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“情境—問題—思維”視角下的問題鏈教學

胡連成

摘要：數(shù)學教學是思維的教學，數(shù)學知識是思維活動的成果，學生思維活動的開展需要問題的引領(lǐng).文章通過設(shè)計有效的教學情境，引發(fā)學生的認知沖突，實現(xiàn)問題的生成；借助對問題的追問和反問，實現(xiàn)問題的聚焦，形成核心問題；基于數(shù)學思維的引領(lǐng)，利用問題變式形成具有邏輯關(guān)聯(lián)和開放度、生長性的問題鏈，在問題思考中發(fā)展學生的理性思維和核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：問題情境問題生成問題聚焦問題鏈引領(lǐng)理性思維

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2022年版)》提出：教學中要注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學生主動學習的促進作用，通過創(chuàng)設(shè)情境，提出能引發(fā)學生思考的數(shù)學問題或引導學生主動提出合理問題，使學生在問題思考中逐步發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).要實現(xiàn)這一目的，需要關(guān)注兩個方面的問題：一是情境的設(shè)計與問題的提出；二是問題的聚焦與問題鏈的引領(lǐng).本文從“情境—問題—思維”的視角出發(fā)，就如何在情境教學中實現(xiàn)問題生成、核心問題確立及問題鏈引領(lǐng)等諸方面展開研究.

問題生成

哈爾莫斯曾說：“問題是數(shù)學的心臟.”愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要.”如何能夠讓學生在教師設(shè)計的情境中主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，這就要求我們要在明確學生已有的知識結(jié)構(gòu)和認知心理的基礎(chǔ)上，基于學生的學習最近發(fā)展區(qū)設(shè)計指向數(shù)學本質(zhì)、兼具“真、趣、美、簡”的數(shù)學情境，使學生用已有的知識方法在情境的思考中產(chǎn)生認知沖突、心理困境，從而形成需要解決的問題，引領(lǐng)后續(xù)的探究活動.

案例1 二次函數(shù)的概念引入.

情境設(shè)計 如圖1,已知矩形花圃ABCD一面靠墻，另外三面所圍成的柵欄的總長度是19 m.

1)如果花圃的面積是24m²,則花圃的邊AB的長度是多少?

2)當花圃的邊AB的長度發(fā)生變化時，你有什么發(fā)現(xiàn)?

活動開展 教學中先由學生自己計算、想象，給出基于自己理解的發(fā)現(xiàn)，然后教師利用幾何畫板動態(tài)展示矩形ABCD的面積隨邊AB的長度變化而變化，在此基礎(chǔ)上感知變量間的對應(yīng)關(guān)系，啟發(fā)學生思考這種變化中是否蘊涵著不變的數(shù)量關(guān)系及如何表達出來.

案例分析 本案例是在九年級學生已經(jīng)掌握了一元二次方程解決實際問題的基礎(chǔ)上進行的問題探索.對于問題1),學生可以列方程求解；問題2)是從“化靜為動”的角度出發(fā)，通過對圖形動態(tài)想象和借助幾何畫板的直觀演示，讓學生提出自己的發(fā)現(xiàn).學生通過思考可以發(fā)現(xiàn)邊長AB和矩形ABCD的面積之間存在著對應(yīng)關(guān)系，自然就會引發(fā)學生的積極思考“如何把兩變量間對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系表示出來”,當已有的一元二次方程知識在表示此數(shù)量關(guān)系時存在思維的困境，便形成了認知沖突，并生成了相關(guān)的數(shù)學問題：如何表示在變化過程中兩個變量間的數(shù)量關(guān)系?由此引領(lǐng)后續(xù)的思考與探究.

問題聚焦

數(shù)學的靈魂是數(shù)學問題，為避免教學實踐中數(shù)學問題的“淺、散、亂”現(xiàn)象，要注重對在情境中由認知沖突生成問題的聚焦，以形成指向數(shù)學本質(zhì)的核心問題，統(tǒng)領(lǐng)后續(xù)的探索與思考.數(shù)學課堂教學的核心問題是指從數(shù)學知識的整體建構(gòu)出發(fā)，對一節(jié)課或教學單元起著統(tǒng)領(lǐng)作用的關(guān)鍵數(shù)學問題，它指向問題的數(shù)學本質(zhì)，整合課堂教學的重點和關(guān)鍵點，并由此生成整節(jié)課(單元)的教學探索活動，具有統(tǒng)領(lǐng)性、生成性、建構(gòu)性的特點.在數(shù)學情境教學中，通過情境謀勢，形成認知沖突，引發(fā)學生的積極思考，在觀察、猜想等思維的碰撞中自然生成諸多問題，教師要及時引導、啟發(fā)，在諸多問題中歸納聚焦具有開放度和生成性的核心問題，引領(lǐng)學生思維發(fā)展，并由此不斷產(chǎn)生新問題、新觀點，在問題探索中實現(xiàn)基于自我理解的知識方法的體系建構(gòu).

案例2 勾股定理[1].

情境設(shè)計 利用數(shù)學實驗學具，演示“勾股定理注水法”證明過程(如圖2),讓學生們說說自己的發(fā)現(xiàn).

活動開展 學生觀察演示過程得出不同的結(jié)論：兩個小正方體的體積等于大正方體的體積；兩個小正方形的面積等于大正方形的面積；兩個較短邊長的平方和等于長邊的平方；直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方……

教師引領(lǐng)學生對諸多結(jié)論進行分析，梳理它們之間的內(nèi)部關(guān)系，進而確立核心問題“哪類三角形的兩邊的平方和等于長邊的平方”.

案例分析 通過對實驗演示的觀察思考，學生往往認為實驗說明了“直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方”,教師及時進行啟發(fā)“圖中的三角形一定是直角三角形嗎”“如果不能確定是怎樣的三角形，應(yīng)該如何思考”,從而使得問題聚焦到“哪類三角形的兩邊的平方和等于長邊的平方”,形成核心問題.接著，利用分類討論的方法，按照直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分別進行探索，在遵循從特殊到一般的歸納思維的指導下，通過畫圖驗證、一般化證明的過程形成結(jié)論.通過情境形成認知沖突，引發(fā)思考，將諸多問題聚焦到核心問題，進而引領(lǐng)后續(xù)的系列探索，這就是核心問題的重要作用之體現(xiàn).

問題鏈引領(lǐng)

數(shù)學知識是個體思考的產(chǎn)物，數(shù)學課堂是學生思考的舞臺，基于情境的謀勢，引發(fā)認知沖突，形成的數(shù)學問題能引發(fā)學生的思考，而如何讓思考走向深入，數(shù)學思維得以發(fā)展，需要基于核心問題的問題鏈引領(lǐng)與驅(qū)動.所謂問題鏈，是指根據(jù)教學目標、數(shù)學知識體系、學生的認知結(jié)構(gòu)和認知心理，在情境的認知沖突中所形成的核心問題，通過遞進、變式、類比、引申、逆變等方式，形成具有邏輯關(guān)聯(lián)和開放度、生長性的問題串.從形式上看，問題鏈是問問相連、環(huán)環(huán)相扣的問題串；從本質(zhì)上看，問題鏈是以學生的學習最近發(fā)展區(qū)為定位，以數(shù)學思維為指導，指向數(shù)學知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)一定的數(shù)學思想方法的序列問題.由于對問題鏈關(guān)注視角的差異，研究者對問題鏈有不同的分類方法：黃光榮教授從數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的分析出發(fā)把問題鏈分為推廣(伸縮)鏈、引申鏈、綜合鏈和深化鏈這4種基本類型[2];唐恒鈞教授從數(shù)學知識的內(nèi)部關(guān)聯(lián)出發(fā)把問題鏈分為推廣鏈、特殊鏈、類比鏈和逆向鏈，從教學功能的區(qū)分出發(fā)分為知識建構(gòu)型問題鏈、知識網(wǎng)絡(luò)型問題鏈、專題探究型問題鏈等[3].本文基于上述理論的指導，以問題鏈所蘊涵的數(shù)學思維為依據(jù)，把問題鏈分為歸納鏈、類比鏈、演繹鏈和逆向鏈，并結(jié)合教學實例加以分析.

3.1 問題歸納鏈

問題歸納鏈是在數(shù)學一般化思維的指導下，遵循從特殊到一般的基本原則，通過若干特殊問題，歸納其中蘊涵的客觀規(guī)律和數(shù)量關(guān)系的系列問題串.在問題歸納鏈中，注重對問題的觀察、猜想和驗證，透過偶然尋必然，利用特例找一般，通過抽取問題的共同屬性形成數(shù)學規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學創(chuàng)新思維.歷史上，許多著名的數(shù)學發(fā)現(xiàn)都是在對具體問題的觀察、猜想、思考中歸納得出的，如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理等.在初中階段，由于受到學生認知結(jié)構(gòu)和認知心理的限制，教學中往往運用的是不完全歸納方法，要借助適當?shù)睦幼寣W生了解這種方式歸納的結(jié)論具有或然性，避免“以偏概全”的錯誤.

案例3 位置的確定.

情境引入 我國的航母編隊航行在茫茫大海上，如何向基地報告航母的準確位置?

問題1 公交車行駛在公交線路上，如何向車站報告自己的位置?如果一個點在直線上運動，如何準確表示它的位置?

問題2 如何在教室里準確表示每一個座位的位置?如何在平面內(nèi)準確表示一個點的位置?

問題3 如何在三維的空間內(nèi)表示點的位置?通過以上問題的思考，你有什么發(fā)現(xiàn)?

案例分析 本案例源于蘇科版教科書《數(shù)學》八年級上冊第5.1節(jié)“位置的確定”,這是基于學生已經(jīng)學習了數(shù)軸上點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系基礎(chǔ)上，對平面上位置確定問題的探究.本課是函數(shù)學習的起始課，通過生活中物體位置確定到數(shù)學上點的位置確定，從一維位置確定問題(1個有序?qū)崝?shù)表示),拓展到二維平面位置確定問題(2個不同有序?qū)崝?shù)表示),并指向三維空間位置探索(3個不同的有序?qū)崝?shù)表示)的發(fā)展，經(jīng)歷抽象、歸納與模型化的數(shù)學思考過程，在學習知識的同時發(fā)展了學生的創(chuàng)新思維能力.

3.2 問題類比鏈

問題類比鏈是在數(shù)學類比思維的指導下，從此類到彼類，在處理新問題時，類比以前處理類似問題的視角和方法而提出解決思路的問題串.拉普拉斯認為發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理的工具主要是歸納和類比，歸納思維和類比思維體現(xiàn)為一種智慧和能力，二者可有效培養(yǎng)學生預測、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的能力.在教學中，教師要注重變換情境，利用類比和歸納的思維訓練促進學生知識能力的高路遷移，從而實現(xiàn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng).

案例4 反比例函數(shù)的圖形與性質(zhì).

情境設(shè)計 展示反比例函數(shù) y= 2 x ,教師提問.

問題1 回顧學習過的一次函數(shù)y=2x,你能想到什么?

問題2 從數(shù)的角度思考，一次函數(shù)y=2x中的x和y有怎樣的關(guān)系?從形的角度思考，函數(shù)的圖象是怎樣的，有哪些特點?根據(jù)“數(shù)”和“形”所得到的結(jié)論之間有沒有關(guān)聯(lián)?

問題3 類比思考y=2x的角度和方法，當你看到式子 y= 2 x 時，能想到什么?

問題4 從數(shù)的角度思考，反比例函數(shù) y= 2 x 中的x和y有怎樣的關(guān)系?從形的角度思考，函數(shù)的圖象是怎樣的，由哪些特點?根據(jù)“數(shù)”和“形”得到的結(jié)論之間有沒有關(guān)聯(lián)?

問題5 請利用本節(jié)課的方法，課后思考函數(shù) y= 2 x +2 和 y= 2 x+2 的圖象與性質(zhì).

案例分析 本案例是蘇科版教科書《數(shù)學》八年級下冊第11章“反比例函數(shù)”第二課時的內(nèi)容，學生已經(jīng)學習了一次函數(shù)的圖形與性質(zhì)及反比例函數(shù)的概念，本節(jié)課主要是類比一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究方法，思考反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(見圖3).教師首先引導學生回顧在一次函數(shù)圖象與性質(zhì)探索中“以數(shù)猜形、以形助數(shù)”的過程，明確了由x和y的數(shù)量關(guān)系(取值范圍、符號關(guān)系、增減關(guān)聯(lián))與圖象分布(交點情況、象限分布、圖象升降)的數(shù)形結(jié)合分析方法.利用類比思維，按照上述方法探索 y= 2 x 的圖象與性質(zhì)，并拓展到 y= 2 x +2 和 y= 2 x+2 的思考.通過關(guān)注方法與結(jié)論的“同”與“不同”,在現(xiàn)象中尋找規(guī)律，于變化中思考不變，在觀察、猜想、說理的過程中發(fā)展創(chuàng)新能力和理性思維.

3.3 問題演繹鏈

問題演繹鏈是指在數(shù)學演繹思維的指導下，遵循從一般到特殊的基本原則，通過條件強化，聚焦特殊化問題而形成的系列問題串.在問題演繹鏈中，常常從已確定的對象集合出發(fā)關(guān)注該集合中較小的子集，在一般性質(zhì)的基礎(chǔ)上思考特殊的存在.通過問題的特殊化思考與一般化抽象，尋找數(shù)學知識的確定性和差異性，感受數(shù)學思維的嚴謹和辯證的統(tǒng)一.

案例5 平行四邊形對角線性質(zhì)的再探索.

情境設(shè)計 請說出平行四邊形對角線的性質(zhì)，并思考當平行四邊形圖形變化時(始終保持是平行四邊形),對角線的性質(zhì)是否發(fā)生變化?

問題1 當平行四邊形變化時，它的兩條對角線是否存在相等的情況?這時的平行四邊形應(yīng)滿足什么條件?

問題2 當平行四邊形變化時，它的兩條對角線是否存在垂直的情況?這時平行四邊形應(yīng)滿足什么條件?

問題3 如果一個平行四邊形的兩條對角線垂直且相等，那么它應(yīng)滿足什么條件?

問題4 在上述的圖形變化中，平行四邊形的邊和角有怎樣的變化?

案例分析 本案例是在學生已經(jīng)學習了平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，對教材內(nèi)容進行重組而開展的探究性活動.基于平行四邊形的“對角線互相平分”的性質(zhì)，從平行四邊形的運動變化的視角出發(fā)，探究平行四邊形的兩條對角線可能存在的特殊關(guān)系：一是當對角線相等時，平行四邊形應(yīng)滿足的條件；二是當對角線垂直時，平行四邊形應(yīng)滿足的條件；三是當對角線垂直且相等時，平行四邊形應(yīng)滿足的條件.借助圖形的運動變化，感知“變中有不變”和“變中有新知”,并以此為突破口，思考平行四邊形的邊、角的變與不變，從而在基于自我理解的基礎(chǔ)上建構(gòu)平行四邊形和矩形、菱形、正方形的知識體系(如圖4).

3.4 問題逆向鏈

問題逆向鏈是在數(shù)學逆向思維的引領(lǐng)下，在原問題的基礎(chǔ)上通過變換視角、反向思考而形成的系列問題串.問題逆向鏈注重打破常規(guī)、突破思維定勢的束縛，執(zhí)果索因，反其道而思之，從不同的角度或問題的對立面提出新問題，進而引領(lǐng)探究活動.如根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)思考它的判定方法，或者是把問題的條件和結(jié)論互換得到新問題等，通過問題的逆向思考可有效發(fā)展學生的求異思維和發(fā)散思維，培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性和嚴謹性.

案例6 中點四邊形探索.

情境設(shè)計 回顧三角形的3條中位線形成的三角形的性質(zhì)，類比探究中點四邊形(順次連接四邊形的中點形成的四邊形)的性質(zhì).

問題1 任意四邊形所形成的中點四邊形是怎樣的四邊形?

問題2 平行四邊形所形成的中點四邊形是怎樣的四邊形?

問題3 矩形、菱形和正方形所形成的中點四邊形分別是怎樣的四邊形?

問題4 如果中點四邊形是平行四邊形，那么原四邊形是怎樣的四邊形?

問題5 如果中點四邊形是矩形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?

問題6 如果中點四邊形是菱形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?

問題7 如果中點四邊形是正方形，那么原四邊形應(yīng)滿足怎樣的條件?

問題8 凹四邊形所形成的中點四邊形的特性與上述結(jié)論是否一致?

案例分析 在實際教學中，往往是由不同類型的問題鏈交織使用，共同促進學生的思維發(fā)展.本案例是在學生學習了三角形中位線知識之后所開展的探究性學習：首先，通過回顧三角形的3條中位線形成三角形的特性，類比探究中點四邊形的相關(guān)結(jié)論；其次，從一般四邊形到平行四邊形、矩形、菱形和正方形的逐步的特殊化探究過程，思考中點四邊形的性質(zhì)變化；再次，從問題的反面提出問題，“當中點四邊形是平行四邊形、矩形、菱形或正方形時，原四邊形應(yīng)滿足的對角線要求”;最后，從凸四邊形拓展到凹四邊形的類比探究，形成了不同思維引領(lǐng)下的完整的問題鏈教學(如圖5),在問題探究中促進了學生數(shù)學思維能力的綜合發(fā)展.

問題探索“引與思”

在問題鏈的教學實踐中，既要注重教師對問題設(shè)計的“引領(lǐng)”作用，也要重視學生問題“生成”的自然性.教師要認真研讀教材，把握學情，從學生的認知心理和思維習慣出發(fā)進行教學情境和問題的設(shè)計，使問題預設(shè)的科學性和問題生成的自然性渾然天成.同時注重對問題及時的追問和反問，引發(fā)學生的進一步思考，形成新的問題，使得學生的思維從模糊走向清晰、從無序走向有序、從感性走向理性，最終實現(xiàn)問題的聚焦和引領(lǐng)[1].

教師在情境問題的教學中是情境的設(shè)計者、問題的引領(lǐng)者、探索的參與者，通過問題的預設(shè)和引領(lǐng)，在師生的共同探索中讓學生的思維發(fā)光．學生是問題的發(fā)現(xiàn)者、實踐的探索者、知識的建構(gòu)者，在主動的思考中完成知識的建構(gòu)、實現(xiàn)數(shù)學思維的發(fā)展．

基于“情境—問題—思維”視角的數(shù)學教學注重通過真實情境所引發(fā)認知沖突的“謀勢”，實現(xiàn)問題的生成與聚焦，在問題鏈的引領(lǐng)與探索中，學生通過主動思考和建構(gòu)，獲得知識，發(fā)展能力，領(lǐng)悟數(shù)學思想方法，在審視與反思中形成理性的思維自覺(如圖6)，在知識方法的關(guān)聯(lián)建構(gòu)中實現(xiàn)由具體的數(shù)學方法、策略的學習轉(zhuǎn)向一般性思維策略的發(fā)展，經(jīng)歷“數(shù)學地思維”達成“通過數(shù)學學會思維”的目的，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和理性思維的發(fā)展．

參考文獻

• [1]胡連成．基于“情境-問題-思維”視角的數(shù)學深度教學[J]．中學數(shù)學月刊，2022(6):9-12．

• [2]黃光榮．問題鏈方法與數(shù)學思維[J]．數(shù)學教育學報，2003,12(2):35-37．

• [3]唐恒鈞，張維忠．數(shù)學問題鏈教學的理論與實踐[M]．上海:華東師范大學出版社，2021.

另：本月29日（周六）30日（周日）在浙江金華有個數(shù)學問題鏈教學暑期學校公益活動，歡迎有興趣的老師和同學參加！