這一組數(shù)據(jù)表明，廣大觀摩代表對(duì)評(píng)委會(huì)的期望值很高。要達(dá)到這樣的預(yù)期，真正滿足大家的要求，我們?cè)u(píng)委會(huì)還需要努力！我們?cè)敢飧冻雠Γ?/p> 表3：對(duì)評(píng)委點(diǎn)評(píng)的滿意度（分五級(jí)水平）
滿意度 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
百分比 | 1% | 4.2% | 28.9% | 46.5% | 19.4% |
從上述結(jié)果看，大家對(duì)本次活動(dòng)的總體評(píng)價(jià)是好的。
（2）本次活動(dòng)涉及了我國(guó)大陸目前經(jīng)教育部審查通過的所有初中數(shù)學(xué)教材版本，充分說明了活動(dòng)的廣泛性、代表性。
（3）內(nèi)容覆蓋了初中課程的所有板塊，有大量的概念課，這是非常好的現(xiàn)象。概念教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)課堂的薄弱環(huán)節(jié)，加強(qiáng)研究很有必要。另外，有些選手選擇了一些難點(diǎn)課題開展教學(xué)研究，如一些“數(shù)學(xué)味”較淡的內(nèi)容，探究活動(dòng)課，概率、統(tǒng)計(jì)中的一些概念課等。
（4）各位參賽選手在理解教學(xué)內(nèi)容上下了很大功夫，與往屆比較，在數(shù)學(xué)理解水平上有了很大長(zhǎng)進(jìn)。
（5）學(xué)生的主體意識(shí)進(jìn)一步加強(qiáng)。教師注重精心設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)，采取用問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生帶著問題開展探索活動(dòng)。動(dòng)手操作、小組活動(dòng)、合作交流、自主學(xué)習(xí)等都得到應(yīng)用。
（6）教學(xué)過程中，能自覺注意根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律安排教學(xué)活動(dòng)。特別值得一提的是，許多參賽教師都能注意根據(jù)概念教學(xué)的基本規(guī)律安排教學(xué)進(jìn)程，注意通過具體事例的歸納、概括活動(dòng)得出數(shù)學(xué)概念。
（7）組織方式的改進(jìn)得到大家的認(rèn)可，現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)充分，評(píng)委事先做好功課，提高了點(diǎn)評(píng)的質(zhì)量；代表的參與程度高，現(xiàn)場(chǎng)氣氛熱烈，擺事實(shí)、講道理、亮觀點(diǎn)的互動(dòng)原則得到貫徹。
二、 幾個(gè)需要進(jìn)一步思考的問題
1．如何理解三維目標(biāo)
在參賽選手提供的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教學(xué)目標(biāo)的表達(dá)不盡一致。較多的教師采用了“三維目標(biāo)”分別闡述的方式呈現(xiàn)目標(biāo)。下面看幾位參評(píng)教師給出的教學(xué)目標(biāo)。
例1 “同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”的教學(xué)目標(biāo)。
知識(shí)與技能目標(biāo)：
（1）理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念；
（2）能在基本的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。
過程與方法目標(biāo)：
（1）經(jīng)歷由已知知識(shí)發(fā)展、推廣到新知識(shí)的過程；
（2）經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，并進(jìn)行探索、歸納過程；
（3）體會(huì)分類分步、化歸等數(shù)學(xué)思維方法。
情感與發(fā)展目標(biāo)：
（1）從實(shí)際情景引入新課，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；
（2）從兩直線相交到兩直線被第三條直線所截的變化過程，感受數(shù)學(xué)的發(fā)展與變化關(guān)系；
（3）培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)等能力。
例2 “三角形的有關(guān)概念”的教學(xué)目標(biāo)。
（1）知道三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)并能初步運(yùn)用。
（2）理解三角形的中線、角平分線、高的概念，并通過畫圖了解三角形的三條中線、三條角平分線、三條高所在直線的交點(diǎn)情況。
（3）通過操作、觀察、歸納和說理等過程初步體會(huì)分類思想，感受數(shù)學(xué)的美，逐步養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。
例3 “函數(shù)”的教學(xué)目標(biāo)。
知識(shí)技能：
（1）經(jīng)過回顧、思考，認(rèn)識(shí)變量中的自變量與函數(shù)；
（2）進(jìn)一步理解、掌握確定函數(shù)關(guān)系式的方法；
（3）會(huì)確定自變量取值范圍．
數(shù)學(xué)思想：對(duì)應(yīng)思想。
情感態(tài)度：
通過學(xué)習(xí)函數(shù)概念，提高學(xué)生的分析、綜合能力，滲透由特殊到一般、由具體到抽象的思考方法，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，感受現(xiàn)實(shí)生活中函數(shù)的普遍性，體會(huì)事物之間的相互聯(lián)系與制約．
例4 “圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學(xué)目標(biāo)。
知識(shí)技能：
通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索并理解它的概念和基本性質(zhì)，能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形.
數(shù)學(xué)思考：
在發(fā)現(xiàn)、探究的過程中完成對(duì)旋轉(zhuǎn)這一圖形變化從直觀到抽象、從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)變，體會(huì)類比和分類思想，發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，觀察、分析、抽象概括的思維能力.
解決問題：
在了解圖形旋轉(zhuǎn)的特征，并進(jìn)一步應(yīng)用所掌握的這些特征進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).
情感態(tài)度：
經(jīng)歷對(duì)生活中旋轉(zhuǎn)圖形的觀察、討論、實(shí)踐操作，充分感知數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛生活的情感；通過小組合作交流活動(dòng)，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)和研究探索的精神.
上述幾例，從積極的方面看，教師已經(jīng)注意到教學(xué)目標(biāo)必須反映教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，關(guān)注到顯性目標(biāo)與隱性目標(biāo)的不同。但這樣的表述，除了目標(biāo)分類混亂、不準(zhǔn)確，表達(dá)不確切（如把“獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)能力”、“分析、綜合能力”、“由特殊到一般、由具體到抽象的思考方法”、“數(shù)形結(jié)合的思想”不恰當(dāng)?shù)貧w入情感領(lǐng)域，把“從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題”、“體會(huì)分類分步、化歸等數(shù)學(xué)思維方法”、“培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”、“培養(yǎng)熱愛生活的情感”、“充分感知數(shù)學(xué)美”、“培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)和研究探索的精神”這樣的“放之四海而皆準(zhǔn)”的目標(biāo)作為一堂課的目標(biāo)）等“技術(shù)性”問題外，最大的問題是混淆了課程目標(biāo)與課堂教學(xué)目標(biāo)的關(guān)系。
“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)而不是課堂教學(xué)目標(biāo)，“三個(gè)維度”具有內(nèi)在統(tǒng)一性，都指向人的發(fā)展，它們交融互進(jìn)：“知識(shí)與技能”只有在學(xué)生獨(dú)立思考、大膽批判和實(shí)踐運(yùn)用中，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)；“情感、態(tài)度與價(jià)值觀”只有伴隨著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的反思、批判與運(yùn)用，才能得到升華；“過程與方法”只有學(xué)生以積極的情感、態(tài)度為動(dòng)力，以知識(shí)和技能目標(biāo)為適用對(duì)象，才能體現(xiàn)它的存在價(jià)值。
“三維目標(biāo)”是中學(xué)課程目標(biāo)的整體設(shè)計(jì)思路，反映了一個(gè)學(xué)習(xí)過程中的三個(gè)心理維度，但不是教學(xué)目標(biāo)的維度。在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)簡(jiǎn)單地套用“三個(gè)維度”，將使課堂不堪重負(fù)。
教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度”的指導(dǎo)下，綜合考慮初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)目的、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生情況來確定。課堂教學(xué)不是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的“三個(gè)維度”而存在的，而是要具體而扎實(shí)地把數(shù)學(xué)課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，要以數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)為載體來促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，這樣才能真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”。
因此，一堂數(shù)學(xué)課的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)當(dāng)聚焦在數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思維能力、理性精神上，以數(shù)學(xué)知識(shí)、技能為載體，在教學(xué)過程中開展數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)，滲透情感、態(tài)度和價(jià)值觀的教育。只有在正確理解教學(xué)內(nèi)容、深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的價(jià)值觀資源的基礎(chǔ)上，才能制定出恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)。
例5 “三線八角”的內(nèi)容理解和教學(xué)目標(biāo)。
“三線八角”是“兩條直線”被“第三條直線所截”而產(chǎn)生的幾何圖形，在這一圖形結(jié)構(gòu)中，“第三條直線”與“兩條直線”有不同的“角色”。三條直線交成的八個(gè)角按是否“共頂點(diǎn)”分為兩類，其中“共頂點(diǎn)”的對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角可歸結(jié)為“相交線”中。
對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是關(guān)于一對(duì)角的位置關(guān)系。
定義內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角等，主要是為了研究平行線的性質(zhì)與判定。
因此，正確識(shí)別內(nèi)錯(cuò)角、同位角和同旁內(nèi)角的前提是能根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征對(duì)角地關(guān)系進(jìn)行分類。
“三線八角”的教學(xué)目標(biāo)：
（1）能以“結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，對(duì)角的位置關(guān)系進(jìn)行分類，從中體會(huì)分類思想；
（2）能正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線”和“第三條直線”，并識(shí)別出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；
（3）在“三線八角”概念的引入過程中，體驗(yàn)研究幾何圖形的基本思路。例如，從“一條直線與另一條直線相交”到“一條直線與兩條直線相交”，從“共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系到不共頂點(diǎn)的角的位置關(guān)系”，等等。
例6 對(duì)“三角形的有關(guān)概念”的教學(xué)目標(biāo)的改進(jìn)。
例1～例4中，例2的教學(xué)目標(biāo)制定得最合理，需要改進(jìn)的是要把“過程”、“方法”、“思想”、“習(xí)慣”等融合到知識(shí)中，特別是要把研究一個(gè)幾何新對(duì)象的“基本套路”納入教學(xué)目標(biāo)，使之成為培養(yǎng)良好思維習(xí)慣的載體。
改進(jìn)的“三角形的有關(guān)概念”的教學(xué)目標(biāo)：
（1）知道三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，從中體會(huì)分類思想；
（2）掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)并能初步運(yùn)用；
（3）理解三角形的中線、角平分線、高的概念，并通過畫圖了解三角形的三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線的交點(diǎn)情況；
（4）通過三角形有關(guān)概念的討論過程（三角形的定義—三角形的組成要素—符號(hào)表示—要素之間的基本關(guān)系—相關(guān)要素及其關(guān)系），初步體會(huì)研究一個(gè)幾何對(duì)象的“基本套路”，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。
2. 大力搞好概念的教學(xué)
數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞，教好概念是教好數(shù)學(xué)的內(nèi)在要求。概念教學(xué)搞不好，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)就失去了根基。
李邦河院士指出，“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”因此，我們必須重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。
然而，當(dāng)前不重視概念教學(xué)是一個(gè)比較普遍的現(xiàn)象?！耙粋€(gè)定義，三項(xiàng)注意”式的抽象講解，在學(xué)生對(duì)概念還沒有基本理解的時(shí)候就要求學(xué)生進(jìn)行概念的綜合應(yīng)用，許多教師甚至認(rèn)為教概念不如多講幾道題目更“實(shí)惠”。更令人擔(dān)心的是，有些教師不知如何教概念。這一問題必須引起我們的充分重視。
從教育與發(fā)展心理學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)打開，以若干典型具體事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講背景，講思想，講應(yīng)用”，概念教學(xué)則要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程。由于“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力”，重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的意義。
一般而言，概念教學(xué)應(yīng)經(jīng)歷以下7個(gè)基本環(huán)節(jié)：
（1）背景引入；
（2）通過典型、豐富的具體例證（必要時(shí)要讓學(xué)生自己舉例），引導(dǎo)學(xué)生開展分析、比較、綜合的活動(dòng)；
（3）概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；
（4）下定義（用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，可以通過看教科書完成）；
（5）概念的辨析，即以實(shí)例（正例、反例）為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對(duì)概念特例的考察；
（6）用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡(jiǎn)單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟；
（7）概念的“精致”，主要是建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
概念教學(xué)要盡量采用歸納式，給學(xué)生提供概括的機(jī)會(huì)。
例7 “軸對(duì)稱”概念的教學(xué)。
本課安排在人教版課標(biāo)教材八年級(jí)上冊(cè)第12章。根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，主要任務(wù)是通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱。由于沒有“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”概念，還不能以“對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線”定義對(duì)稱軸，學(xué)生只能憑觀察、操作找出對(duì)稱軸，因此本課的“數(shù)學(xué)味”較淡。如何才能將這樣的內(nèi)容上出“數(shù)學(xué)味”？關(guān)鍵是要注意在學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知水平基礎(chǔ)上提供概括機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例中歸納共同特征，并讓學(xué)生從概念出發(fā)解釋自己操作的合理性。主要過程如下：
第1步，列舉生活中的對(duì)稱實(shí)例，抽象出軸對(duì)稱圖形，說明通過“沿某條直線對(duì)折”可使直線兩旁的部分相互重合，這里要注意例子的典型性、豐富性；
第2步，以問題“你能舉出與老師所舉例子具有相同結(jié)構(gòu)的生活實(shí)例嗎”，引導(dǎo)學(xué)生舉出具有軸對(duì)稱形象的實(shí)例；
第3步，概括所舉例子的共同特征——存在一條直線l，沿l對(duì)折，兩邊的圖形能夠重合；
第4步，下定義；
第5步，辨析概念的關(guān)鍵詞，即以正例、反例為載體，用變式推動(dòng)概念的理解，如讓學(xué)生舉出常見的軸對(duì)稱圖形的例子并指出對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸可能有多少條等；
第6步，讓學(xué)生制作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，并要求學(xué)生說出每一步驟的目的和依據(jù)，特別要問學(xué)生“為什么要先折疊”，讓學(xué)生知道折痕就是對(duì)稱軸。
這樣，圍繞軸對(duì)稱概念的核心——對(duì)稱軸，給學(xué)生更多的觀察、操作、用概念說理等機(jī)會(huì)，使學(xué)生形成“軸對(duì)稱圖形”和“對(duì)稱軸”的直觀感受，為后續(xù)探索軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)提供基礎(chǔ)。當(dāng)然，這樣的內(nèi)容不必用太多的課時(shí)，實(shí)際上，學(xué)生完全有能力更快地進(jìn)入軸對(duì)稱圖形性質(zhì)的討論。
3. 如何安排探究活動(dòng)
為了使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視學(xué)生的探究活動(dòng)，給學(xué)生提供獨(dú)立思考、自主探索的機(jī)會(huì)。但在安排學(xué)生的探究活動(dòng)時(shí)，必須注意學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要，做到恰時(shí)恰點(diǎn)。既要防止“假探究”，也要防止不顧已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)而“從頭做起”，一切從動(dòng)手操作開始是不必要的。本次活動(dòng)有較多的平面幾何課，許多教師不顧教學(xué)內(nèi)容而普遍采用了“操作感知—觀察認(rèn)知—?dú)w納猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—推理論證”的教學(xué)過程，有的甚至沒有“推理論證”環(huán)節(jié)。這樣的教學(xué)嚴(yán)重?fù)p害了平面幾何的教育功能。
我們認(rèn)為，在平面幾何教學(xué)中，該試驗(yàn)時(shí)要試驗(yàn)，該操作時(shí)要操作。例如，為了獲得“三角形內(nèi)角和為180°”的證明思路，先讓學(xué)生動(dòng)手將三個(gè)內(nèi)角拼接在一起，并觀察角的移動(dòng)過程而得到添加輔助線的啟發(fā)，這樣的操作是必要的。但有的內(nèi)容，該推理時(shí)要推理，不能總是讓學(xué)生從動(dòng)手操作開始。推理包括合情推理和邏輯推理，類比、歸納、猜想等合情推理活動(dòng)實(shí)際上是一種“頭腦中的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)”，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納、猜想、證明等推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的基本任務(wù)。
例8 “矩形的判定”的教學(xué)設(shè)計(jì)。
參賽選手在本課的設(shè)計(jì)中，安排了復(fù)習(xí)平行四邊形的“性質(zhì)定理”和“判定定理”、矩形的定義和矩形的性質(zhì)，以“情境”引出“如何判定一個(gè)四邊形是矩形”，接著安排了“有一個(gè)角是直角的四邊形一定是矩形嗎”、“有兩個(gè)角是直角的四邊形一定是矩形嗎”、“有三個(gè)角是直角的四邊形一定是矩形嗎”以及“對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎”、“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形嗎”等五個(gè)探究。這樣的探究活動(dòng)，沒有把“矩形是特殊的平行四邊形”以及平行四邊形的研究經(jīng)驗(yàn)作為認(rèn)知基礎(chǔ)，而是采用了“另起爐灶”的做法，不但導(dǎo)致教學(xué)效率降低、探究活動(dòng)不自然等問題，而且破壞了數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，降低了本課的教育功能.
本課正確的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，應(yīng)當(dāng)是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在邏輯發(fā)展安排探究活動(dòng)。
在平行四邊形的研究中，學(xué)生已經(jīng)積累了平行四邊形的“判定”的研究經(jīng)驗(yàn)，知道了“性質(zhì)”與“判定”的互逆關(guān)系，因此，在已學(xué)“矩形的性質(zhì)”的基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生通過類比平行四邊形的“判定”的研究過程，得出“矩形的性質(zhì)”的研究思路。主要過程如下。
復(fù)習(xí)：
（1）矩形與平行四邊形的關(guān)系是什么？
（2）平行四邊形的“判定”與“性質(zhì)”有什么關(guān)系？
（3）我們是如何研究平行四邊形的“判定”的？
（4）矩形有哪些性質(zhì)？
探索新知：
類比平行四邊形的“判定”的研究過程，你能提出矩形的“判定”的猜想嗎？你能證明自己的猜想嗎？
4. 怎樣進(jìn)行“思維的教學(xué)”
人們常說：“數(shù)學(xué)是思維的體操。”數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一，是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的過程中，學(xué)會(huì)感知、觀察、歸納、類比、想象、抽象、概括、推理、證明和反思等邏輯思考的基本方法。從課堂教學(xué)現(xiàn)狀看，許多教師還沒有掌握“思維的教學(xué)”的基本方法，不能有效地抓住“思維的教學(xué)”的時(shí)機(jī)。本次活動(dòng)也暴露出這一問題。
思維發(fā)展心理學(xué)的研究表明：概括是人們掌握概念的直接前提；概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制；學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過程也是概括的過程；數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)；概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。因此，“思維的教學(xué)”的基本方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學(xué)生的概括活動(dòng)搭建平臺(tái)，千方百計(jì)地給學(xué)生提供概括的機(jī)會(huì)，鍛煉學(xué)生的概括能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)概括。特別要注意在概括的關(guān)鍵環(huán)節(jié)上放手讓學(xué)生自主活動(dòng)。為了提高概括活動(dòng)的效率，教師應(yīng)當(dāng)在提供“先行組織者”上多下功夫。
一般地，教師都讓學(xué)生直接進(jìn)入“平行四邊形性質(zhì)”的討論。這樣的教學(xué)，學(xué)生可以很快知道知識(shí)點(diǎn)，也能解題，但弊端是“見木不見林”，被動(dòng)思維的局面不可避免，學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究的機(jī)會(huì)也大大減少。
下面給出一種利用先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生開展“類比—探究”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，意在讓學(xué)生體會(huì)幾何研究中理性思維的基本過程。
例9 “平行四邊形”的先行組織者。
開場(chǎng)白：我們今天開始學(xué)習(xí)四邊形的有關(guān)知識(shí)。在研究三角形時(shí)，我們類比了直線及其位置關(guān)系的研究思路。類似地，在具體研究四邊形之前，我們先概括一下三角形的研究問題、線索和基本方法，以便為我們找到學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的大方向。
問題1：你能總結(jié)一下“三角形”一章研究的問題、過程與方法嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確一個(gè)類比對(duì)象，使他們逐步養(yǎng)成用幾何研究的“基本套路”思考問題的習(xí)慣。
通過歸納，得到：
三角形的定義（概念，組成要素，角平分線、高、中線等相關(guān)元素）。
進(jìn)而得到：
三角形的分類（按邊的相等關(guān)系分類、按內(nèi)角的大小分類）；
三角形的基本性質(zhì)（邊的大小關(guān)系、內(nèi)角和、外角和等）；
三角形的全等（確定三角形的條件，判定）；
特殊三角形的研究，按角的特殊(直角三角形)、邊的特殊（等腰三角形）分類，從性質(zhì)、判定、大小度量等方面展開研究；
相似三角形（主要研究性質(zhì)、判定等）。
教師總結(jié)：通過“定義”，我們獲得了研究對(duì)象，認(rèn)識(shí)了它的組成要素和相關(guān)元素。分類的目的是為了對(duì)三角形進(jìn)行分門別類的研究，可以為研究提供方便。三角形的基本性質(zhì)，是對(duì)圖形本身的性質(zhì)的研究，其中三角形內(nèi)角和定理是平面幾何中最重要的定理之一?！叭刃巍笔嵌ㄐ云矫鎺缀窝芯康闹饕獌?nèi)容之一，由此可知確定三角形的基本條件。對(duì)特殊三角形的研究，體現(xiàn)了考察“特例”的重要性，這是數(shù)學(xué)研究的“基本套路”?！疤厥庑浴笨梢詮慕堑奶厥夂瓦叺奶厥鈨蓚€(gè)角度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形這兩個(gè)研究對(duì)象。“性質(zhì)”和“判定”是對(duì)特殊三角形的兩大研究主題。
值得注意的是，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的特征性質(zhì)是研究平面幾何對(duì)稱性的種種表現(xiàn)與推論的基本工具；而直角三角形的性質(zhì)，特別是勾股定理，則是研究定量幾何的基本工具。
問題2：類比三角形的研究，你能勾畫一下“四邊形”研究的問題、過程和方法嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】通過類比，先讓學(xué)生對(duì)本章內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，在后續(xù)研究中能“見木見林”，給學(xué)生提供基本思想方法，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性。
通過歸納得到：
四邊形的定義（概念，組成要素，對(duì)角線等相關(guān)元素）。
進(jìn)而得到：
四邊形的基本性質(zhì)（內(nèi)角和、外角和等）；
四邊形的全等（暫時(shí)不研究）；
特殊四邊形的研究，也可以按角的特殊、邊的特殊分類，研究的基本內(nèi)容也是性質(zhì)、判定、大小度量等；
相似四邊形（暫時(shí)不研究）。
師生總結(jié)：邊的特殊性，可以從“大小關(guān)系”和“位置關(guān)系”兩個(gè)角度入手。如果兩組對(duì)邊分別相等，從直觀上就可以發(fā)現(xiàn)，這樣的四邊形具有中心對(duì)稱性，對(duì)稱中心就是對(duì)角線的交點(diǎn)，而且由全等三角形易得兩對(duì)對(duì)角分別相等；再結(jié)合平行線的性質(zhì)，容易得到它的兩組對(duì)邊分別互相平行。這就是我們要研究的平行四邊形，研究的基本內(nèi)容也是性質(zhì)和判定。研究“性質(zhì)”，就是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；研究“判定”，就是考察具備什么條件的四邊形才是平行四邊形。
在平行四邊形中，還可以進(jìn)一步研究特殊的平行四邊形：角的特殊——矩形；邊的特殊——菱形；邊角都特殊——正方形。都要研究性質(zhì)和判定。
值得注意的是，平行四邊形的特征性質(zhì)是平面幾何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性問題中所扮演的角色就像等腰三角形在研究對(duì)稱性中所扮演的角色一樣，是基本且重要的工具。
【說明】上述設(shè)計(jì)的立意是使學(xué)生明確幾何研究的“基本套路”，是對(duì)思想方法的追索，而起點(diǎn)則是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的“三角形”。在一個(gè)章節(jié)、一個(gè)單元的起始階段，引導(dǎo)學(xué)生先從整體上概括地思考一下研究的內(nèi)容和方法，不僅對(duì)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法有作用，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力也有積極意義。這里，“先行組織者”的作用是：搭建研究框架，引導(dǎo)思維方向，增強(qiáng)思維的邏輯性、條理性，它對(duì)提高課堂教學(xué)效益是大有好處的。
下面再舉一例說明如何安排學(xué)生的概括活動(dòng)。
例10 “正比例函數(shù)的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)。
開場(chǎng)白：對(duì)于正比例函數(shù)y=kx（k≠0），給定一個(gè)k值，就給定了一個(gè)正比例函數(shù)；不同的k值確定了不同的正比例函數(shù)。例如，y=x，y=－x，y=2x，y=－2x就是k分別取1，－1，2，－2時(shí)得到的函數(shù)。研究正比例函數(shù)的性質(zhì)就是要研究這些函數(shù)的共性。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生明確“什么叫研究正比例函數(shù)的性質(zhì)”。
問題1：因?yàn)檎壤瘮?shù)有無數(shù)個(gè)，為了獲得“共性”，先看幾個(gè)具體例子所具有的共性，可以得到關(guān)于正比例函數(shù)性質(zhì)的啟發(fā)。另外，函數(shù)的圖象直觀地反映了函數(shù)的特征，觀察圖象可以幫助我們獲得函數(shù)性質(zhì)的猜想。
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=0.5x，y=x，y=2x，y=3x的圖象，觀察它們有什么共性？
追問：你是從哪些角度觀察的？
【設(shè)計(jì)意圖】“引導(dǎo)語”是關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)；“追問”是為了把學(xué)生內(nèi)隱的思維顯性化，并概括出方法。通過“追問”得出：k的共性（k＞0）；圖象經(jīng)過的象限（一、三）；圖象從左到右是“上升”的；等等。
問題2：你能利用函數(shù)解析式說明它們?yōu)槭裁粗唤?jīng)過一、三象限嗎？（x＞0時(shí)，y＞0；x＜0時(shí)y＜0。）
【設(shè)計(jì)意圖】從形到數(shù)，學(xué)習(xí)從代數(shù)角度研究性質(zhì)。
問題3 ：如何利用函數(shù)解析式解釋“函數(shù)y=x的圖象從左到右是‘上升’的”？其他幾個(gè)函數(shù)呢？
【設(shè)計(jì)意圖】利用解析式，說明隨著x的增大，y也增大。
問題4：上述結(jié)論能推廣到一般情形嗎？（得到k＞0時(shí)的性質(zhì)。）
問題5：你能類比上述研究過程，討論一下k＜0的情形嗎？
問題6：還有其他什么共性嗎？
5．學(xué)會(huì)觀摩，學(xué)會(huì)交流
本項(xiàng)活動(dòng)的宗旨是：重在參與，重在過程，重在交流，重在研究，促進(jìn)初中青年數(shù)學(xué)教師業(yè)務(wù)素質(zhì)的提高，促進(jìn)課堂教學(xué)質(zhì)量的提高，推動(dòng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)改革。經(jīng)過各地的層層選拔，絕大部分參賽選手都是具有較高水平的。因此，這里更加注重的是觀摩與交流，參加活動(dòng)的所有代表都應(yīng)本著相互學(xué)習(xí)、共同提高的精神，評(píng)委也不例外。所以，學(xué)會(huì)觀摩、學(xué)會(huì)交流是必須的。
什么叫觀摩？《禮記·學(xué)記》云：“相觀而善之謂摩?！?鄭玄注：“摩，相切磋也?！?這樣，“觀摩”就是觀察彼此的長(zhǎng)處，并相互學(xué)習(xí)。常言道：“外行看熱鬧，內(nèi)行看門道?！币_(dá)到“觀摩”的效果，就必須學(xué)會(huì)“看門道”。
一般而言，觀察一堂課，首先要關(guān)注整體結(jié)構(gòu)，關(guān)注教學(xué)主線，關(guān)注核心。例如，概念課是否遵循了概念教學(xué)的基本原則？學(xué)生有沒有獲得實(shí)質(zhì)性思維參與機(jī)會(huì)？是否讓學(xué)生經(jīng)歷了概念的概括過程？學(xué)生是否充分理解了概念的關(guān)鍵詞？用概念作判斷的具體步驟是否得到落實(shí)？等等。在此基礎(chǔ)上再看細(xì)節(jié)。俗話說：“細(xì)節(jié)決定成敗?！闭n堂中常常有一些稍縱即逝的東西，它們往往成為推動(dòng)學(xué)生深入思考的契機(jī)，是成功教學(xué)的關(guān)鍵。這種課堂即時(shí)“生成”的教學(xué)資源需要教師有較深厚的功底才能及時(shí)捕捉到，這是優(yōu)秀教師應(yīng)具備的特質(zhì)。對(duì)這種“細(xì)節(jié)”，就要抓住不放。但要注意，細(xì)節(jié)不是“細(xì)枝末節(jié)”。例如，有的教師在聽完“平均數(shù)與眾數(shù)”一課后，提出問題：“如果有學(xué)生問‘3，3，3，4，4，4，5，5，5這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是什么’，你會(huì)如何作答？”我認(rèn)為這個(gè)問題關(guān)注的就是細(xì)枝末節(jié)。實(shí)際上，這不是一個(gè)好問題，甚至是一個(gè)不值得研究的問題。因?yàn)閺母拍畛霭l(fā)，“一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做眾數(shù)”。什么叫“最多”？在“3，3，3，4，4，4，5，5，5”這組數(shù)據(jù)中，并沒有出現(xiàn)次數(shù)最多的，所以可以認(rèn)為沒有眾數(shù)；但也可以認(rèn)為3，4，5出現(xiàn)次數(shù)都是最多的，所以它們都是眾數(shù)。因此，這樣的問題不是統(tǒng)計(jì)所關(guān)注的。
在觀摩中，我們要思考如何提問題。要學(xué)會(huì)“提－好問題”和“提好－問題”，就是要善于提問題，并要善意地提問。
結(jié)束語：把教研作為一種生活方式
本項(xiàng)活動(dòng)在我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育界具有很大影響力，已成為研究課堂教學(xué)問題，探討課堂教學(xué)規(guī)律，提高課堂教學(xué)質(zhì)量和效益，促進(jìn)教師專業(yè)化發(fā)展的重要平臺(tái)。“重在參與，重在過程，重在交流，重在研究”的活動(dòng)宗旨深入人心。我們欣喜地看到，本項(xiàng)活動(dòng)在模式上不斷創(chuàng)新，質(zhì)量不斷提高。所有這些都得益于大家的共同智慧和創(chuàng)造，得益于各會(huì)員單位在準(zhǔn)備過程中不斷加強(qiáng)和完善過程性、研究性，將活動(dòng)宗旨具體化。在這幾天的展示與觀摩活動(dòng)期間，做到了錦上添花，把各地的研究成果充分展示出來，通過現(xiàn)場(chǎng)互動(dòng)交流，進(jìn)一步發(fā)揮了這些成果的引領(lǐng)、示范作用。
教師專業(yè)化發(fā)展是一個(gè)沒有止境的過程，要求廣大教師把教學(xué)研究作為自己的生活常態(tài)甚至是一種生活方式，這是為人師表需要的一種態(tài)度，也是教師應(yīng)具備的一種職業(yè)精神。做教研要有“默而識(shí)之，學(xué)而不厭，誨人不倦”的態(tài)度和精神：教研不是為了表演、作秀，要靜下心來，心無旁騖，要默然領(lǐng)會(huì)在心，也就是要“默而識(shí)之”；教研還要有“學(xué)而不厭”的精神，因?yàn)樗荒茏屇闵侔l(fā)財(cái)，更多的是“枯燥乏味”，甚至費(fèi)九牛二虎之力而難入其門，很多教師也因此而放棄，但這正是進(jìn)步的開端，因此做教研要有“面壁十年”的準(zhǔn)備；當(dāng)教師必須有“誨人不倦”的態(tài)度，當(dāng)今的教育，受功利化社會(huì)環(huán)境的污染，已經(jīng)忘記了自己“教書育人”的根本職責(zé)，家長(zhǎng)、社會(huì)、行政部門以“教育GDP”（升學(xué)率）論英雄，這種社會(huì)氛圍十分令人生厭。數(shù)學(xué)教學(xué)也不能置身事外，教師為了分?jǐn)?shù)而不得不讓學(xué)生進(jìn)行大量機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練，而數(shù)學(xué)的育人本分（培養(yǎng)思維能力、發(fā)展理性精神）則被拋到九霄云外，這種沒有思想、沒有靈魂的教育已經(jīng)“造就”了大批只會(huì)解題不會(huì)讀書的學(xué)生。在這樣的環(huán)境下，一個(gè)真正的數(shù)學(xué)教師，必須懷有一種菩薩心腸，無私地?zé)釔蹖W(xué)生；還要有普度眾生的學(xué)識(shí)、精神、耐心、耐力，不厭其煩地把自己所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和領(lǐng)悟到的思想、精神傳遞給學(xué)生。唯有堅(jiān)持“誨人不倦”的精神，我們才能在盡教書育人職責(zé)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)自己的人生價(jià)值，找到人生的樂趣。
愿廣大數(shù)學(xué)教師真心誠(chéng)意地?zé)釔劢萄校瑢Ｐ闹轮镜匮芯拷虒W(xué)，在教學(xué)過程中，隨時(shí)隨地思考，隨時(shí)隨地發(fā)現(xiàn)，隨時(shí)隨地實(shí)踐，隨時(shí)隨地體驗(yàn)，隨時(shí)隨地領(lǐng)悟，隨時(shí)隨地反省。這是教研的真諦，也是教好書、做好人的真諦。
