏拉圖把其中 4 個多面體與構(gòu)成宇宙的 4 種基本元素聯(lián)系在了一起。
例如，他認(rèn)為土是立方體，火是正四面體，氣是正八面體，水是正二十面體。關(guān)于正十二面體（圖 9-4d），柏拉圖在《蒂邁歐篇》中寫道：“對于剩下的第 5 種復(fù)合圖形，上帝用它來代表全部，并給它繡上精美的圖案?！币簿褪钦f，在柏拉圖眼中，正十二面體代表整個宇宙。請注意，正十二面體的每一個面處處都有黃金分割率的影子，它的體積和表面積都可以用黃金分割率的公式來表達(dá)——正二十面體也是如此。
歷史表明，通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)和試錯，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及其后來者發(fā)現(xiàn)了特定幾何圖形的構(gòu)成方式。
在他們看來，這些幾何圖形代表著一些重要的概念，例如愛和整個宇宙。毫無疑問，正是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派和歐幾里得（他證明了這一教義）“發(fā)明”了蘊(yùn)含在這些結(jié)構(gòu)之中的黃金分割率的概念，并為它起了名字。
與其他比例不同，1.618... 這個數(shù)激發(fā)了眾人的熱情，成了一項(xiàng)豐富的數(shù)學(xué)研究的核心。即使在今天，我們?nèi)匀荒茉谝恍┮庀氩坏降牡胤桨l(fā)現(xiàn)它的蹤跡。
例如，在歐幾里得時代的兩千年之后，德國天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒發(fā)現(xiàn)在斐波那契數(shù)列中，黃金分割率竟然也神秘地顯現(xiàn)了。斐波那契數(shù)列是指數(shù)列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …從第 3 個數(shù)開始，數(shù)列中每一個數(shù)都是它之前的兩個數(shù)之和，例如，2 ＝ 1 ＋ 1，3 ＝ 1 ＋ 2，5 ＝ 2 ＋ 3，等等。
如果用這個數(shù)列中的一個數(shù)除以它前面的那個數(shù)，例如，144÷89，233÷144，其結(jié)果在黃金分割率附近波動。而且，隨著數(shù)列的增加，這個值會越來越接近黃金分割率。比如，如果只取小數(shù)點(diǎn)之后 6 位的話，斐波那契數(shù)列的上述除法運(yùn)算可得到如下結(jié)果：144÷89 ＝ 1.617978，233÷144 ＝ 1.618056，377÷233 ＝ 1.618026，等等。
如今，人們通過觀察發(fā)現(xiàn)，在一些植物葉片的排列分布方式（術(shù)語叫“葉序”）和部分鋁合金晶體結(jié)構(gòu)中，都存在斐波那契數(shù)列和黃金分割率的影子。
圖 9-4
我為什么把歐幾里得定義的黃金分割概念視為一種發(fā)明？這是因?yàn)闅W幾里得憑借富有創(chuàng)意的思想，把這個比例挑選了出來，進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并成功地吸引了其他數(shù)學(xué)家的注意。不過值得注意的是，古代中國沒有明確闡釋黃金分割率的概念，目前發(fā)現(xiàn)的中國古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中基本上沒有對它的具體描述。同樣，古印度也沒有發(fā)明黃金分割率的概念，只是在研究三角學(xué)的一些定理時隱約提到了這個比例。
許多例子可以證明，“數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明”這個問題其實(shí)是一個偽命題。數(shù)學(xué)是發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的結(jié)合！作為一種概念，歐幾里得幾何學(xué)中的公理是發(fā)明，正如國際象棋的規(guī)則是人類的發(fā)明一樣。公理被人類發(fā)明的各種概念不斷補(bǔ)充，如三角形、平行四邊形、橢圓、黃金分割率等。但從總體而言，歐幾里得的幾何學(xué)定理又都是發(fā)現(xiàn)，它們是連接不同概念的橋梁。
在某些情況下，證明催生了定理——數(shù)學(xué)家仔細(xì)研究什么是能證明的，并從中總結(jié)、推演出定理。還有另一種情況，正如阿基米德在《方法論》中所描述的，數(shù)學(xué)家首先找出自己感興趣的某個問題的答案，之后再尋找證明方法。
一般情況下，概念是被發(fā)明的。比如，質(zhì)數(shù)這一基本概念是被數(shù)學(xué)家發(fā)明的，但是，關(guān)于質(zhì)數(shù)的相關(guān)定理卻是人們的發(fā)現(xiàn)。 在古巴比倫、古埃及和古代中國，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們盡管已經(jīng)發(fā)展出了先進(jìn)的數(shù)學(xué)理論，但他們從未提出過質(zhì)數(shù)的概念。我們能說，他們只是沒有“發(fā)現(xiàn)”質(zhì)數(shù)嗎？這就好比說，英國沒有“發(fā)現(xiàn)”唯一的、匯編成法典的憲章。正如一個國家在沒有憲法時也能正常運(yùn)轉(zhuǎn)一樣，沒有質(zhì)數(shù)的概念，復(fù)雜的數(shù)學(xué)也能不斷發(fā)展。在歷史上，數(shù)學(xué)的確也是這樣發(fā)展的！
是什么原因促使古希臘人發(fā)明了“公理”和“質(zhì)數(shù)”等概念？我們無法確定。但我們可以猜想，這要?dú)w功于他們堅持不懈地探索宇宙基本結(jié)構(gòu)的努力。質(zhì)數(shù)是數(shù)的基石，正如原子是物質(zhì)構(gòu)成的基礎(chǔ)。同樣，公理猶如一口源泉，所有的幾何真理都從中源源不斷地噴涌而出。正十二面體被視為代表了整個宇宙，而正是黃金分割率的概念引入了這一象征。
這些討論揭露了數(shù)學(xué)又一個有趣的特性：數(shù)學(xué)是人類文明的重要組成部分。在古希臘人發(fā)明了公理方法以后，西方所有后續(xù)的數(shù)學(xué)理論都遵循這一方法，并接受了同樣的哲學(xué)和實(shí)踐方式。人類學(xué)家萊斯利·懷特（Leslie A. White，1900—1975）曾試圖概括、總結(jié)數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的人類文明，他說：“假如牛頓是在霍屯督部落（南非的一個原始部落）長大成人的，他的計算能力可能只和霍屯督人一樣?！?nbsp;許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（如紐結(jié)不變量），甚至一些意義重大的數(shù)學(xué)發(fā)明（如微積分），都是由不同數(shù)學(xué)家在獨(dú)立的工作中實(shí)現(xiàn)的，這恐怕都源于數(shù)學(xué)體現(xiàn)出的文化復(fù)雜性。
我在前面比較過數(shù)學(xué)的抽象概念與文字含義之間的異同，那么，數(shù)學(xué)是一種語言嗎？
無論從數(shù)學(xué)邏輯還是從語言學(xué)的角度來分析，我們都可以看出，在某種程度上，數(shù)學(xué)的確是一種語言。
布爾、弗雷格、皮亞諾、羅素、懷特海、哥德爾，以及他們在今天的追隨者（特別是在哲學(xué)句法、語義學(xué)和語言學(xué)領(lǐng)域里）已經(jīng)證明，語法和推理與邏輯符號的代數(shù)學(xué)密切相關(guān)。
但是，為什么世界上有 6500 多種語言，卻只有一種數(shù)學(xué)呢？
事實(shí)上，所有不同的語言都有一些共同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。美國語言學(xué)家查爾斯·霍克特（Charles F. Hockett，1916—2000）在 20 世紀(jì) 60 年代提出，所有語言都有一種內(nèi)在的固化的技巧，讓新的詞匯或短語能被人們比較容易地接受，如“網(wǎng)站主頁”“筆記本電腦”等。
同樣，所有的人類語言都允許存在抽象概念，如“超現(xiàn)實(shí)主義”“匱乏”“偉大”，允許否定的表達(dá)，如“不”“尚未”，允許提出基本的假設(shè)，如“如果奶奶有輪子，那么她就是一輛汽車”。
也許，在所有語言中最重要的兩個屬性就是“末端開放”（open - endedness）和“刺激自由”（stimulus - freedom）。末端開放意味著創(chuàng)造聞所未聞的表述，并理解這種表述的能力。
比如，我可以很容易地造出這樣一個句子：“你不能用口香糖來修建一座大壩。”或許，你在過去從來沒有聽到過這句話，但你在理解它的意思時卻不存在任何障礙。刺激自由是指在面對刺激時做出回應(yīng)的能力。
比如，創(chuàng)作型歌手卡洛爾·金（Carole King）在她的歌曲中提出了一個問題：“明天你是否依然愛我？”答案應(yīng)當(dāng)是如下幾種：(1) 我不知道明天我是否還活著；(2) 絕對還愛你；(3) 就算在今天我也不愛你；(4) 不會像愛我的狗那么愛你；(5) 這絕對是你最動聽的一首歌；(6) 我想知道，今年誰會贏得澳大利亞網(wǎng)球公開賽的冠軍。
說不定，你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這里列舉的例子的特征，如抽象、否定、末端開放和演變能力，也正是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。
我在前面提到過，萊考夫和努涅斯十分重視數(shù)學(xué)中的隱喻的作用。認(rèn)知語言學(xué)家甚至認(rèn)為，所有人類語言都使用隱喻來表達(dá)幾乎所有的事物。更重要的是，自 1957 年起——正是著名的語言學(xué)家諾姆·喬姆斯基（Noam Chomsky）出版他那本革命性著作《句法結(jié)構(gòu)》的年份 ——許多語言學(xué)家開始圍繞“通用語法”（universal grammar，指支配所有語言的準(zhǔn)則）展開了大量的研究。那些在表面上各不相同的語言，其背后也許隱藏著令人驚奇的相同結(jié)構(gòu)。事實(shí)上，如果不是這樣的話，那么幫助人們把一門語言翻譯為另一門語言的詞典，永遠(yuǎn)都不會起什么作用。
你也許想知道，為什么數(shù)學(xué)無論是在主題內(nèi)容上，還是在符號概念上都是全球統(tǒng)一的。這個問題的前半部分尤其引人關(guān)注。
大多數(shù)數(shù)學(xué)家一致認(rèn)為，我們今天所知的數(shù)學(xué)起源于由古巴比倫、古埃及和古希臘人在實(shí)踐中發(fā)展起來的幾何學(xué)和算術(shù)——它們是數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的分支。然而，數(shù)學(xué)是不是必須從那些特定的學(xué)科中發(fā)展而來？
計算機(jī)專家斯蒂芬·沃爾弗拉姆（Stephen Wolfram）在他那本皇皇巨著《一門新科學(xué)》中提出了相反的觀點(diǎn)，他認(rèn)為這不是必需的。 特別是，沃爾弗拉姆表明，通過簡單的規(guī)則集合——它們類似于計算機(jī)程序，通常被稱為“細(xì)胞自動機(jī)”（cellular automata）——人們可以發(fā)展出一門完全不同的數(shù)學(xué)。細(xì)胞自動機(jī)可以（至少在原則上可以）用作對自然現(xiàn)象建模的基礎(chǔ)工具，借此替代使用了近 3 個世紀(jì)之久的微分方程。
那么，是什么促使古代文明發(fā)現(xiàn)或發(fā)明了獨(dú)特的數(shù)學(xué)“標(biāo)記”呢？事實(shí)上，我也不是十分清楚，但是，這可能與人類感知系統(tǒng)有很大的關(guān)系。人類可以容易地發(fā)現(xiàn)并感知邊、直線和光滑曲線。當(dāng)你看到一條直線時，你能準(zhǔn)確地（僅僅用肉眼）判斷出它是一條直線嗎？你能辨別出圓形和略微有點(diǎn)發(fā)扁的“圓”（橢圓）之間的差別嗎？這種感知能力也許在很大程度上塑造了人類對世界的認(rèn)識經(jīng)驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上催生了以離散對象（算術(shù)）和幾何圖形（歐幾里得幾何）為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)符號走向統(tǒng)一的過程，也許有點(diǎn)像“微軟 Windows 系統(tǒng)效應(yīng)”——假如全世界都在使用微軟公司開發(fā)的 Windows 操作系統(tǒng)，那不是因?yàn)檫@種“統(tǒng)一”不可避免，而是因?yàn)橐坏┻@種操作系統(tǒng)占據(jù)了計算機(jī)軟件的主流市場，那么所有人都不得不使用它，好讓交流變得更容易，讓自己開發(fā)的產(chǎn)品能被他人使用。同樣的道理，西方的符號標(biāo)記系統(tǒng)正是以這樣的方式占據(jù)了數(shù)學(xué)世界的支配地位。
有意思的是，天文學(xué)家和天體物理家用一種有趣的方式對“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)”的問題給出了自己的解答。最新研究表明，太陽系外約有 5% 的恒星至少有一個巨行星圍繞其運(yùn)行，就像太陽系中的木星。
在整個銀河系中，大概也是這個比例。盡管類地行星的精確數(shù)量目前還不得而知，但在銀河系中充斥著類似的行星，數(shù)量可能多達(dá)數(shù)十億顆。即使這類“地球”中只有非常小的一部分位于其主星的可居住帶（在這一軌道范圍內(nèi)，行星表面能產(chǎn)生液態(tài)水），在這些行星的表面上仍有可能產(chǎn)生生命，特別是智慧生命。
如果我們發(fā)現(xiàn)了另一種可以與之交流的智慧生命形式，我們就能借助這種智慧文明發(fā)展出的信息來解釋宇宙。這樣一來，我們不僅能在理解生命起源和進(jìn)化方面取得巨大的進(jìn)步，甚至還能把我們的邏輯體系與那些可能比我們高級的文明的邏輯體系進(jìn)行比較。
更有趣的是，像永恒暴脹這類推測的宇宙學(xué)場景，都預(yù)測存在多重宇宙?；蛟S在這些宇宙中，不僅自然常量的值與我們的宇宙不同，如力的強(qiáng)度、亞原子微粒的質(zhì)量比，甚至整個自然法則都有極大差別。天體物理學(xué)家麥克斯·泰格馬克認(rèn)為，每一種宇宙都對應(yīng)著一種可能的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，或者按他的話說，那應(yīng)該“就是一種”數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。
如果泰格馬克的理論是正確的，那么這將是“宇宙就是數(shù)學(xué)”這種觀點(diǎn)的終極版本——不是只有一個宇宙等同于數(shù)學(xué)，而是所有宇宙都如此。不過，這種推測過于激進(jìn)，而且目前根本無法得到驗(yàn)證，更重要的是，它（至少其最簡單的形式）似乎與所謂的“折中原則”有矛25 我在第 5 章中描述過，當(dāng)你在大街上隨機(jī)挑選一個人時，這個人的身高值落在以平均值為中心、以兩個標(biāo)準(zhǔn)差值為邊界的區(qū)間內(nèi)的概率大約是 95%。同樣的道理也適用于研究宇宙的屬性。但是，可能的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的數(shù)量會隨著復(fù)雜性的增加而急劇增長。
這意味著，最“普通”（最接近平均值）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)注定非常復(fù)雜。這似乎與數(shù)學(xué)和宇宙學(xué)中的簡潔性發(fā)生了沖突，因此，這也違背了我們最大的期待——我們的宇宙應(yīng)當(dāng)是典型的、具有普遍代表性的。
“數(shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”這其實(shí)是一個錯誤的問題，因?yàn)閱栴}本身暗示了答案必須是非此即彼的，而且兩種可能的答案相互排斥。
我認(rèn)為，數(shù)學(xué)有一部分是被發(fā)明的，有一部分是被發(fā)現(xiàn)的。通常的情況是，人類發(fā)明了數(shù)學(xué)概念，之后發(fā)現(xiàn)了這些概念之間的聯(lián)系。一些以經(jīng)驗(yàn)觀察為基礎(chǔ)的發(fā)現(xiàn)促成了概念的形成，但毫無疑問，概念本身也刺激了更多定理的發(fā)現(xiàn)。
我還注意到，一些數(shù)學(xué)哲學(xué)家，如美國數(shù)學(xué)家希拉里·普特內(nèi)姆（Hilary Putnam），采用了一種現(xiàn)實(shí)主義的中間立場。 他們信奉數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的客觀性，也就是說，命題要么正確，要么錯誤，而且，命題正確或錯誤是人類以外的因素造成的。他們不去評判發(fā)現(xiàn)，這有點(diǎn)像柏拉圖學(xué)派的做法。這些觀點(diǎn)能完美解釋維格納提出的“無理由的有效性”嗎？
讓我們先來簡要回顧一下同時代的思想家們的觀點(diǎn)，這其中可能提供了答案。諾貝爾獎獲得者物理學(xué)家大衛(wèi)·格羅斯（David Gross）曾經(jīng)說：
“有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)家們認(rèn)可的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)并不是人類大腦的創(chuàng)造，相反，它們是理所當(dāng)然的，就像物理學(xué)家描述所謂的真實(shí)世界時創(chuàng)造的種種結(jié)構(gòu)一樣，是一種實(shí)際存在。以我個人的經(jīng)驗(yàn)來看，在那些極富想象力的數(shù)學(xué)家看來，這并不是什么非同尋常的想法。也就是說，數(shù)學(xué)家不是在發(fā)明全新的數(shù)學(xué)，而是在發(fā)現(xiàn)它們。如果事實(shí)的確如此，那么，我們正在努力探索的神秘世界——數(shù)學(xué)那無理由的有效性——也許將變得不那么神秘了。如果數(shù)學(xué)就是關(guān)于自然界那部分真實(shí)的結(jié)構(gòu)，正如理論物理學(xué)的概念一樣真實(shí)，那么在分析現(xiàn)實(shí)世界時，數(shù)學(xué)能成為一件有效的工具，這一點(diǎn)也就不值得驚訝了。”
換句話說，格羅斯的想法介于“柏拉圖的數(shù)學(xué)世界”與“宇宙就是數(shù)學(xué)”這兩種觀點(diǎn)之間，他這種“數(shù)學(xué)是一種發(fā)現(xiàn)”的觀點(diǎn)被改版了，但相對而言，他更接近于柏拉圖主義的觀點(diǎn)。不過，正如我們看到的，“數(shù)學(xué)是一種發(fā)現(xiàn)”的說法很難在哲學(xué)上得到支持。而且，柏拉圖主義并不能真正解釋第 8 章中討論過的數(shù)學(xué)那不可思議的精確性。格羅斯也承認(rèn)這一點(diǎn)。
阿蒂亞爵士是這樣認(rèn)為的（在他對數(shù)學(xué)本質(zhì)的解釋中，我贊同絕大部分觀點(diǎn)）：
“如果在進(jìn)化背景中看待人類的大腦，那么，數(shù)學(xué)在物理學(xué)中取得的不可思議的成就至少有一部分是說得通的。大腦進(jìn)化的目的就是更好地理解和對待物理世界，因此，人類自然而然會為此發(fā)展出一門語言，也就是數(shù)學(xué)，來滿足這一需要?！?/span>
這一推理過程與認(rèn)知科學(xué)家提出的觀點(diǎn)不謀而合。不過阿蒂亞也承認(rèn)，這并不能指引人們理解問題中最復(fù)雜的一部分：數(shù)學(xué)為什么能解釋物理世界中的神秘現(xiàn)象？尤其是，這種解釋再次拋出了數(shù)學(xué)有效性中“被動”一面（即數(shù)學(xué)概念在被提出很久以后，才找到應(yīng)用領(lǐng)域）的問題。
阿蒂亞說：“無神論者提醒我們，生存的艱辛僅僅要求我們能處理人類能力所及的物理現(xiàn)象就足夠了，而數(shù)學(xué)理論卻貌似能成功解決從原子到銀河的所有問題。”對此，阿蒂亞只建議：“也許答案就在數(shù)學(xué)內(nèi)在的抽象層面上，抽象可以讓我們比較容易地解釋各種問題?！?/span>
在 1980 年，美國數(shù)學(xué)家和計算機(jī)專家理查德·漢明（Richard Hamming，1915—1998）針對維格納的問題發(fā)起了一場更廣泛、更有趣的討論。 首先，在數(shù)學(xué)本質(zhì)這一問題上，他總結(jié)道：“數(shù)學(xué)是由人類創(chuàng)造的，所以人類可以輕易地不斷對其修改、完善。”接著，他對數(shù)學(xué)無理由的有效性提出了 4 種可能的解釋：(1) 選擇效應(yīng)；(2) 數(shù)學(xué)工具的進(jìn)化；(3) 有限的數(shù)學(xué)解釋能力；(4) 人類自身的進(jìn)化。
“選擇效應(yīng)”是由使用的儀器或收集數(shù)據(jù)的方式造成的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的扭曲。比如，在測試一個減肥計劃的效果時，假如研究者沒有考慮中途退出計劃的人，就會讓測試結(jié)果產(chǎn)生較大的誤差，因?yàn)橹型就顺龅娜饲∏∽钣锌赡苁悄切p肥計劃對其根本不起作用的人。
換句話說，漢明認(rèn)為，至少在某些情況下，“最初的現(xiàn)象是源于我們使用的數(shù)學(xué)工具，而不是來自真實(shí)的世界……我們其實(shí)是戴著'眼鏡’看世界的?！睗h明正確地指出，從三維空間的一個點(diǎn)發(fā)出的任何對稱的力（能量不變）的行為都遵循平方反比定律，因此，理所應(yīng)當(dāng)也適用牛頓的引力定律。漢明的觀點(diǎn)可以被接受，但是，選擇效應(yīng)還是不能解釋數(shù)學(xué)中某些定律那異乎尋常的精確性。
漢明提供的第二個答案取決于人類為迎合特定環(huán)境而對數(shù)學(xué)做出的選擇和改進(jìn)。換句話說，漢明認(rèn)為，我們正在見證數(shù)學(xué)思想的“進(jìn)化和自然選擇”——人類發(fā)明了大量的數(shù)學(xué)概念，而只有那些符合特定環(huán)境的概念才會被選中。多年來，我一直相信這是一個完美的解答。
諾貝爾獎得主物理學(xué)家史蒂文·溫伯格在他的著作《終極理論的夢想》中也表達(dá)了類似的觀點(diǎn)。這真的是維格納難題的答案嗎？毫無疑問，這種選擇和進(jìn)化是事實(shí)。在仔細(xì)篩選了各種各樣的數(shù)學(xué)形式和工具后，科學(xué)家們保留了有效的部分，并不斷地更新和改進(jìn)，以便讓它們更好地適應(yīng)現(xiàn)實(shí)需求。但是，即使我們接受了這種思想，數(shù)學(xué)定理為什么能從根本上解釋宇宙呢？
漢明提出的第三個觀點(diǎn)是，我們印象中的數(shù)學(xué)有效性也許是一種錯覺，因?yàn)槲覀冎車氖澜缬邢喈?dāng)一部分是數(shù)學(xué)無法真正解釋的。在支持這種觀點(diǎn)的人中，我注意到數(shù)學(xué)家蓋爾范德（Israel Moseevich Gelfand）曾經(jīng)說過：“有一件事比數(shù)學(xué)在物理中無理由的有效性更加無理由，這就是數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的無理由的無效性?！?nbsp;我并不認(rèn)為，這能在本質(zhì)上解決維格納的難題。這不像《銀河系漫游指南》 中提到的那樣，我們不能說生命、宇宙和所有事物的答案都是 42。盡管如此，數(shù)學(xué)的確能夠闡明、解釋清楚眾多現(xiàn)象，而且，能用數(shù)學(xué)闡釋的事實(shí)和過程的范疇還在不斷擴(kuò)展。
漢明的第四條解釋與阿蒂亞爵士的一個觀點(diǎn)十分接近，那就是：“根據(jù)達(dá)爾文的進(jìn)化論，在生存競爭中，大自然理所當(dāng)然會選擇那些心智能反映出最佳的現(xiàn)實(shí)模型的生命，這里所謂的'最佳’指的是最適宜生存和繁衍的形式。”
蘋果公司麥金塔（Macintosh）項(xiàng)目的啟動者、計算機(jī)科學(xué)家杰夫·拉斯金（Jef Raskin，1943—2005）也贊同類似的觀點(diǎn)，但他更強(qiáng)調(diào)邏輯的作用。 拉斯金總結(jié)道：
“人類邏輯是物理世界強(qiáng)加給我們的，因此邏輯與物理世界保持一致。而數(shù)學(xué)源自邏輯，這就是數(shù)學(xué)與物理世界一致的原因，這沒有什么神秘的。即便如此，我們也不應(yīng)該對大自然失去好奇心和興趣，哪怕我們已經(jīng)能更好地理解大自然了。”
不過，面對自己的強(qiáng)大論點(diǎn)，漢明本人卻不是十分確信。他指出：
“我們通常認(rèn)為，科學(xué)已經(jīng)有 4000 年歷史了，這意味著最多經(jīng)歷了 200 代人。想一想，我們是通過小概率的變體來尋找進(jìn)化的結(jié)果的，因此對我來說，這種進(jìn)化只能解釋很小一部分的數(shù)學(xué)'無理由的有效性’?！?/span>
拉斯金卻認(rèn)為：“早在這之前，數(shù)學(xué)的根基就存在于我們祖先的腦海中了，或許早已經(jīng)歷了數(shù)百萬代?！钡冶仨毘姓J(rèn)，我不認(rèn)為這種觀點(diǎn)十分可信。邏輯確實(shí)深深根植于我們祖先的大腦中，盡管如此，我們很難理解，它為何能引領(lǐng)我們得到亞原子世界中的抽象數(shù)學(xué)理論，比如，精確得不可思議的量子力學(xué)理論。
值得注意的是，漢明在他的文章結(jié)尾處承認(rèn)：“我給出的解釋并不充分，不足以回答我試圖解答的問題（指數(shù)學(xué)無理由的有效性）?！?/span>
如此一來，我們是否要承認(rèn)，數(shù)學(xué)無理由的有效性仍然像我們剛開始討論它時那樣神秘莫測，然后就這樣結(jié)束這本書呢？
在最終放棄之前，讓我們借助科學(xué)的方法，再來仔細(xì)分析一下維格納難題的實(shí)質(zhì)吧。
科學(xué)家首先通過一系列實(shí)驗(yàn)和觀察來認(rèn)識大自然中的事實(shí)。最初，這些事實(shí)被用來構(gòu)建現(xiàn)象的定性模型，這些現(xiàn)象包括地球在吸引蘋果、亞原子微粒的磁撞擊產(chǎn)生了其他微粒、宇宙在膨脹，等等。此時，科學(xué)的許多分支還保持著非數(shù)學(xué)的形態(tài)，即使是新興理論也是如此。
在這類影響巨大的解釋性理論中，最典型的例子就是達(dá)爾文的進(jìn)化論。
盡管自然選擇的基礎(chǔ)不是任何數(shù)學(xué)形式，但這一理論在闡述物種起源時取得的成功相當(dāng)令人嘆服。另一方面，在基礎(chǔ)物理學(xué)中，科學(xué)家第二步通常要從數(shù)學(xué)角度來構(gòu)建理論體系，各種量子理論就是如此，如廣義相對論、量子電動力學(xué)和弦論等。最后，科學(xué)家利用數(shù)學(xué)模型預(yù)測新的現(xiàn)象、新的微粒，甚至是過去從來沒有實(shí)現(xiàn)過的實(shí)驗(yàn)或觀察的結(jié)果。
讓維格納和愛因斯坦感到迷惑的，正是數(shù)學(xué)在最后兩個步驟中取得的不可思議的成功。物理學(xué)家究竟為什么會一次又一次地發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)這個工具不僅能解釋已經(jīng)存在的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和觀測結(jié)論，而且還能孕育嶄新的認(rèn)知和猜想？
數(shù)學(xué)家魯本·赫什曾經(jīng)提出過一個有趣的例子，我想借用一下來回答上述問題。
赫什說，在數(shù)學(xué)（和理論物理學(xué)）領(lǐng)域分析類似問題時，我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)檢查那些最簡單的情況。
舉個淺顯的例子，當(dāng)你往一個不透明的瓶子里放鵝卵石時，假設(shè)你第一次往瓶子里放了 4 塊白色的鵝卵石，之后又放了 7 塊黑色的鵝卵石。在歷史中的某一刻，人類出于某種原因發(fā)現(xiàn)，他們可以通過自己發(fā)明的抽象概念——自然數(shù)，來代表任何顏色的一堆鵝卵石。白色鵝卵石的數(shù)量可以與數(shù)字 4（可以是 IIII，是 IV，或是當(dāng)年人類文明使用的任意符號）聯(lián)系在一起，同樣的道理，黑色鵝卵石的數(shù)量與數(shù)字 7 聯(lián)系在了一起。
通過這類實(shí)驗(yàn)方法，人類還發(fā)現(xiàn)其他已發(fā)明的概念，那算術(shù)中的加法，能代表“合計”這種實(shí)際行為。也就是說，由符號 4＋7 表示的抽象過程，其運(yùn)算結(jié)果能清楚地預(yù)測瓶子中鵝卵石的總數(shù)。
這一切意味著什么？這表明，人類發(fā)展出了一種非同一般的數(shù)學(xué)工具，借助這種工具，人類能夠可靠地預(yù)測任何這類實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。但是，這種工具并不總是有效的，比如，它對計算水滴就無能為力。如果你往瓶子里滴 4 滴水，之后再滴 7 滴水，很明顯，此時瓶子中的水并不是 11 滴。為了解決液體或氣體實(shí)驗(yàn)里的問題，人類不得不又發(fā)明出一種完全不同的概念體系，如重量，而且他們意識到，必須為每一滴水或每一體積的氣體稱重才行。
事情到這里就很清楚了。數(shù)學(xué)工具并不是被隨意挑選的，而是根據(jù)實(shí)驗(yàn)或觀察需要精確確定的。
所以，至少在非常簡單的例子中，數(shù)學(xué)的有效性得到了保證。人類不必事先猜測哪種才是正確的數(shù)學(xué)工具，大自然為他們慷慨提供了反復(fù)嘗試的機(jī)會，然后再決定哪種工具是有效的。面對復(fù)雜的應(yīng)用環(huán)境，人類不必拘泥于一種工具。有時，在面臨特定問題時，我們也許找不到合適的數(shù)學(xué)形式（工具）來解決。
這時，數(shù)學(xué)家們就必須發(fā)明出一種全新的數(shù)學(xué)工具，正如牛頓為了研究萬有引力而發(fā)明了微積分，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家在探索弦論時發(fā)明了各種拓?fù)浜蛶缀嗡枷?。還有一種情況是，數(shù)學(xué)形式早已經(jīng)存在了，但人類在經(jīng)歷了很長時間之后才發(fā)現(xiàn)，它可以用來解決某個問題，比如，愛因斯坦利用黎曼幾何研究相對論，分子物理學(xué)家利用群論研究微粒結(jié)構(gòu)。關(guān)鍵在于，出于強(qiáng)烈的好奇心、固執(zhí)的堅守、創(chuàng)造性的想象力和勇敢的決斷力，人類總能找到合適的數(shù)學(xué)形式，為大量的物理現(xiàn)象建模。
對于數(shù)學(xué)有效性中“被動”的一面來說，數(shù)學(xué)有一個特征可謂至關(guān)重要，那就是它永久的正確性。無論在公元前 300 年，還是在今天，歐幾里得幾何始終正確。如今我們知道了，歐幾里得幾何中的公理并非是必然的，而且，與其說它代表了空間的絕對真理，還不如說它代表的是人類意識到的一個特定宇宙中的真相，是與這個宇宙相關(guān)聯(lián)的人類發(fā)明的形式體系的真相。
盡管如此，一旦我們更好地理解了歐幾里得幾何的應(yīng)用范圍，其中所有的定理仍然成立。換句話說，一個數(shù)學(xué)分支成了另一個更廣泛、更綜合的數(shù)學(xué)分支的一部分（歐幾里得幾何是眾多幾何形式中的一種），但是，每一個分支永遠(yuǎn)保持著自己的正確性。正是數(shù)學(xué)這種無限的生命力，讓數(shù)學(xué)家們在任何時候都能從整個數(shù)學(xué)形式的“工具箱”中找出合適的數(shù)學(xué)工具。
瓶中的鵝卵石這個簡單的例子還不能完全闡明維格納難題中的兩個基礎(chǔ)要素。首先，在某些情況下，我們從理論中得出的精確性為什么比先前“放入”理論的精確性還高？在鵝卵石的實(shí)驗(yàn)中，“預(yù)測”的結(jié)果（鵝卵石的合計總量）不會比構(gòu)建“理論”（加法）的實(shí)驗(yàn)更精確。然而，牛頓的引力定律預(yù)測的結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)比推動這一理論發(fā)展的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果更精確。這究竟是為什么呢？如果你再回顧一下牛頓理論形成的歷史，就會對此有更深入的理解。
托勒密（Ptolemy）的宇宙幾何模型在近 15 個世紀(jì)里一直占據(jù)著天文學(xué)的主導(dǎo)地位。
盡管該理論既沒有宣稱具有普適性——每顆行星的運(yùn)行都是分別計算的——也未提及物體運(yùn)動的原因（如力、加速度等），但模型與觀察結(jié)果相符，這一點(diǎn)合乎情理。
尼古拉斯·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543）在 1543 年發(fā)表了他的日心說。之后，伽利略進(jìn)一步發(fā)展了這一學(xué)說，讓其更為可信。伽利略還為運(yùn)動定律奠定了基礎(chǔ)。
不過，第一位從觀察現(xiàn)象開始，繼而推演出行星運(yùn)動的（雖然只是現(xiàn)象學(xué)的）數(shù)學(xué)規(guī)律的人，卻是開普勒。開普勒運(yùn)用了大量的天文觀測數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)實(shí)際上是天文學(xué)家第谷·布拉赫在長年觀測火星運(yùn)動軌道時記錄下的內(nèi)容。開普勒把數(shù)百頁的計算稱為“我和火星之間的斗爭”。
事實(shí)上，除了有兩個地方與事實(shí)略有出入之外，開普勒計算得出的天體運(yùn)行的橢圓形軌道符合所有觀測結(jié)論。開普勒本人對這一成果也十分滿意。后來，他還描述了自己的思維過程：“如果我當(dāng)初也相信可以忽略那 8 分的誤差（這里指 8 分角度），我可能早就因此修改了自己的假說。現(xiàn)在，這種誤差既然沒有被忽略，那么僅僅這 8 分就足以為天文學(xué)指出一條革新之路。”這一嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)帶來了巨大的影響。
開普勒推斷，行星的運(yùn)動軌道并不是一個圓，而是橢圓。他還構(gòu)想了另外兩條適用于所有行星運(yùn)動的量化定律。當(dāng)這些定律與牛頓的運(yùn)動定律聯(lián)系起來以后，它們就共同構(gòu)成了牛頓的萬有引力定律的基礎(chǔ)。然而，讓我們回頭看一看笛卡兒的渦旋理論。這一理論認(rèn)為，做螺旋運(yùn)動的粒子形成的渦旋帶動行星圍繞太陽運(yùn)動。即便在牛頓證明它存在矛盾之前，渦旋理論也并未得到廣泛認(rèn)可，因?yàn)榈芽▋菏冀K沒能用數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)地表達(dá)自己的理論。
從這段歷史中，我們學(xué)到了什么呢？毫無疑問，牛頓的萬有引力定律是一件偉大的杰作，但是，這一天才的理論并不是憑空產(chǎn)生的。事實(shí)上，早在牛頓之前，已經(jīng)有一批科學(xué)家為奠定這一理論的基礎(chǔ)付出了艱辛的勞動，并取得了一定的成果。
當(dāng)時的一些科學(xué)家，如建筑學(xué)家克里斯托弗·瑞恩和物理學(xué)家羅伯特·胡克，雖然他們的數(shù)學(xué)造詣比不上牛頓，但他們都各自獨(dú)立提出了引力與距離的平方成反比。然而，牛頓的偉大之處在于，他憑借獨(dú)一無二的天賦將所有觀點(diǎn)統(tǒng)一成了一套完整的理論體系，更重要的是，他堅持為自己的理論結(jié)果寫下數(shù)學(xué)證明。
數(shù)學(xué)形式為何會如此精確？一部分原因在于，它解決了一個最基礎(chǔ)的問題——兩個引力體之間的力及其運(yùn)動結(jié)果，沒有任何其他復(fù)雜的因素介入。牛頓針對這一問題，而且僅僅針對這一問題，給出了完整的解決方案。從此之后，基礎(chǔ)理論的精確性從未改變，然而，其適用范圍卻在不斷調(diào)整。
太陽系不僅由兩個天體構(gòu)成，所以，當(dāng)我們把其他行星的引力效應(yīng)（仍然遵循與距離平方成反比的定律）也考慮在內(nèi)時，行星的運(yùn)動軌道將不再是一個簡單的橢圓。例如，人類已經(jīng)發(fā)現(xiàn)地球的運(yùn)動軌道在宇宙空間中有微弱的改變，這是因?yàn)榈厍蛟凇斑M(jìn)動”，相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸圍繞另一個軸轉(zhuǎn)動。實(shí)際上，與拉普拉斯的期望正好相反，現(xiàn)代天文學(xué)研究表明，行星的運(yùn)行軌道甚至可以被視為無序的。當(dāng)然，牛頓的理論最終也拜倒在愛因斯坦的廣義相對論之下，但相對論也經(jīng)歷了一系列失敗，而且差點(diǎn)就胎死腹中了。
因此，人們無法事先預(yù)測理論的精確性。布丁的味道只有在品嘗以后才能知道——只有經(jīng)過不斷地調(diào)整和補(bǔ)充之后，我們才能得到理想的精確結(jié)果。只有很少的理論只踏出一步就達(dá)到了至高的精確度，那簡直就是奇跡。
很明顯，在成功探索基礎(chǔ)定律的背后，有一個難以忽略的事實(shí)。這個事實(shí)就是，自然界是被“普適”法則而不是狹隘的次要法則所支配，這對我們?nèi)祟悂碚f，太仁慈了。
無論在地球上，在銀河系邊緣，還是在距地球 100 億光年之外的星系中，無論在任何時間、從任何角度觀察，氫原子的運(yùn)動方式都完全相同。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家發(fā)明了一種數(shù)學(xué)術(shù)語來說明這種屬性，即“對稱”，它反映了一種與觀測位置和角度的變化，以及計時的起始時間都無關(guān)的性質(zhì)。假如沒有這些對稱的話，我們就不可能理解自然規(guī)律，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)無法在空間中的任何一點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)（假設(shè)在宇宙的每個地方都會出現(xiàn)生命）。
隱藏在數(shù)學(xué)理論中的另一個宇宙特性是“定域性”（locality），它反映了人類從描述基本粒子間最基礎(chǔ)的相互作用開始，逐漸像拼拼圖一樣，構(gòu)建“大場景”的能力。
現(xiàn)在，我們來看維格納難題中的最后一條：究竟是什么從根本上保證了數(shù)學(xué)理論能夠持久存在？換句話說，為什么會有廣義相對論？是否“不存在”引力的數(shù)學(xué)理論？
事實(shí)上，答案比你想象的要簡單：什么都無法保證這一點(diǎn)！許多現(xiàn)象都無法被精確預(yù)測，哪怕只是在原則上精確。
例如，在產(chǎn)生混沌的各種動態(tài)系統(tǒng)中，初始條件的任何微小變化都可能導(dǎo)致完全不同的結(jié)果。從股票市場的起伏、落基山脈上空的氣候變化、小球在輪盤格子間的反彈、香煙的煙圈在空氣中的飄曳，到行星在太陽系中的軌道運(yùn)動，這些現(xiàn)象都不可能被精確地預(yù)測。這并不是說，數(shù)學(xué)家沒有發(fā)展出精妙的數(shù)學(xué)工具來探索這些問題，而是確定性的預(yù)測理論根本不存在。
其實(shí)，概率論和統(tǒng)計學(xué)處理的就是一些缺乏“產(chǎn)出大于投入”的理論的領(lǐng)域?？茖W(xué)家提出了“計算復(fù)雜性”的概念，用來描述人類利用運(yùn)算法則解決問題的局限性，而哥德爾的不完備定理表明了，數(shù)學(xué)本身也存在局限性。也就是說，盡管數(shù)學(xué)在某些學(xué)科中有著非凡的效力，尤其在基礎(chǔ)學(xué)科領(lǐng)域更是如此，但我們也要看到，數(shù)學(xué)并不是萬能的，它無法從各個層面上都能描述我們的宇宙。從某種程度上講，科學(xué)家們選擇了那些可以以數(shù)學(xué)方式處理的問題，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行深入研究。
那么，我們是不是完全破解了數(shù)學(xué)神秘而無理由的有效性呢？我向大家保證，我已經(jīng)竭盡所能了，但是我仍然感到忐忑不安。說老實(shí)話，我完全無法確信，每位讀者都能被我在這本書中表達(dá)的觀點(diǎn)所說服。不過在這里，我覺得可以引用一下羅素在《哲學(xué)問題》中的一段話，來表達(dá)我此時的心情：
“最后，我們來總結(jié)哲學(xué)的價值?？梢哉f，哲學(xué)是用來研究的，而不是用來尋找哲學(xué)問題的確切答案的，因?yàn)闆]有一種確定答案可以被當(dāng)作不變的真理。相反，哲學(xué)本身就是尋找問題。正是這些問題拓展了我們對可能性這一概念的認(rèn)知，豐富了我們的智慧想象，讓我們放棄執(zhí)念，引導(dǎo)心智不斷去猜想。但更重要的是，哲學(xué)思考的是宇宙之浩瀚，而人類心智也會隨著這種思考變得深邃，并逐漸與宇宙融為一體，臻于至善。”
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