在數(shù)學(xué)世界里足以滿足你對(duì)美的任何想象！

如果讓您考慮一個(gè)這樣的問題：“具有有限面積的平面圖形，其周長(zhǎng)是有限的，還是無(wú)限的呢？您會(huì)毫不猶豫地說(shuō)：“當(dāng)然周長(zhǎng)也是有限的?！?/p>

我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)的平面幾何是歐幾里得幾何，長(zhǎng)期以來(lái)，人們總是用歐幾里得幾何的對(duì)象和概念（諸如點(diǎn)、線、平面、角形、正方形、圓）來(lái)描述我們生存的這個(gè)世界。然而在1906年瑞典數(shù)學(xué)家科克作了一條“雪花曲線”，它的面積是有限的，然而它的周長(zhǎng)是無(wú)限的。

1、雪花曲線

先作一個(gè)等邊三角形（如圖1），再把每邊三等分，將居中的1/3部分向外作一個(gè)小等邊三角形，并把每一個(gè)小等邊三角形的底抹掉，得到一個(gè)六角星形（如圖2）；再在六角星形的每一條邊上以同樣的方法向外作出更小的等邊三角形，圖1圖2于是曲線變得越來(lái)越長(zhǎng)，開始像一片雪花了（如圖3）。再如此作下去，曲線將變得越來(lái)越長(zhǎng)，圖形也更美麗（如圖4）。如果不斷地作下去，則曲線可以要多長(zhǎng)有多長(zhǎng)，若無(wú)限地如此作下去，自然就有無(wú)限周長(zhǎng)了。

圖1

圖2

圖3

圖4

意大利數(shù)學(xué)家歐內(nèi)斯托·切薩羅曾對(duì)科克雪花曲線作過如下描述：

這個(gè)曲線最使我們注意的地方是任何部分都與整體相似。這個(gè)結(jié)構(gòu)的每一個(gè)小三角形包含著一個(gè)適當(dāng)比例縮小的整體形狀。這個(gè)形狀包含著每一小三角形的縮小形式，后者又包含縮得更小的整體形狀，如此下去以致無(wú)窮。就是這個(gè)在它所有的無(wú)論怎樣小的部分都保持著相似的性質(zhì)，使這曲線看上去是如此的奇妙。要是它在現(xiàn)實(shí)中出現(xiàn)，那就必須把它完全除去才能摧毀它。否則的話，它將會(huì)從它的三角形的深處重新不停地生長(zhǎng)起來(lái)，就像宇宙本身一樣。

2、雪花曲線面積的計(jì)算

“雪花曲線”周長(zhǎng)是無(wú)限的，而面積卻是有限的。到底它的面積是多少呢？下面我們作出推導(dǎo)：

設(shè)原三角形的面積是1，雪花曲線的產(chǎn)生過程中各圖形的邊數(shù)依次為3，3×4，3×4^2，3×4^3，3×4^4，…，3×4^n-1，…

對(duì)于每一條邊（第n個(gè)步驟），下一個(gè)步驟都將增加(1/9)^2的面積，這樣雪花曲線所圍的面積為

S=1+(1/9)×3+(1/9)^2×3×4+(1/9)^3×3×4^2+…+(1/9)^n×3×4^n-1+…

=8/5

即為原來(lái)三角形面積的8/5倍。

我們把數(shù)學(xué)家歐內(nèi)斯托·切薩羅對(duì)雪花曲線所描述的性質(zhì)叫“分形”。如果把它的部分保留下來(lái)，這部分保存著分形的本質(zhì)，它又能使自己生長(zhǎng)。但究竟什么是“分形”，數(shù)學(xué)家并未給出一個(gè)定義來(lái)，恐怕是避免限制對(duì)這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域正在形成的分形作品和分形概念的創(chuàng)造力。

3、其他分形例子

1）正方形雪花圖作一個(gè)正方形，設(shè)每邊長(zhǎng)為4a，再將每邊用一凸一凹的總長(zhǎng)為8a的折線來(lái)代替（如圖5）。圖5中是只對(duì)原正方形作一次變形的圖形，如果連續(xù)作兩次，便可構(gòu)成一朵絢麗多彩的雪花圖案（如圖6）。

圖5

圖6

由作圖可知，每增加一個(gè)小正方形，同時(shí)又減少一個(gè)相同的小正方形，于是面積是不變的，只是每作一次，周長(zhǎng)增加一倍。如此重復(fù)作下去，周長(zhǎng)會(huì)變得更長(zhǎng)，圖形變得更美，如此無(wú)限作下去，周長(zhǎng)將會(huì)無(wú)限長(zhǎng)，面積卻是一個(gè)定值16a^2。

2）皮亞諾曲線它是18世紀(jì)90年代由數(shù)學(xué)家皮亞諾作出的。先作出一條線段，然后在此線段的三分之一處，向兩邊作出一個(gè)正方形，再在每一條線段的三分之一處，再向兩邊各作一個(gè)更小的正方形（如圖7，圖8，圖9為皮亞諾曲線的最初三個(gè)階段）。如此無(wú)限地作下去，若各正方形都在同一平面，則皮亞諾曲線將會(huì)充滿一個(gè)給定范圍，亦即在此平面給定范圍每一點(diǎn)都會(huì)有曲線通過。

圖7

圖8

圖9

3）謝爾賓斯基三角形先作一個(gè)正三角形（如圖10），挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形）（如圖11），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”（如圖12），我們用黑色三角形代表挖去的面積，那么白三角形為剩下的面積（我們稱白三角形為謝爾賓斯基三角形）。如果用上面的方法無(wú)限連續(xù)地作下去，則謝爾賓斯基三角形的面積越趨近于零，而它的周長(zhǎng)越趨近于無(wú)限大（圖10~圖14）。

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

4、分形是真實(shí)的嗎

分形思想初見于1875-1925年間一些數(shù)學(xué)家們的著作。當(dāng)時(shí)人們稱這些曲線為“病態(tài)曲線”，而將一些研究對(duì)象稱為畸形現(xiàn)象”。這些“怪物”既不被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家接受，也被認(rèn)為沒有絲毫的科學(xué)價(jià)值。因?yàn)樗麄兯玫降摹胺中巍迸c公認(rèn)的數(shù)學(xué)相矛盾（如有些分形具有有限面積，卻具有無(wú)限的周長(zhǎng)；有些分形曲線竟能充滿空間）。

分形是以無(wú)限多的形狀呈現(xiàn)出來(lái)的美妙物體。分形是一種對(duì)象，即將其細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來(lái)仍與原來(lái)一樣。

這與把圖的一部分放大后便變得比較平淡形成了鮮明的對(duì)比。

分形分為兩部分：一是幾何分形，它不斷重復(fù)同一種花樣圖案；另一種是隨機(jī)分形，現(xiàn)在計(jì)算機(jī)已能夠把這些“畸形怪物”立即分形并給畫出來(lái)，顯示出它們的形狀、藝術(shù)圖案或細(xì)微的景觀。

我們可以把分形當(dāng)作一個(gè)不斷生長(zhǎng)的曲線，要觀察一個(gè)分形，必須看到它是在運(yùn)動(dòng)中，我們看到的一個(gè)分形圖片或照片時(shí)，只是看到它某一瞬間的樣子，“凍結(jié)”在生長(zhǎng)過程中的個(gè)階段。

以前認(rèn)為毫無(wú)用處的分形，如今幾乎出現(xiàn)在每一件事物中—描繪海岸線、云彩、人口分布、電影場(chǎng)景等等都有其用處，即在生態(tài)學(xué)、天文學(xué)、氣象學(xué)、電影攝影學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面都能找到分形的用處，而且對(duì)“病態(tài)曲線”的研究已形成門數(shù)學(xué)的分支—分形幾何學(xué)。

伽利略說(shuō)：“宇宙是由數(shù)學(xué)寫成的?！睌?shù)學(xué)工具提供了我們?cè)噲D了解、解釋和再現(xiàn)自然現(xiàn)象的手段。

5、分形圖形欣賞

分形不但是數(shù)學(xué)，而且也是藝術(shù)。分形是數(shù)學(xué)和電腦的產(chǎn)物，可用絕對(duì)精確的數(shù)學(xué)式子進(jìn)行無(wú)數(shù)次“迭代”來(lái)產(chǎn)生和“繁殖”。下面我們來(lái)欣賞用電腦制作的幾幅分形圖畫，不但驚異數(shù)學(xué)的奧妙，也欣賞到數(shù)學(xué)藝術(shù)的美。

1）綺思飛舞

如圖15：不禁想起了李白《清平調(diào)》中的著名詩(shī)句：

“云想衣裳花想容”！

圖15

2）隨風(fēng)飄去

圖16：是一片“隨風(fēng)飄去”的落葉，還是一縷“隨風(fēng)揚(yáng)起”的少女的發(fā)尾？！

圖16

3）想像

圖17：是藝術(shù)的抽象，也是抽象的藝術(shù)。如果您若“置身其中”，您看到的將是什么？您若“置身其外”，又會(huì)作怎樣的理解和怎樣的想像？您對(duì)它怎樣命名、怎樣稱呼都可以！

圖17