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一、什么叫半角模型

定義：

我們習(xí)慣把過等腰三角形頂角的頂點引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。

1、常見的圖形

正方形，正三角形，等腰直角三角形等。

2、解題思路

① 將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形；

② 證明與半角形成的三角形全等；

③ 通過全等的性質(zhì)得出線段之間的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。

二、基本模型

1、正方形內(nèi)含半角

例題1、如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF。

例題1圖

證明：

將 △ADF 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90° ，使點 D 與點 B ，點 F 與點 G 重合 （△ADF ≌ △ABG），如下圖所示：

例題1旋轉(zhuǎn)圖

在 △AGE 和 △AFE 中

∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° ， AE = AE

∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF

∵ GE = GB + BE = DF + BE

∴ EF= BE + DF

2、等邊三角形內(nèi)含半角

例題2、如圖，已知 △ABC 是等邊三角形，點 D 是 △ABC 外一點，DB = DC 且 ∠BDC = 120° ，∠EDF = 60° ，DE ，DF 分別

交 AB ，AC 于點 E , F 。

求證： EF = BE + CF

例題2圖

證明：

將 △BDE 繞點 D 旋轉(zhuǎn)至 △CDG ， 使 △BDE ≌ △CDG

（注：題目中已知條件 DB = DC 且 ∠BDC = 120°，易證 ∠EBD = ∠GCD = 90°，F(xiàn)、C、G 三點共線）

例題2旋轉(zhuǎn)圖

在 △EDF 和 △GDF 中

∵ ED = GD , ∠EDF = ∠GDF = 60° ， DF = DF

∴ △EDF ≌ △GDF ∴ EF = GF

∵ GF = GC + CF = BE + CF

∴ EF = BE + CF

3、等腰直角三角形內(nèi)含半角

例題3、如圖，已知 △ABC 是等腰直角三角形，點 D ,E 在 BC 上，且滿足 ∠DAE = 45° 。

求證 ： DE^2 = BD^2 + CE^2

例題3圖

證明：

證法一、將 △ABD 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到 △ACF ，如下圖所示：

例題3旋轉(zhuǎn)圖

在 △ADE 和 △AFE 中

∵ AD = AF ，∠DAE = ∠FAE = 45° ， AE = AE

∴ △ADE ≌ △AFE ∴ DE = FE

∵ ∠ECF = ∠BCA + ∠ACF = ∠BCA + ∠ABD = 90° , CF = BD

∴ EF^2 = EC^2 + CF^2 = BD^2 + CE^2

證法二、將 △ABD 沿著 AD 翻折到 △ADF ，連接 EF ，如下圖所示：

例題3翻折圖

在 △ABD 和 △AFD 中

∵ AB = AF , ∠BAD = ∠FAD ， AD = AD

∴ △ABD ≌ △AFD （SAS）

同理可證 ： △ACE ≌ △AFE

∴ BD = FD , CE = FE

∵ ∠DFE = ∠DFA + EFA = ∠B + ∠C = 90°

∴ DE^2 =DF^2 + EF^2 = BD^2 + CE^2

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