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初中幾何模型之——半角模型
前面介紹了手拉手模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、十字架模型，今天介紹半角模型。
從一個(gè)角頂點(diǎn)在角的內(nèi)部引出兩條射線，如果這兩條射線組成的新角是原來(lái)角的一半，像這樣的模型我們稱之為半角模型。常見(jiàn)的圖形框架為正方形、等邊三角形、等腰直角三角形。其根本的解題思路都是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形。
一、正方形—半角
【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°
第一個(gè)結(jié)論：EF=DF+BE

也可以這樣：

【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；

【結(jié)論】：∠EAF=45°

第二個(gè)結(jié)論：三角形CEF的周長(zhǎng)=兩倍邊長(zhǎng)=正方形ABCD周長(zhǎng)的一半


第三個(gè)結(jié)論：三角形ABE的面積+三角形ADF的面積=三角形AEF的面積 

第四個(gè)結(jié)論：AH=AD

第五個(gè)結(jié)論：當(dāng)BE=DF時(shí)，三角形CEF的面積最大

第六個(gè)結(jié)論：BM的平方+DN的平方=MN的平方

第七個(gè)結(jié)論：三角形ANE和三角形AMF都是等腰直角三角形

第八個(gè)結(jié)論：存在多組相似

第九個(gè)結(jié)論：EA和FA是三角形CEF的兩條外角平分線

第十個(gè)結(jié)論：四組共圓問(wèn)題

第十一個(gè)結(jié)論：MN和EF的數(shù)量關(guān)系

第十二個(gè)結(jié)論：三角形AEF的面積=三角形AMN的面積×2

變形一

【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°

【結(jié)論】：EF=DF-BE

變形二

【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°

【結(jié)論】：EF=BE-DF

變形三

如圖，將正方形變成一組鄰邊相等，對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=∠BAD，連接EF，則：EF=BE+DF。

二、等邊三角形—半角

【條件】：①等邊三角形ABC；②∠EDF=60°

【結(jié)論】：EF=BE+CF

分析：延長(zhǎng)FC到G，使得CG=BE，聯(lián)結(jié)DG，易證△CDG≌△BDE，再證△DEF≌△DFG，所以EF=FG=BE+CF。

也可以這樣：

【條件】：①等邊三角形ABC；②EF=BE+CF；

【結(jié)論】：∠EDF=60°

三、等腰直角三角形—半角

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