數(shù)學教學與心理學
數(shù)學教學的心理概述
數(shù)學是研究客觀世界數(shù)量關系和空間形式的科學，它的概括性、抽象性和邏輯性都很強。
為了提高中小學學生學習數(shù)學的效果，必須深入研究數(shù)學教學中有關的心理學問題，一方面按照心理學的規(guī)律進行數(shù)學教學，一方面通過數(shù)學教學促進他們的心理發(fā)展。
數(shù)學教學的心理發(fā)展過程
學生要掌握數(shù)學的概念、法則和定理，必須通過自己一系列復雜的思維過程，應用所得概念進行符合邏輯的判斷、推理。所以學習數(shù)學要求具有一定的抽象邏輯思維能力，同時，在學習數(shù)學知識的過程中抽象邏輯思維的能力也得到相應的鍛煉和發(fā)展。
中、小學的數(shù)學教材，首先接觸的是常量關系，所以學生最初是通過符合形式邏輯的基本規(guī)律（同一律、矛盾律、排中律和充足理由律）和方法（分析、綜合、演繹、歸納、類比等）的思維過程去掌握概念和進行判斷推理的。以后逐漸更多地涉及變量關系，學習時就必須從事物的發(fā)展、運動、變化，進行全面觀察，通過符合辯證邏輯的思維過程，才能揭露其本質，掌握其關系，同時在這個過程中逐漸提高辯證邏輯思維的能力。
有的數(shù)量關系和空間形式，無法憑借感官直接接觸事物去把握。例如要認識無窮大和無窮小的數(shù)量變化，超過可見范圍的空間延伸與分割，都只能借助于高度的想象，因此，學習數(shù)學也就反過來促進學生想象力的發(fā)展。
觀察、注意、記憶等能力，也是學習數(shù)學所不可缺少的，同時學習數(shù)學也有利于發(fā)展這些能力。此外，學習數(shù)學除了與各種認識能力相互促進外，與心智活動的興趣、克服困難的意志、一絲不茍的嚴肅態(tài)度及良好學習習慣等也都有密切關系。由于數(shù)學同社會主義四個現(xiàn)代化建設的實踐具有密切的聯(lián)系，所以學習數(shù)學對激發(fā)和培養(yǎng)正確學習動機與社會主義愛國主義情感等，也都將起一定作用。
數(shù)學的認知結構
數(shù)學知識是有嚴密組織的知識系統(tǒng)，例如簡單的自然數(shù)列，就是一個依前后順序逐一遞增的數(shù)字的系統(tǒng)。學生學習數(shù)學，在掌握知識的過程中，也就形成相應的認知結構，如關于自然數(shù)列的認知結構。這是數(shù)學學習中的一個中心的心理成分。
數(shù)學認知結構有不同的水平：有的是對同一類數(shù)學知識進行概括，例如學習超十加法時學會湊十；有的則是概括不同種類的數(shù)學知識，例如概括基本運算法則和指數(shù)計數(shù)法而形成關于指數(shù)運算的認知結構。但是，在任何條件下，已有的認知結構都是學習新知識的基礎。即便是學習簡單的“2”的概念，在對其數(shù)量為二的各種不同客體從數(shù)量關系方面進行概括時，也是以已有的關于“1”的概念作為依據(jù)的。
學生在學習數(shù)學時，他們的認知結構表現(xiàn)出兩種功能。一是憑借已有的
數(shù)乘法實際上是多位數(shù)連加和一位數(shù)乘法的結合，學生就是在這些認知結構的基礎上去學會多位數(shù)乘法的。
學生的數(shù)學認知結構是隨著數(shù)學學習而擴大、加深和發(fā)展的。這種過程有兩種相輔相成的方式。在新知識與原有認知結構相一致的情況下，新知識就被納入原有認知結構之內，從而擴大了它的內含，這種過程叫做同化。前面所說的多位數(shù)乘法的學習，就是同化過程的一個例子。當新知識同原有的認知結構不一致時，就要對原有的認知結構進行部分的改組，以適應新的學習的需要。這個過程叫做調整。例如，在學生開始學習分數(shù)時，就不能簡單地依靠已有的認知結構，而要學會把量度單位劃分為小于1的單位，并學會通分而后加減。教師在教學中，需要采取適當?shù)拇胧脤W生已有的數(shù)學認知結構，并促進它的發(fā)展。
自然數(shù)概念
學習數(shù)學首先從自然數(shù)開始。自然數(shù)概念結構中，包括很多最基本的數(shù)學概念，特別是基數(shù)、序數(shù)、數(shù)的組成，而且涉及十進位記數(shù)法和自然數(shù)加、減、乘、除等。所以要確定是否已掌握自然數(shù)概念，往往以這些方面作為衡量指標。
心理學研究表明，兒童掌握數(shù)，最初是從模仿計數(shù)的活動開始的。先是像順口溜似地唱數(shù)，這時唱出的數(shù)并不代表實際數(shù)量，這從他們點數(shù)實物時口和手不一致就可證明。只有在點數(shù)中能口手一致，且以數(shù)到的最后數(shù)詞表示已數(shù)過的實物總數(shù)，才算是從實際數(shù)量相同的事物中，抽象概括出它們在數(shù)量上的共同特性。10以內原始的基數(shù)概念通常就是這樣掌握的。
計數(shù)活動不僅掌握基數(shù)，同時也掌握序數(shù)。點數(shù)實物使實際數(shù)量的多少與其前后次第的關系結合在一起。最初是分清相鄰數(shù)的先后；后來才逐漸掌握標志次第的序數(shù)（第幾）。因為序數(shù)不但涉及數(shù)而且涉及序，只有概括出一個數(shù)在群中所處的共同相應位置時才能掌握它。因此，不能簡單地說先掌握序數(shù)或先掌握基數(shù)。這兩種數(shù)概念的掌握是互相制約又彼此促進的。
兒童雖然在日常生活游戲中和在成人幫助下，通過把弄物體和模仿計數(shù)的過程，初步形成基數(shù)與序數(shù)的原始概念，但它具有很大具體性，不易與實物或操縱實物的動作分離開。只有經過正確教學，原始基數(shù)、序數(shù)概念的抽象水平才會逐漸提高，并在此基礎上，使自然數(shù)概念進一步擴大發(fā)展。其所發(fā)生的本質變化如下：
首先，數(shù)詞及數(shù)字的記數(shù)法，使原始的數(shù)概念擺脫實物和操縱實物的動作，逐漸獲得更高度的概括性和抽象性。例如，10以內的每個數(shù)詞、數(shù)字各代表一群實物的實際數(shù)目以及它本身在序列中所占有的確定位置。由于在教學中利用有組織的物、圖排列和“框圖”形式滲透集合和對應思想，這就更有利于使“數(shù)”成為整體的數(shù)群概念及數(shù)序概念，從而提高這兩個概念的水平。這些又都為數(shù)的組成、分解造成有利的條件，這時，數(shù)的序列成為分析數(shù)群的手段，加上引進的子集、并集思想，基數(shù)群就成為可分可合，不但獲得每個數(shù)的確定概念，而且獲得了數(shù)的構成概念。再加上數(shù)的序列變化，隱含進函數(shù)的思想，這樣，數(shù)的概念又進一步提高了。
其次，新的計數(shù)單位“十”的掌握，形成十進位概念，這時數(shù)概念的發(fā)展起了根本性變化。十以內的數(shù)是以“個”為計數(shù)單位，現(xiàn)在加上了以“十”為新的計數(shù)單位，引進數(shù)位概念與滿十進一的十進制概念，這就為數(shù)概念的發(fā)展創(chuàng)造了條件，從這時起，每一個數(shù)字其意義都超出了它對于具體數(shù)量的直接關系的范圍。同一個數(shù)字當它處在不同數(shù)位時，就獲得不同數(shù)量意義。因此，十個數(shù)字就可以以不同的配合表示任何十進制的數(shù)了。例如 12與 21是用同樣兩個數(shù)字組合而成的，由于數(shù)位不同，1和2在這兩個數(shù)中其意義是不同的。從此，數(shù)的概念的廣度大大擴展了。每個數(shù)字通過十進的關系聯(lián)成一氣，構成整個自然數(shù)列的概念結構。
十進位概念也促使運算的方法與程序完善化。
最后，十進位的加、減、乘、除概念的形成，又反過來促進對數(shù)量關系理解的水平，進一步發(fā)展了自然數(shù)系的概念結構。
以上三方面對自然數(shù)概念發(fā)展的促進作用，互相交織在一起，在學生思維過程中建立起完整的關于自然數(shù)的認知結構。
必須指出，自然數(shù)概念的認知結構中，除上述各有關概念外，還包括諸如“一共”、“還?！薄ⅰ岸鄮住?、“少幾”、“平均”、“倍數(shù)”等等數(shù)學用語的概念在內。
代數(shù)概念
代數(shù)概念的概括性程度比算術更高，它以更一般的形式表達數(shù)量關系，因而通過它也就能更深刻地理解數(shù)量關系。
從算術概念發(fā)展到代數(shù)概念，是數(shù)的概念一次重要擴展，它需要更加高度發(fā)展的抽象思維能力。如果（不宜說適當）采取符合心理發(fā)展規(guī)律的措施，促進抽象思維加速發(fā)展，同時又正確動用算術概念，克服其負遷移影響，就可以使學生從算術概念較順利地過渡到代數(shù)概念。早在60年代初期，我國就有人在教改中，在小學五年級兒童中試教代數(shù)基本概念，試驗初步證明11～12歲學生的抽象思維發(fā)展水平，已有可能掌握代數(shù)的一些基本概念。繼后的教改實踐，也證明在小學算術教學中早期滲透、孕育代數(shù)思想，可以有利于從算術概念過渡到代數(shù)概念。國外還有人用拼積木的方式教8歲兒童學會二次方程課題。所有這些都說明可以設法加速從算術概念到代數(shù)概念的過渡，關鍵在于要掌握這一過渡中的心理特點。
1.形成負數(shù)概念問題
正確理解正、負數(shù)概念是掌握有理數(shù)知識的核心。學生初學代數(shù)時，對數(shù)的性質符號與加、減運算符號分化不開。所以在排列正負數(shù)的大小時，就
值大小排列，數(shù)字的意義抑制了性質符號的意義，后者被看做是表示運算的符號，與數(shù)的大小無關。
不能確切掌握負數(shù)概念還表現(xiàn)在不會用負數(shù)概念來表示客觀事物的本質特征。例如在一個學習有理數(shù)的實驗中，有的13～14歲學生把“水位下降了3厘米”的現(xiàn)象，表示成“下降-3厘米”，把“河床比地面低20米”表示成“比地面低-20厘米”。
結合運算能有助于分化出負數(shù)概念所表示的含義，從而有助于正確掌握它。教學經驗表明，在計算入庫的米時，先規(guī)定每包以100斤為標準，凡超過100斤所多的斤數(shù)用“+”表示，不足100斤所少的斤數(shù)用“-”表示，然后運算結果。這樣做，學生能較順利的完成課題，并能較順利地初步理解正負數(shù)意義。研究也證明：用數(shù)軸為工具教學生理解正、負數(shù)在數(shù)軸上的分布以進行對比是有益的，如讓學生計算兩線段之差，從算術中習慣的大數(shù)減小數(shù)開始逐漸過渡到新條件下的運算，包括小數(shù)減大數(shù)的運算，學生就能較順利地形成關于-1和其他負數(shù)概念。學生將這種新的運算所得結論與算術運算中形成的概括進行比較，發(fā)現(xiàn)兩相抵觸，從而認識必須修改以前的概括，用較大范圍的概括代替它。將正負數(shù)在數(shù)軸上分布的概念與生活的及科學的內容的概括相聯(lián)系，可以促進對負數(shù)具體內容的理解。
2.用字母符號代替具體數(shù)字以擴大數(shù)概念
用字母代替數(shù)字是學習代數(shù)的又一關鍵性問題。初學代數(shù)的學生，有的對運算的結果仍是一個符號或代數(shù)式感到不能理解。說“這等于沒有算。到底是多少，還是不曉得?！边@顯然是受算術概念負遷移的影響，學生受算術的具體數(shù)字概念的束縛，提不高概括水平，不理解字母符號可以代替任何數(shù)。
數(shù)、式、形結合的教改實驗，采取早期引進字母的辦法孕育代數(shù)思想，這對形成以字母代數(shù)字的“心向”有一定作用。以×代替（ ）表示未知數(shù)，即使在小學一年級也沒有困難。用a，b表示已如數(shù)像圖1一樣講長方形周長，兒童也能接受。盡管這些并未達到真正以字母符號代替任何數(shù)的水平，但以后遇到字母符號就不感到突然和陌生。
在此基礎上，為培養(yǎng)學生真正領會代數(shù)概念的意義及其優(yōu)越性，應該一方面利用舊的數(shù)概念和知識，另一方面又引導學生擴大舊概念以理解新的數(shù)概念（以字母符號代表更抽象的數(shù)概念）。例如，教學實驗研究表明，學習S= Vt的公式，必須有“距離=速度×時間”的算術知識基礎。而使學生真正領會S=Vt公式中的字母符號可以表示任何一個數(shù)，應當按一定的步驟引導，使學生逐漸擺脫具體數(shù)字的局限，積極地去擴大概念范圍，最終過渡到掌握用字母符號代表數(shù)概念。
幾何概念
要掌握幾何概念既需有一定發(fā)展水平的空間想象力，又需有概括抽象的思考力。
1.日常用語含義對掌握幾何概念的影響
幾何學中有許多標志基本概念的詞和日常概念的用語相同。當兩者含義完全一致時，則日常概念有利于幾何概念的掌握；在含義根本不同或不完全一致時，就會造成障礙。
在兩者含義根本不同的情況下，學生很難理解幾何概念。例如，對“點”、“線”、“面”等幾何概念的掌握，必須擺脫具體實物，想象其所占有的空間形式，并把其圖形理解為抽象概括的“符號”。
在日常用語的意義與幾何概念有部分相似，但又不一致或很不一致時，也容易產生“日常用語的意義限制幾何概念的范圍”的消極影響。例如“垂”這個詞在生活中是指方向向下，而“垂線”的幾何概念的基本質特征則是兩條直線相交成直角，只有從上方一點向位于下方的水平線引垂線時，才與日常用語相合，其他情況下則不一致。所以對于“從直線外任意一點向該直線引垂線”這個課題，學生往往難于理解。這就是因為日常用語的含義限制了對幾何概念的理解。當然在此種情況下，可以從一致之點入手，但必須緊接著揭示兩者不同之處，而且揭示兩者的不同是更重要的。
2.幾何圖形的感知與理解
幾何圖形的感知與理解對幾何概念的形成關系極為密切。這表現(xiàn)在，既要利用感知因素促成對空間形式的概括，又要克服感知因素的消極影響，以達到對圖形本質的理解，這是形成正確幾何概念的關鍵之一。有的研究認為，適當采用變式圖形可以使學生較正確掌握幾何概念，且在擴充和應用它時比較順利；而只局限于使用標準圖形時，學生受感知因素的消極影響就大，對圖形理解就呆板，在擴展和應用所形成的概念時也較困難，甚至不能形成正確的幾何概念。教學中由于使用圖形的方式不同，對掌握幾何概念產生的影響如下：
（1）標準圖形容易導致學生把圖形的本質特征和所顯示圖形的個別特征聯(lián)系起來。例如，在講授等腰三角形時使用標準圖形時如圖2，雖然教師也指出：“一個三角形只要有兩條邊相等就叫等腰三角形?！钡鞘潞蠼袑W生判斷圖乙是什么三角形（已指出AB=AC），學生卻認為它不是等腰三角形，問他AB不是等于AC嗎？但是他說：“雖然AB=AC，但AB和AC不是在兩旁呀?！憋@然他把“兩邊相等”這一本質特征和標準圖形顯示時相等兩邊“在兩側”這一個別特征聯(lián)系起來，并當作本質特征。如果采用變式并和集合思想結合起來（如圖3所示），就有助于學生分清其本質特征（有兩條邊相等）與非本質特征（位置、形狀、大?。?，從而正確地掌握它。
（2）采用變式對概念的正確擴展及應用可產生有利的影響。幾何概念的擴展，特點是沿著對稱和整齊的方向、位置展開。例如直徑概念的擴展是從1條到2條互相垂直的線，再從2條到4條且與前兩條各成45°角……如此直至無數(shù)條。采用變式圖形教的，形成的概念范圍廣，此種擴展就順利，采用標準圖形教的則較難。
應用幾何概念時，學生必須按概念的本質特征找出圖形。用變式圖形教的，學生所形成的概念范圍廣，找到符合本質特征的圖形容易。用標準圖形教的則反之。例如，后一種情況下的學生，在敘述什么是直角三角形時，知道其本質特征是“有一個角為直角”，可是在證明“從角的平分線上任意取一點，則這點跟角的兩邊距離相等”時（參看圖3），雖然很容易在三角形 BFK中找到直角，卻不易發(fā)現(xiàn)三角形BFN中的直角。學生掌握的直角三角形概念只限于直角在下方的，這顯然是受標準圖形教學的影響。采取變式圖形教的學生中，則很少發(fā)生此類現(xiàn)象。
（3）圖形的感知往往要受其中強、弱成分的影響，這是知覺過程中的普遍規(guī)律。采取變式圖形就可以克服它，而采用標準圖形則不能。在圖形中強、弱成分差別顯著的情況下，標準圖形更會造成學生按強成分辨認圖形，而忽略其中弱成分的作用。如果遇到的弱成分正是更重要的本質特征時，則發(fā)生辨認困難或錯誤。例如用標準圖形教過圓概念后，有的學生在口述圓的本質特征時，能指出“圓上各點與圓心等距”是圓的本質特征之一，但當辨別三個圖形（圓、橢圓和不規(guī)則封閉曲線；中心線部分均劃一中心點）的異同時，卻只能說“都是封閉曲線，都有中心點”這一強成分，而不能指出“封閉曲線上的點是否與中心點等距”這一弱成分。采用變式圖形教的學生，由于突出了“與中心等距”這一隱蔽的弱成分，在辨認上述三圖異同時，就能克服強成分的影響，揭露出重要的弱成分的區(qū)別。
3.直接揭露概念本質特征及圖形變式
直接揭露概念的本質特征，即是由教師直接向學生指出某概念的本質特征是什么，然后教學生在解決問題的過程中運用這些特征。有的研究表明，在初學幾何基本概念時，采用直接揭露概念本質特征可提高學生用詞敘述概念的精確性和掌握概念的鞏固程度，且有利于精確分化“概念的圖形”與“非概念的圖形”以及對問題的正確解決。
可是直接揭露概念的本質特征，也不是在任何場合都起積極作用，過多運用這種方法會形成學生思維的刻板性。因為老是按教師分出的概念基本特征去尋找圖形或解決問題，可能妨礙學生發(fā)展自己的分析和概括能力。
我國某些研究證明，采用“直接揭露概念本質特征”與“變式圖形”相結合，或交替使用，在各方面均有利于幾何概念的掌握，特別是比較復雜的幾何概念或某些已經在幾何概念或某些已經在幾何中擴大化了的前科學概念，其效果均高于單獨采用一種方法。因為結合使用或交替使用，可以有利于克服和減少各自的消極作用，并同時發(fā)揮兩者特有的積極效果。另一方面還證明，兼用或交替使用兩種方法，可以提高學生“用詞敘述概念”、“對圖形作判斷”及“解決幾何課題”三方面的一致性。
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