建立模型
如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=1/2∠BAD.求證：EF=BE+DF.
分析：要證明一條線段等于兩條線段的和，我們首先想到的是'截長補短'添加輔助線.如下圖，在線段EF上截取EG=EB.
如果能證明線段GF=DF，則結(jié)論得證.而要證明兩條線段相等，且兩條線段不在同一個三角形中，可以嘗試利用全等.即證明△ABE≌△AGE.通過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)很難證明這兩個三角形全等，所以'截長'無法得到我們想要的結(jié)果.再試一試“補短”，延長CD至點G，使DG=EB.如下圖：
此時若能證明FG=FE，則FE=FG=FD+DG=FD+BE.結(jié)論得證.
而要證明FE=FG，只需證明△AEF≌AGF即可.
證明：延長FD至點G，使DG=BE.易證△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG.
∴∠EAF=1/2∠BAD=∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=∠GAF
又∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF.∴EF=GF=DF+DG=DF+BE
反思：1、本題中的輔助線：延長DG=BE，也可以通過旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)（實際上就是將三角形ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)）.需要指出的是，如果用旋轉(zhuǎn)，需說明C、D、G三點共線（證明∠ADG+∠ADC=180°即可）.
2、題中有三個非常重要的元素：（1）∠EAF=1/2∠BAD（半角模型名稱的由來）；（2）AB=AD. 共端點的兩條線段相等，這點尤為關(guān)鍵，它為下一步的旋轉(zhuǎn)提供了條件.當題中出現(xiàn)一個角等于另一角的一半，且共端點的線段相等時，常采用旋轉(zhuǎn)，將分散的條件集中起來，為下一步的證明做好鋪墊. （3）對角互補.由于對角互補的存在，通過旋轉(zhuǎn)，兩邊的兩個三角形可拼成一個大三角形，進而可證明三角形全等.
一、半角結(jié)構(gòu)之90°與45°
先來看一道題目：
如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，∠EAF=45°.求證：EF=BE+DF.
證明：
證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴AB=AD且∠ABE+∠ADF=180°
將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADG，此時點C、D、G三點共線.
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG. ∵∠EAF=45° ∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠GAF=45°
∴∠EAF=∠GAF. 又∵AF=AF.
∴△EAF≌△GAF.
∴EF=GF=DF+DG=DF+BE.
模型應用1：
如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°.BE=2cm,
DF=3cm.求正方形的邊長.
分析：根據(jù)上題的結(jié)論可知EF=BE+DF=5.
設(shè)正方形的邊長為x，那么CE=x-2，CF=x-3.
在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理得，CE^2+CF^2=EF^2，
即(x-2)^2+(x-3)^2=5^2，解得，x=6.
所以正方形的邊長為6
以上的半角結(jié)構(gòu)主要發(fā)生在四邊形中，再次回顧半角結(jié)構(gòu)中的重要元素：（1）半角 （2）鄰邊相等 （3）對角互補. 半角模型中經(jīng)常通過旋轉(zhuǎn)將分散的條件集中起來，進而通過三角形的全等進行證明.
在三角形中同樣存在半角模型，下面以一道題為例來說明三角形中的半角模型.
如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.點D，E是BC邊上兩點且∠DAE=45°
求證：BD^2+CE^2=DE^2
分析：看到這個結(jié)論，相信大部分同學首先想到的是勾股定理，但DE,BD,CE不在同一個三角形中.所以要想辦法將他們集中在一個三角形里面，根據(jù)題中條件AB=AC，共端點的兩條線段相等，可以嘗試旋轉(zhuǎn).
證明：因為AB=AC，且∠BAC=90°.將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG. 如下圖：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△ABD≌△ACG.
∴AD=AG，∠BAD=∠CAG，∠ABD=∠ACG=45°.
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=∠CAG+∠EAC=45°
∴∠DAE=∠GAE
∴△DAE≌△GAE(SAS)
∴DE=GE
在Rt△GCE中
CE^2+CG^2=GE^2
∵BD=CG，DE=CG
∴BD^2+CE^2=DE^2
反思：對于本題，我們通過旋轉(zhuǎn)將分散的條件集中起來，進而得到結(jié)論。觀察證明過程我們可以發(fā)現(xiàn)△AEG其實也可以看作是將△AED沿AE折疊的結(jié)果.于是我們思考本題能不能通過折疊進行解決呢？
如圖，將△ABD沿AD折疊，使點B落在點F處，連接EF.先證明△ACE≌△AFE，再證明△DFG為直角三角形，勾股定理即可得出結(jié)論.
模型拓展1：
如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC的延長線上，且∠FAE=45°.試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.
分析：根據(jù)前面的證明我們知道，當∠EAF在正方形內(nèi)部時，EF=BE+DF.觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，顯然在本題中線段BE的長度大于線段EF的長度，所以EF=BE+DF不可能成立.是否可能是EF=BE-DF呢？不妨一試.根據(jù)上題積累的經(jīng)驗，特別是題中有AB=AD這一條件，為旋轉(zhuǎn)埋下了伏筆.所以可將△ADF進行旋轉(zhuǎn).如下圖：
證明：因為AB=AD，∠ADE=∠ABG=90°，
將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG.
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠FAG=∠DAB=90°，又因為∠FAE=45°，所以∠GAE=45°..
所以∠FAE=∠GAE. 又AF=AG，AE=AE
所以△FAE≌△GAE
所以EF=EG=BE-BG=BE-DF.
反思：對于結(jié)論探索性問題，一般采用的方法是：觀察、測量、猜想、證明.先通過觀察，對各個量之間的關(guān)系有大致的想法，在通過測量驗證自己的想法，結(jié)合測量猜想結(jié)論，最后通過一步一步有理有據(jù)的推理得出結(jié)論.當然，測量和猜想的先后順序也可以調(diào)換，即先猜想結(jié)論，在通過測量進行驗證，進而證明其正確性.
模型拓展2：
如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動點（不與B，C，D重合），且∠EAF=45°.對角線BD分別和AE、AF交于點M，N.連接NE.
求證：△ANE是等腰直角三角形.
證明：在△AMN和△BME中
∠MAN=∠MBE=45°
∠AMN=∠BME（對頂角相等）
∴△AMN∽△BME
所以AM:BM=MN:ME
又∵∠AMB=∠EMN
∴△ABM∽△NME
∴∠ABM=∠NEM=45°
又∠EAM=45°，所以∠ANE=180°-45°-45°=90°
∴△ANE是等腰直角三角形.
反思：1、解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)題中的蝶形相似.即由△AMN∽△BME推出△ABM∽△NME.（見下圖）
2、連接MF，則△AMF也是等腰直角三角形；
3、題中還能得到哪些結(jié)論？請你試著寫出來，并證明.
二、半角模型之120°與60°
例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.點D、E是BC邊上兩點，且∠DAE=60°.若BD=5，CE=8.求DE的長度.
分析：根據(jù)題中已知，∠DAE=1/2∠BAC，且AB=AC.這是一個典型的角含半角結(jié)構(gòu)，將△ABD逆時針旋轉(zhuǎn)120°可使AB和AC重合，從而將題中分散的條件集中起來.如下圖：
模型應用2：
小結(jié)：半角結(jié)構(gòu)在中考數(shù)學中經(jīng)常出現(xiàn)，熟練掌握對解題大有裨益.其組成元素有：
（1）角含半角
（2）鄰邊相等，為旋轉(zhuǎn)提供條件
（3）對角互補（限于四邊形中).半角結(jié)構(gòu)最常用的解決方法是旋轉(zhuǎn)。
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