“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”課題組（初中）第四次研討會，于2009年4月17日—18日在北京市第166中學(xué)舉行．本次會議分別以“平行四邊形的性質(zhì)”、“平均數(shù)”、“抽樣調(diào)查”為題，分別請湖北省荊州市實驗中學(xué)王用華和天津市大港區(qū)油田四中張淑媛就“平行四邊形的性質(zhì)”以同課異構(gòu)的方式呈現(xiàn)了兩節(jié)研討課，請北京市第166中學(xué)張韜上了“抽樣調(diào)查”一課，請山西省陽泉市平定縣南坳中學(xué)趙軍才老師上了“平均數(shù)”一課．與會代表圍繞課題研究的核心內(nèi)容，以這四節(jié)課為載體展開了反思、交流與研討．
一、剖析數(shù)學(xué)核心概念和思想方法
1. 關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)是本章的第一課時，其內(nèi)容包括平行四邊形的定義和平行四邊形的性質(zhì)．由于小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過有關(guān)平行四邊形的知識，學(xué)生曾經(jīng)通過動手測量和觀察，知道平行四邊形的定義和性質(zhì)，因此，本節(jié)課如何處理平行四邊形概念和性質(zhì)成為與會者討論和反思的一個焦點．
天津李果民認(rèn)為，這節(jié)課的核心是平行四邊形的定義和性質(zhì)，涉及三個重要的問題，一是如何給一個新概念下定義，即屬加種差，后面幾種特殊四邊形也都是這么定義的．盡管小學(xué)學(xué)習(xí)過平行四邊形定義，但這節(jié)課是給學(xué)生一個科學(xué)的思維方式．平行二字是從邊的位置出發(fā)的，所以用邊平行定義．二是要強調(diào)推理論證，滲透推理必要性．三是平行四邊形向三角形轉(zhuǎn)化的思想．輔助線如何自然是課堂教學(xué)實踐的問題．
通過研討反思，大家取得一致認(rèn)識：盡管在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念和有關(guān)性質(zhì)，但更多是從平行四邊形的整體上獲得的感性的認(rèn)識．這節(jié)課要從平行四邊形與一般四邊形的關(guān)系入手，通過對平行四邊形的特殊屬性—兩組對邊分別平行的分析，揭示它與一般四邊形之間的屬種關(guān)系，進(jìn)而向?qū)W生滲透給概念下定義的一種重要方式：屬加種差．這種定義概念的方式將在本章中反復(fù)出現(xiàn)，因此，在第一課時中明晰這種定義方式有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方法．
當(dāng)然，對這種給概念下定義的方式的深入分析和理解還需要在本章結(jié)束時進(jìn)一步梳理．屆時，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種特殊四邊形的相關(guān)知識，因此，能夠更清楚地看到同一鄰近屬概念（平行四邊形）下的不同種概念（幾種特殊平行四邊形）之間的種差，這將有助于學(xué)生把握本章中其他特殊四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系．
對平行四邊形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，是重視探究過程還是注重證明過程也是討論中大家關(guān)注的話題，經(jīng)過研討和反思，大家一致認(rèn)為，由于在小學(xué)階段，通過動手活動，學(xué)生已經(jīng)對平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)有所了解，因此，這節(jié)課不應(yīng)該把動手探究過程作為一個重要內(nèi)容處理，而是在回顧所學(xué)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把教學(xué)重點放在對性質(zhì)的證明上．這樣處理的理由是，通過證明過程，一方面可以著重對學(xué)生進(jìn)行演繹推理能力的訓(xùn)練，另一方面，可以滲透證明中蘊含重要的數(shù)學(xué)思想---轉(zhuǎn)化．
此外，作為本章的第一課時，或者說一章的初始課，應(yīng)該怎樣上也成為大家議論的一個焦點．有教師認(rèn)為，作為一章的初始課要清楚地說明這一章的重要內(nèi)容和學(xué)習(xí)的基本方法，特別是學(xué)習(xí)方法，屬于認(rèn)知策略性知識，對后續(xù)探究性學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用．因此，上課之初應(yīng)對本章內(nèi)容和研究方法進(jìn)行簡要說明，如，本章將要學(xué)習(xí)四邊形家族中哪些特殊四邊形，以此讓學(xué)生對全章內(nèi)容有一個大致了解．再如，通過回顧和類比三角形的學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生了解，對每一個特殊四邊形的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷這樣的過程：給概念下定義，探索其性質(zhì)，研究其判定方法．對于每一種特殊四邊形性質(zhì)和判定方法的研究，主要是針對圖形中特殊線段、特殊角的關(guān)系進(jìn)行研究．
這里還需要指出的是，大家對證明過程中蘊含的轉(zhuǎn)化思想是怎樣體現(xiàn)的尚未達(dá)成一致意見，一種看法是轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題；另一種看法是，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把證明線段相等或角相等問題轉(zhuǎn)化為三角形全等．這兩種轉(zhuǎn)化的方向恰好相反，前一種轉(zhuǎn)化的方向是從整體—四邊形到局部—三角形；后一種轉(zhuǎn)化的方向是從局部—線段或角到整體—三角形．筆者認(rèn)為，后一種認(rèn)識更貼近學(xué)生思維的真實過程，因為思想方法大多是發(fā)生在問題解決之初，為問題解決指明方向或提供方法．在證明平行四邊形對邊相等、對角相等之前，學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存在證明線段相等和角相等的有關(guān)策略—“三角形全等”，因此，當(dāng)學(xué)生看到所要求證的結(jié)論時，想到的首先是上述策略，進(jìn)而思考如何構(gòu)造兩個全等三角形．根據(jù)已有經(jīng)驗（三角形內(nèi)角和定理證明），若要構(gòu)造三角形，自然會想到借助于輔助線，因此，輔助線引入水到渠成自然流暢．
2. 關(guān)于抽樣調(diào)查
大家一致認(rèn)為，利用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征是“抽樣調(diào)查”這一課時的數(shù)學(xué)思想，其核心體現(xiàn)為估計的科學(xué)性，即借助于樣本的數(shù)據(jù)特征推斷總體的數(shù)據(jù)特征．隨機性伴隨抽樣調(diào)查，即每一次抽樣得到的數(shù)據(jù)可能與總體相應(yīng)的真值存在差異，不同批次的抽樣得到的數(shù)據(jù)之間存在差異．在操作中，樣本的代表性是抽樣調(diào)查的核心技術(shù)問題．代表性涉及到樣本的抽取方法，樣本數(shù)量多少，這些因素影響到估計的準(zhǔn)確程度．
比較全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點常常是深化理解兩種數(shù)據(jù)收集方法的有效辦法．抽樣調(diào)查常常用于被調(diào)查的總體中個體數(shù)量較大，甚至是無限多個；或調(diào)查過程具有較大損耗和破壞性，但并不是說抽樣調(diào)查只能用于這樣的調(diào)查，這與問題解決的要求密切相關(guān)．值得注意的是，調(diào)查方法的選擇與抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的優(yōu)劣并無直接關(guān)系，特別是準(zhǔn)確性的問題，不能說全面調(diào)查就一定比抽樣調(diào)查更精確（詳見本期論文：初中抽樣調(diào)查教學(xué)中四個基本問題的探討）．
3. 關(guān)于平均數(shù)
學(xué)生對平均數(shù)并不陌生，但如何理解“權(quán)”的意義關(guān)系到教師如何處理教材，如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，甚至關(guān)系到教學(xué)手段的選擇．廣州許世紅老師認(rèn)為，權(quán)即“權(quán)衡輕重”，根據(jù)權(quán)在統(tǒng)計中的具體應(yīng)用主要有以下幾種常見的基本分類：（1）從取值形式看，權(quán)可以取正整數(shù)，也可以是零或正小數(shù)．（2）從表現(xiàn)形式看，權(quán)有絕對權(quán)和相對權(quán)兩種．絕對權(quán)是以總量指標(biāo)形式表示的．例如：在分組情況下，計算平均成績時，以各組學(xué)生人數(shù)為權(quán)．相對權(quán)是以相對數(shù)形式表示，這個相對數(shù)可以與被平均的變量有著數(shù)量上的直接關(guān)系，也可以沒有數(shù)量上的直接關(guān)系．例如：計算平均成績時，可以用各組學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為權(quán)．（3） 從產(chǎn)生方式看，權(quán)有自然權(quán)和人工權(quán)之分．自然權(quán)是指通過變換統(tǒng)計資料的表現(xiàn)形式（如對統(tǒng)計資料進(jìn)行分組）而得到的一種統(tǒng)計權(quán)，如人教版課標(biāo)教材8年級下20.1數(shù)據(jù)的代表中的探究問題（5路公共汽車載客量計算）中的權(quán)，這種權(quán)往往具有確定性和客觀性．而人工權(quán)指根據(jù)一定的研究目的而人為構(gòu)造的、以反映各項標(biāo)志值重要程度的統(tǒng)計權(quán)，如演講比賽各項成績（演講內(nèi)容、演講能力、演講效果）的權(quán)，這種權(quán)具有主觀性和假定性，因此，往往表現(xiàn)出不確定性和多元性的特征．（4） 從與待加權(quán)的標(biāo)志值的關(guān)系來看，權(quán)數(shù)有相關(guān)權(quán)和獨立權(quán)之分．相關(guān)權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標(biāo)志值大小有關(guān)；獨立權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標(biāo)志值大小無關(guān)．
二、有效落實核心概念和思想方法的教學(xué)設(shè)計
1.關(guān)注認(rèn)知起點
著名美國認(rèn)知心理學(xué)家奧斯貝爾說過，如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進(jìn)行教學(xué)．因此，教學(xué)設(shè)計必須尊重學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗和認(rèn)知發(fā)展水平．本次課題研討會讓大家充分地理解了這一點．例如，針對平行四邊形的性質(zhì)，很多老師都認(rèn)為，課堂教學(xué)首先由搞清楚學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是什么，小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，這里再進(jìn)行探究猜想驗證就是花架子．初中階段的主要任務(wù)是論證，包括其中填輔助線的方法，八年級更應(yīng)當(dāng)注重演繹推理．課堂教學(xué)中，學(xué)生對教師提出動手的要求相應(yīng)不積極，其主要原因是學(xué)生對平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)了然于胸．
再比如，在抽樣調(diào)查一課的教學(xué)目標(biāo)中，如何讓學(xué)生感受到這種思想，感受到什么程度是教學(xué)中難以把握的，因此，這些問題備受關(guān)注，換句話說，在課堂上，怎樣使學(xué)生感受到抽樣調(diào)查的必要性，抽樣調(diào)查的科學(xué)性，抽樣調(diào)查與全面調(diào)查各自的優(yōu)勢和不足，樣本的代表性等等，是本節(jié)課不容回避的問題．
在日常生活中，學(xué)生已經(jīng)積累了很多關(guān)于抽樣調(diào)查的經(jīng)驗，對抽樣調(diào)查的必要性已經(jīng)有了初步的認(rèn)同，對樣本選擇的代表性問題也有所感悟，但這些經(jīng)驗、認(rèn)識和感悟更多地是感性的，沒有從數(shù)學(xué)理性的高度加以系統(tǒng)地認(rèn)識，因此，當(dāng)某些具體問題出現(xiàn)時，學(xué)生可能會在抽樣調(diào)查與全面調(diào)查的方法選擇上產(chǎn)生疑惑，對樣本如何選擇不知所措，甚至對這種思想方法的科學(xué)性產(chǎn)生質(zhì)疑．正是基于這樣的認(rèn)知沖突，經(jīng)驗的、感性的認(rèn)識才得以提升，使之達(dá)到數(shù)學(xué)的理性境界；正是基于這樣的認(rèn)知沖突，學(xué)生猜感受到數(shù)學(xué)的魅力．因此，我們在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時必須尊重學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有效地數(shù)學(xué)化．
2.放飛學(xué)生的思維
本次會議達(dá)成的一個共識是，教師需要進(jìn)一步放手，讓學(xué)生獨立解決問題．從四節(jié)觀摩課的教學(xué)實際情況看，教師設(shè)計的問題中留給學(xué)生的探究空間太小，對學(xué)生的思維牽制太多，沒能讓學(xué)生放開思維．北京一中王坤老師認(rèn)為，課堂上應(yīng)當(dāng)完全放手，把問題拋給學(xué)生，完全由學(xué)生來證明，老師只負(fù)責(zé)完善與整理．如果教師過多引導(dǎo)，牽著學(xué)生想到類似于課本提供的證法，邊角同時證，那么證明的技巧性太強，過于精致，與學(xué)生的自然思維差距比較大．如果針對不同的兩條性質(zhì)，讓學(xué)生自己思考，那么學(xué)生可能先證角相等，然后再證邊相等．因此，我們是否可以多立足于學(xué)生的“學(xué)”與“取”，而少立足教師的“教”與“給”．
關(guān)于自主探究，很多教師都認(rèn)識到，在實踐中，探究式教學(xué)很容易流于形式，走向兩個極端：“探究活動”成為引誘學(xué)生鉆教師預(yù)設(shè)的“圈套”，沒有豐富的探究空間；抑或“探究活動”成為一種“標(biāo)簽”，學(xué)生其實沒有真正地進(jìn)行探究活動，而是被教師牽著鼻子去發(fā)現(xiàn)“新知識”．比如，在這堂課中，教師讓學(xué)生畫一個平行四邊形，再讓學(xué)生度量邊和角，讓學(xué)生得出對邊和對角相等的結(jié)論．為什么只度量邊和角？這樣的探究，名義上是探究，實際上還是老師讓做什么，學(xué)生就跟著做什么．看起來學(xué)生親自動手了，實際上不過是貼了一個“探究活動”的標(biāo)簽而已，學(xué)生的動手根本就不是自主探究．
由于這種標(biāo)簽式的探究活動過多地牽制了學(xué)生的思維活動，“平行四邊形對角線相互平分”就不可能自然地進(jìn)入學(xué)生的視野范圍內(nèi)，探究活動就會成為了窮途末路．
3.在具體真實的情境中感受數(shù)學(xué)
在課堂教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生親身經(jīng)歷抽樣調(diào)查全過程，感受數(shù)據(jù)生成的真實過程．章建躍談到，初中教學(xué)有兩個任務(wù)，一是教知識，但更重要的是教思想．統(tǒng)計思想是很難概括的，如果用一兩句話概括，那就是歸納的思想．課堂教學(xué)中如何落實？經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程，親自讓學(xué)生收集數(shù)據(jù)，這是第一要點．收集數(shù)據(jù)了，一系列東西就出來了．但日常教學(xué)中，很少讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)過程．這就是說，只有在具體真實的情景中學(xué)習(xí)統(tǒng)計知識，才能讓學(xué)生感受到統(tǒng)計的味道，脫離真實情景統(tǒng)計的味道就淡化了，隨之強化的是算數(shù)的味道．
此外，為體現(xiàn)問題情境的真實性，問題中的數(shù)據(jù)要真實．討論中，大家認(rèn)為，招聘數(shù)據(jù)太明顯，不算就能看出來，數(shù)據(jù)傾向性太強，無需加權(quán)平均數(shù)就可以作出判斷．
4.防止多媒體喧賓奪主
在上課期間，偶遇停電，打亂了教師使用多媒體的教學(xué)設(shè)計，雖然上課教師沉著地處理了這一偶發(fā)事件，但怎樣應(yīng)用多媒體教學(xué)手段再一次引起大家關(guān)注．北京邵海磊老師認(rèn)為，多媒體教學(xué)只是輔助教學(xué)，課件是輔助教學(xué)的手段，其根本目的在于促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和理解．雖然課件中已將所需圖形準(zhǔn)備好，但并不能完全代替現(xiàn)場在黑板上畫圖．教師在黑板上作圖，一方面要邊讀題變畫圖，借助于這個過程可以向?qū)W生示范將數(shù)學(xué)文字或符號語言怎樣轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形語言．另一方面有助于學(xué)生形成和發(fā)展圖形的想象能力．此外，脫離了多媒體的限制，課堂教學(xué)靈活性會更大，學(xué)生思維會更靈活．比如，對于輔助線的添加，學(xué)生可能有不同的做法，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的提法，及時靈活應(yīng)地在黑板上結(jié)合圖形加以說明．
湖北吳明龍質(zhì)疑，幾何教學(xué)性質(zhì)的推理論證，要不要利用投影設(shè)備學(xué)生說一句，老師在大屏幕上顯示一句．對于八年級的學(xué)生，應(yīng)該自己完成動手書寫證明過程，以此發(fā)展學(xué)生書面表達(dá)能力．因此，此處利用多媒體設(shè)備呈現(xiàn)證明過程會阻礙數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展．
三、怎樣才能有效反思
如何判斷教學(xué)設(shè)計的有效性是課題開展研究以來一直關(guān)注的問題之一，本次會議在課后檢測方面做了一點嘗試．每一節(jié)課結(jié)束后，都對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了書面測試，并把書面測試結(jié)果及時反饋給與會教師，希望能從學(xué)生的作業(yè)反饋中尋找到一些信息，用以支持對教學(xué)設(shè)計有效性合理性的推測．當(dāng)然，如果能有對比班參與測試，那么對兩組數(shù)據(jù)比較分析將對課題研討更有參考價值．
在嘗試書面測試過程中，大家也意識到，試題本身能否體現(xiàn)對核心數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，關(guān)系反饋信息的質(zhì)量，進(jìn)而會影響我們對教學(xué)設(shè)計有效性的判斷．因此，設(shè)計高質(zhì)量的測試題目將是下一階段課題研究的另一個問題．
在探索書面測試的同時，如何進(jìn)行有效反思也是課題組關(guān)心的問題．人教社章建躍指出，反思不是記流水帳，要針對具體現(xiàn)象和問題進(jìn)行分析和概括．遼寧景敏認(rèn)為，課后反思的邏輯起點是從課前的教學(xué)設(shè)計開始的，反思是把教學(xué)實踐獲得的感受與教學(xué)設(shè)計中的設(shè)計意圖進(jìn)行對比，確切地說，是把學(xué)生的實際行為與設(shè)計的目的進(jìn)行對比的過程．因此，設(shè)計意圖越明確，對比就會越有成效．通過反思，教師能更好地理解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平，從而使今后的教學(xué)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．
此外，寫反思時要把教學(xué)片段盡可能詳細(xì)地描述來，針對描述中出現(xiàn)的行為進(jìn)行分析，從中抽象出觀點或結(jié)論，這樣的反思可讀性強．
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