對(duì)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”的探索與思考
“學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出的基本理念之一，在今后相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，將指導(dǎo)著中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐。因此，如何正確理解“學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，對(duì)于改善中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有重要意義。
一、什么樣的數(shù)學(xué)是有價(jià)值的呢？
這是一個(gè)傳統(tǒng)的教學(xué)材料：某水池有一進(jìn)水管，單獨(dú)放水需12小時(shí)把空水池放滿，有一出水管，單獨(dú)放水需20小時(shí)放完一池水。問(wèn)同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管，幾小時(shí)可以把水放滿？
記憶中在討論《課標(biāo)》討論稿時(shí)，許多專家、教師認(rèn)為：像這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，可以認(rèn)為是沒(méi)有價(jià)值的。因?yàn)檫@一問(wèn)題情境在現(xiàn)實(shí)生活中是很少存在的，一般情況下是不會(huì)采用同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管來(lái)把水池放滿的。
在現(xiàn)實(shí)生活中，是否真的沒(méi)有進(jìn)水管與出水管同時(shí)打開(kāi)的情境呢？筆者十分贊同在2002年7-8期上發(fā)表“怎樣理解‘有價(jià)值的數(shù)學(xué)’”一文的
A． 排隊(duì)候場(chǎng)。不斷來(lái)排隊(duì)的人和不斷進(jìn)場(chǎng)的人，來(lái)排隊(duì)的人多于進(jìn)場(chǎng)的人，就會(huì)有等候的人。
B． 草場(chǎng)。不斷生長(zhǎng)的草和不斷被吃掉的草。
C． 人體的新陳代謝。不斷的補(bǔ)充和不斷的消耗。
D． 社會(huì)人口的增減。不斷出生的人和不斷死亡的人，出生的人多于死亡的人時(shí)，人口就增加；反之則減少。……
從學(xué)生們的回答中可以發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生的理解里，進(jìn)、出水管同時(shí)打開(kāi)是表示有進(jìn)有出的一種動(dòng)態(tài)平衡。這種對(duì)動(dòng)態(tài)平衡意識(shí)的感情，是一種多么有價(jià)值的數(shù)學(xué)體驗(yàn)！
看來(lái)，我們必須認(rèn)識(shí)到在理解“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”時(shí)，應(yīng)該避免表面的膚淺理解，避免實(shí)用主義。
（一）有價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)具備的幾個(gè)特性：
《標(biāo)準(zhǔn)》指出：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”這一提法反映了義務(wù)教育階段面向全體學(xué)生，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性的基本精神，代表著一種新的數(shù)學(xué)課程理念和實(shí)踐體系。從中也體現(xiàn)為有價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)具備的三大基本特征：基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。筆者認(rèn)為從更廣泛的意義上來(lái)說(shuō)，有價(jià)值的數(shù)學(xué)具體還表現(xiàn)為具備下列特性：
1、趣味性
長(zhǎng)期以來(lái)，我國(guó)基礎(chǔ)教育是學(xué)科課程一統(tǒng)天下，教師中心、書本中心、知識(shí)中心仍占有相當(dāng)顯著的位置，無(wú)論是小學(xué)還是中學(xué)，也無(wú)論是文科課程還是理科課程，在學(xué)習(xí)的方式上幾乎都是以接受教師講授為主的。教師所要做的是如何準(zhǔn)確地說(shuō)明解釋以使學(xué)生理解的明明白白，學(xué)生的最佳狀態(tài)則是跟著教師的思路走，并把老師講的記下來(lái)。教師常用的教學(xué)方式是例題、示范、講解，學(xué)生習(xí)慣的學(xué)習(xí)方式是聽(tīng)講、記憶、練習(xí)。尤其在數(shù)學(xué)課中，人們相當(dāng)重視知識(shí)的邏輯性、系統(tǒng)性，為了嚴(yán)密、完整，不產(chǎn)生歧義，常常用大量的文字表述某個(gè)概念。結(jié)果，數(shù)學(xué)是枯燥的、抽象的、難學(xué)的，成為學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的普遍認(rèn)識(shí)。
而興趣是學(xué)生最好的老師，從這個(gè)意義上分析，“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”首先應(yīng)是能吸引和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的數(shù)學(xué)，即具有趣味性。
新數(shù)學(xué)課程在教材編排上版式活潑、圖文并茂，內(nèi)容上順理成章、深入淺出，將枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)演變得生動(dòng)、有趣、有較強(qiáng)的可接受性、直觀性和啟發(fā)性，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有極大的幫助。這就需要我們教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生親身去感受數(shù)學(xué)，萌發(fā)一種教學(xué)真有趣，我就要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理。
如：學(xué)習(xí)“百分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，可問(wèn)學(xué)生：“大家經(jīng)常喝牛奶，可牛奶盒上寫著‘脂肪3.3%，蛋白質(zhì)2.9%……，這些3.3%、2.9%表示什么意思。”又如：學(xué)完“10內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識(shí)”后，我讓學(xué)生用第幾排第幾個(gè)來(lái)描述自己坐的位置；讓他們說(shuō)一說(shuō)家里的電話號(hào)碼是由哪幾個(gè)數(shù)學(xué)組成的；讓他們記錄一星期的氣溫……。學(xué)生完成題目時(shí)，興致特別高，爭(zhēng)先恐后地交流。他們?cè)诮涣髦畜w驗(yàn)到了數(shù)學(xué)就在身邊，感受到了數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。從對(duì)自己的座位表述中，他們區(qū)別了第幾排和第幾個(gè)；通過(guò)交流家里的電話號(hào)碼，知道了由于數(shù)的排列順序不同，構(gòu)成的電話號(hào)碼也不同，解決了生活中的實(shí)際問(wèn)題，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)的奧秘，從中也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值所在。
2、生活性
數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是刻板的知識(shí)的傳授，而應(yīng)該遵循源于生活、富于生活、用于生活的理念。實(shí)踐表明，越貼近學(xué)生生活的，學(xué)生熟悉的內(nèi)容在情感上越容易引起學(xué)生的同鳴。所以，應(yīng)從熟悉的生活情境和感興趣的事物出發(fā)，使他們體會(huì)到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生親切感。
因此有價(jià)值的數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)內(nèi)容上應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有趣的，富有挑戰(zhàn)性的。
例如：在“除數(shù)是小數(shù)的除法”的教學(xué)中，教師可緊密聯(lián)系學(xué)生“購(gòu)物”的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)出“一個(gè)橡皮擦0.3元，一本練習(xí)本0.45元，一付三角板0.54元，一支彩色筆0.9元，一支自動(dòng)鉛筆1.35元，如果你有2.7元，要買其中一種物品，算一算能買多少”的情境，引導(dǎo)學(xué)生思考：在日常生活中你是怎樣算的？于是學(xué)生聯(lián)系自己的生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)，很快探索出了“除數(shù)是小數(shù)的除法”的計(jì)算方法，使他們?cè)讷@取數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，也得到了積極的情感體驗(yàn)。
3、個(gè)性性
“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”在解題策略、方法上更多的體現(xiàn)出個(gè)性性。
例1：在下面的橫線上填數(shù)，便這列數(shù)具有某種規(guī)律，并說(shuō)明有怎樣的規(guī)律。
3，5，7，___，___，___。
我們（教師）首先應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，從不同的角度去探究可能隱含的規(guī)律，并在全班進(jìn)行交流。在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，只要學(xué)生給出一個(gè)答案，并能作出合理的解釋，就可以給予肯定。下面是學(xué)生可能給出的一些答案：
（1）在橫線上依次填入9，11，13，形成奇數(shù)列。
（2）在橫線上依次填入11，17，27，使這列數(shù)從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和減1。
（3）在橫線上依次填入27，181，4879，使這列數(shù)從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的積減8。
這樣的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地思考，合作交流的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生尋求數(shù)的規(guī)律的能力，突出其個(gè)性性，這種比單純地做幾道計(jì)算題更具有挑戰(zhàn)性，也更有價(jià)值。
從數(shù)學(xué)習(xí)題的分類來(lái)看，上例無(wú)疑可以說(shuō)是一道數(shù)學(xué)開(kāi)放題，相比較常規(guī)封閉題而言，雖然數(shù)學(xué)開(kāi)放題在整個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題中所占的比例遠(yuǎn)低于封閉題，但其訓(xùn)練學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)開(kāi)放題具有其獨(dú)到的作用，也就是說(shuō)從某一角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)開(kāi)放題比封閉題更有價(jià)值。例如下面所舉的例2與例2'對(duì)比題，其訓(xùn)練價(jià)值無(wú)疑是后者（開(kāi)放題）更高一些。
例2：將一個(gè)正方形分割為四個(gè)面積相等的小正方形。（封閉題）
例2'：將一個(gè)正方形分割為四個(gè)面積相等的圖形。（開(kāi)放題）
4、文化性
《課標(biāo)》指出：“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。”從這一層面來(lái)講，文化性也是有價(jià)值數(shù)學(xué)的重要特性。
當(dāng)今世界，數(shù)學(xué)已變得越來(lái)越重要。“數(shù)學(xué)文化”的內(nèi)涵越來(lái)越豐富，數(shù)學(xué)與人類的關(guān)系越來(lái)越密切。但是，正是人們?cè)絹?lái)越需要數(shù)學(xué)的時(shí)代，數(shù)學(xué)卻越來(lái)越難被人們理解、接受，審視我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教育由“開(kāi)放”走向“封閉”，是十分可悲的現(xiàn)象；把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生的生活、社會(huì)的發(fā)展割裂開(kāi)來(lái)，更是嚴(yán)重的錯(cuò)誤；讓學(xué)生學(xué)習(xí)毫無(wú)“應(yīng)用”之言的“數(shù)學(xué)”，對(duì)學(xué)生的發(fā)展沒(méi)有任何價(jià)值。
我們知道，“數(shù)學(xué)文化”的形成，是人類在生活和生產(chǎn)過(guò)程中，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次“經(jīng)歷”和“體驗(yàn)”，逐步抽象、概括形成的一種有自身特色的“文化”，但是，在我國(guó)數(shù)學(xué)教育漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，又出現(xiàn)了一個(gè)嚴(yán)重的問(wèn)題，即把數(shù)學(xué)與人們的生活和社會(huì)發(fā)展現(xiàn)實(shí)隔離開(kāi)來(lái)，把學(xué)生封閉在狹窄的課堂里，去研究一些“純數(shù)學(xué)”問(wèn)題，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)嚴(yán)重地與他們的生活實(shí)際、社會(huì)發(fā)展實(shí)際脫節(jié)，不僅感受不到“數(shù)學(xué)文化”的魅力，體驗(yàn)不到數(shù)學(xué)的價(jià)值，而且使他們從心理上感到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥、乏味，甚至厭倦數(shù)學(xué)，這難道不是一種可悲的現(xiàn)象嗎？數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)研究表明：學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，并不是獨(dú)立于社會(huì)環(huán)境的一個(gè)體系。學(xué)生認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，往往不是規(guī)定中的邏輯公理，而是學(xué)生生活中的一些實(shí)際事例。鑒于此，現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育呼喚回歸生活，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)科學(xué)世界與生活世界的統(tǒng)一，科學(xué)精神與人文精神的整合。從某種意義上講，讓數(shù)學(xué)回歸生活，讓學(xué)生從生活中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，已成為時(shí)代的一種呼聲。
“數(shù)學(xué)文化”的一個(gè)顯著特點(diǎn)，就是它源于生活，又廣泛應(yīng)用于生活。因此，國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要趨勢(shì)，就是提倡學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程的應(yīng)用性和實(shí)踐性。目前，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)正逐步為廣大數(shù)學(xué)教師所接受，在數(shù)學(xué)界得到普遍的認(rèn)同。現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：學(xué)校數(shù)學(xué)教育具有現(xiàn)實(shí)的性質(zhì)（數(shù)學(xué)來(lái)自于現(xiàn)實(shí)生活，再運(yùn)用到現(xiàn)實(shí)生活中去）；學(xué)生應(yīng)該用現(xiàn)實(shí)的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)（通過(guò)熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，自己逐步發(fā)現(xiàn)和得出數(shù)學(xué)結(jié)論）；基于此，“人人學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”，“人人都獲得必要的數(shù)學(xué)”，“讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”就成了時(shí)代的又一種呼聲。
我們知道，“文化的核習(xí)是價(jià)值觀的問(wèn)題”。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)借助數(shù)學(xué)科學(xué)的文化價(jià)值，把蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中的價(jià)值觀念、審美情趣、思想方法和行為規(guī)范加以挖掘和提升，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，通過(guò)“再現(xiàn)、重演數(shù)學(xué)知識(shí)中隱含著的原始實(shí)踐和認(rèn)識(shí)活動(dòng)（包括認(rèn)知活動(dòng)和情感體驗(yàn)活動(dòng)等）”，從而接受“數(shù)學(xué)文化”的熏陶，使學(xué)生在獲得一個(gè)公民必需的基本數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的同時(shí)，在情感、態(tài)度、價(jià)值觀等方面也得到較好的發(fā)展。例如：在“0的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)一個(gè)小朋友“放飛小鳥”的情境，讓學(xué)生不僅感受到“一只小鳥也沒(méi)有用‘0’來(lái)表示”，同時(shí)也受到保護(hù)野生動(dòng)物的教育。例如：在“分類”的教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境：媽媽從超市買回一些食品（有熟食、水果、飲料……），請(qǐng)你幫媽媽分一分，并放在相應(yīng)的地方。于是學(xué)生要先調(diào)查，看看自己家冰箱里面放什么物品？食品柜里放什么物品……然后再嘗試分一分，提出自己解決問(wèn)題的方案。這樣，學(xué)生不僅學(xué)習(xí)了“分類”知識(shí)，而且達(dá)到了了解生活、學(xué)會(huì)生活的目的。
5、后繼性
有價(jià)值的數(shù)學(xué)從教材體系上更加突出體現(xiàn)為對(duì)后繼學(xué)習(xí)有用性（有價(jià)值）上，即具有后繼性的特性。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中關(guān)于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的改革方向是強(qiáng)化口算，淡化筆算。以“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”為例，
筆者認(rèn)為，在“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”訓(xùn)練題中，我們可以把它分成兩類：一類是對(duì)后繼學(xué)習(xí)有用的題，例如：“64+7=？”……另一類是對(duì)后繼學(xué)習(xí)用處不大的題，例如：“65+7=？”……對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，在兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法訓(xùn)練中，盡可能地選擇“后繼學(xué)習(xí)有用題”，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)無(wú)疑是大有益處的，可以說(shuō)，這就是讓學(xué)生學(xué)習(xí)“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”。
后繼學(xué)習(xí)有用題。例：64+7=？因?yàn)樵谝院蟮膶W(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生遇到用乘法計(jì)算“89×8=？”時(shí)，采用筆算或口算過(guò)程中會(huì)遇到64+7=？的問(wèn)題。所以，這樣的“兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法題”是對(duì)學(xué)生后面學(xué)習(xí)有幫助的，我稱之為“后繼學(xué)習(xí)有用題”。
后繼學(xué)習(xí)用處不大題。例：65+7=？因?yàn)?span lang="EN-US">65不屬于乘法口訣中的一個(gè)積，所以在以后的乘法計(jì)算中，不可能遇到類似上面的情況，這樣的題對(duì)學(xué)生后面學(xué)習(xí)影響不大或沒(méi)有，我稱之為“后繼學(xué)習(xí)用處不大題”。
從上面這兩類題目來(lái)看，我們是否可以在訓(xùn)練學(xué)生“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”中，對(duì)題目應(yīng)有所側(cè)重呢？答案是肯定的。
據(jù)筆者調(diào)查目前不同版本教材有關(guān)“兩位數(shù)加一位數(shù)進(jìn)位加法”訓(xùn)練題編排情況如下：
版本
總題數(shù)
乘法中有價(jià)值的題數(shù)
所占百分比
人教版：83 9 10.8%
浙教版：111 19 16.8%
北師大版：167 31 18.9%
江蘇版：115 22 18.8%
現(xiàn)代版：111 61 54.9%
從上表中可以看出大多數(shù)版本的教材，還未考慮到這個(gè)重要因素，有價(jià)值的題數(shù)所占百分比不是很高。今后的教材內(nèi)容改革中（包括執(zhí)行《課程標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)驗(yàn)教材）是否也應(yīng)認(rèn)真考慮這個(gè)因素，就像如今教材中“開(kāi)放題”與“封閉題”的關(guān)系一樣，相互補(bǔ)充，取長(zhǎng)補(bǔ)短。
據(jù)筆者研究統(tǒng)計(jì)，全部“后繼學(xué)習(xí)有用題”一共才60道。
14+6 18+7 28+2 36+7 48+6 54+8 16+4 18+8 28+3 36+8 48+7 56+4
16+5 24+6 28+4 45+5 49+1 56+5 16+6 24+7 28+5 45+6 49+2 56+6
16+7 27+3 28+6 45+7 49+3 56+7 18+2 27+4 35+5 45+8 49+4 63+7
18+3 27+5 35+6 48+2 49+5 63+8 18+4 27+6 36+4 48+3 49+6 64+6
18+5 27+7 36+5 48+4 54+6 64+7 18+6 27+8 36+6 48+5 54+7 72+8
為什么說(shuō)只有60道“后繼學(xué)習(xí)有用題”？如果說(shuō)x+y是“后繼學(xué)習(xí)有用題”，則它應(yīng)該滿足以下幾個(gè)條件：（1）x是兩位數(shù)，且應(yīng)為乘法口訣中的積（乘法口訣表中重復(fù)兩位數(shù)的積只能算一個(gè)）。在90個(gè)這樣的兩位數(shù)中有27個(gè)是對(duì)后繼學(xué)習(xí)有用的兩位數(shù)。（2）假設(shè)x=a×b，那么y要小于a，b中較大的一個(gè)因數(shù)。例：x=56=7×8，則y只能取4、5、6、7。（3）兩位數(shù)加一位數(shù)的加法“x+y”要滿足進(jìn)位，那么結(jié)合第2個(gè)條件，在27個(gè)有用的兩位數(shù)中還應(yīng)排除：11個(gè)兩位數(shù)，27-11=16（個(gè)）。例：x=10=2×5，則y能取1、2、3、4，但x+y屬于不進(jìn)位的情況。因此，綜上分析，就決定了兩位數(shù)加一位數(shù)的加法：x+y=？屬于對(duì)后繼學(xué)習(xí)有用的進(jìn)位題一共有60道。（見(jiàn)上表）
（二）有價(jià)值數(shù)學(xué)的概念定位
“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)”是指作為教育內(nèi)容的數(shù)學(xué)，應(yīng)滿足學(xué)生未來(lái)社會(huì)生活的需要，能適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的要求，并有益于啟迪思維、開(kāi)發(fā)智力。“有價(jià)值”的數(shù)學(xué)應(yīng)該與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活和以往的知識(shí)體驗(yàn)有密切的關(guān)系，是對(duì)他們有吸引力、能使他們產(chǎn)生興趣的內(nèi)容。“有價(jià)值”的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)適合學(xué)生在有限的學(xué)習(xí)時(shí)間里接觸、了解和掌握。那些對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有如“天外來(lái)客”般難以琢磨的內(nèi)容，那些必須通過(guò)高強(qiáng)度訓(xùn)練才有可能被學(xué)生接受的內(nèi)容，就沒(méi)有人人都要學(xué)的必要。
就內(nèi)容來(lái)說(shuō)，“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”應(yīng)包括基本的數(shù)的概念與運(yùn)算，空間與圖形的初步知識(shí)，與信息處理、數(shù)據(jù)處理有關(guān)的統(tǒng)計(jì)與概率初步知識(shí)等等，還包括在理解與掌握這些內(nèi)容的過(guò)程中形成和發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)觀念與能力，如數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、推理能力和應(yīng)用意識(shí)等等。
在更廣泛的意義上，“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”是滿足素質(zhì)教育要求的數(shù)學(xué)，它應(yīng)當(dāng)有助于學(xué)生健全人格的發(fā)展和積極向上價(jià)值觀的形成，有助于學(xué)生自信心、責(zé)任感、合作意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)、求實(shí)態(tài)度和科學(xué)精神的培養(yǎng)。“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”不僅是對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，而且是對(duì)學(xué)生從事任何事業(yè)都有用的數(shù)學(xué)。特別值得一提的是，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)應(yīng)當(dāng)極大地豐富學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)生會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)而感受生活的豐富多彩，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在魅力。
二、由學(xué)習(xí)有價(jià)值的數(shù)學(xué)引發(fā)的幾點(diǎn)做法
《課標(biāo)》在安排學(xué)習(xí)內(nèi)容中安排了“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”和“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域。
（一）數(shù)與代數(shù)
做法1、力求避免單純的為計(jì)算而計(jì)算，設(shè)計(jì)結(jié)合具體情境的計(jì)算問(wèn)題。
例1：據(jù)有關(guān)科學(xué)研究一個(gè)人的身高75%取決于遺傳因素，25%取決于環(huán)境因素，曾經(jīng)有過(guò)許多預(yù)測(cè)公式，對(duì)兒童對(duì)他成長(zhǎng)后的身高進(jìn)行估測(cè)。
公式1：h＝（h父＋h母）÷2（兒子和女兒都一樣）
公式2：h兒＝（h父＋h母）÷2×1.08
h女＝(h父×0.923＋h母) ÷2
提供上述信息，讓學(xué)生調(diào)查驗(yàn)證（完成下表）哪個(gè)公式更精確。
學(xué)號(hào)
爺爺身高
奶奶身高
爸爸身高
媽媽身高
預(yù)測(cè)你的身高
例2：在學(xué)習(xí)了“年、月、日”知識(shí)后，我們可以讓學(xué)生估計(jì)一下，哪一個(gè)答案接近自己的年齡？
①500分； ②500周； ③500時(shí)； ④500月
學(xué)生可能會(huì)運(yùn)用不同的方法進(jìn)行猜測(cè)。此時(shí)，教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生如何知道自己的猜測(cè)是準(zhǔn)確的或比較準(zhǔn)確的。為了回答這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生將會(huì)進(jìn)行必要的計(jì)算，從而體會(huì)到計(jì)算的必要性。
這樣在一定情景之中，讓學(xué)生愉快地、自覺(jué)地計(jì)算，從中也體現(xiàn)出計(jì)算題少有的應(yīng)用性，從而使我們的計(jì)算題不僅僅只是數(shù)學(xué)形式上的訓(xùn)練價(jià)值，還具有實(shí)用價(jià)值。
做法2、算法多樣化與最優(yōu)算法的有效結(jié)合
《課標(biāo)》在第一學(xué)段和第二學(xué)段分別提出“提倡算法多樣化”和“鼓勵(lì)算法多樣化”，已引起我們小學(xué)數(shù)學(xué)教師的廣泛注意，并在教學(xué)實(shí)踐中開(kāi)始探索如何落實(shí)、貫徹算法多樣化的這一數(shù)學(xué)理念。
可正因?yàn)檫@是一項(xiàng)新的改革措施，難免會(huì)出現(xiàn)一些只追求形式的狀況。例如我曾經(jīng)聽(tīng)過(guò)這樣一節(jié)課：在教學(xué)264+678這一類多位數(shù)加法中，教師鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法計(jì)算，由于三年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)的組成比較熟悉，加上教師的引導(dǎo)啟發(fā)，結(jié)果出現(xiàn)六七種算法。
①264+700-22
②264+680-2
③200+600+64+78
④260+670+4+8
⑤200+600+60+70+4+8
⑥列豎式從個(gè)位加起
……
課堂氣氛十分活躍，學(xué)生各抒己見(jiàn)，教師也就鼓勵(lì)學(xué)生各取所好，布置幾道課堂作業(yè)，卻發(fā)現(xiàn)有些思維稍慢的學(xué)生，提筆不知所措，不得不東張西望，跟著做得快的同學(xué)寫計(jì)算過(guò)程。一堂計(jì)算課就這樣結(jié)束。對(duì)于這樣的教學(xué)你認(rèn)可嗎？舉一個(gè)不恰當(dāng)?shù)睦?span lang="EN-US">:比如前邊有一條溝，下面架著橋，我們是可以領(lǐng)著學(xué)生從橋上過(guò)去的，可我們因?yàn)樽非笮问缴系亩鄻有?，?dāng)出現(xiàn)學(xué)生非要去鉆那條溝時(shí)，而我們就讓他（們）鉆到溝里去了。
那對(duì)于《課標(biāo)》中“提倡算法多樣化”，我們?cè)跞绾卫斫?？在提倡算法多樣化的同時(shí)，老師要不要提出一種最優(yōu)的算法？筆者認(rèn)為算法多樣化絕不是形式上的越多越好，而是從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的角度提出的，更深層次的目的是從逐步培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和自我價(jià)值觀念角度提出的。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)中的算法多樣化應(yīng)區(qū)別于趣味數(shù)學(xué)的游戲，應(yīng)當(dāng)組織學(xué)生學(xué)會(huì)從多種算法中分析、辨別出最優(yōu)或較優(yōu)的方法，當(dāng)然不應(yīng)是教師主觀指定的算法。教師要做的僅僅是如何從學(xué)生的算法恰當(dāng)好處地做到算法多樣化與最優(yōu)算法的有效結(jié)合。
讓學(xué)生從小就學(xué)會(huì)“多中選優(yōu)，擇優(yōu)而用”的思想，同時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己所創(chuàng)造的算法被列為最優(yōu)或較優(yōu)，在他們幼小心靈里會(huì)萌發(fā)自我的價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心，在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)主動(dòng)挑戰(zhàn)自我，這才真正是數(shù)學(xué)體現(xiàn)價(jià)值的魅力所在！
做法3：重視計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的使用
計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的逐步普及，對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了深刻的影響。因此《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)，“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂(lè)意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”。
一方面，計(jì)算器可以使學(xué)生從繁瑣的紙筆計(jì)算中解放出來(lái)，也為解決實(shí)際問(wèn)題提供了有力的工具。另一方面，計(jì)算器和計(jì)算機(jī)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式也有很大的影響。計(jì)算器可以幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律，理解數(shù)學(xué)概念和法則。
從基礎(chǔ)教育的目標(biāo)和解決問(wèn)題的要求來(lái)看，數(shù)學(xué)價(jià)值的重要體現(xiàn)已不再是計(jì)算的熟練程度和技巧，而是對(duì)運(yùn)算意義的理解。在碰到一個(gè)涉及實(shí)際的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，首先要確定需要進(jìn)行什么運(yùn)算，依照什么樣的順序來(lái)進(jìn)行這些運(yùn)算，也就是通常說(shuō)的列出算式，即這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。而計(jì)算的問(wèn)題完全可以讓計(jì)算器或計(jì)算機(jī)“代勞”。當(dāng)然，這里無(wú)意“砍掉”必要的計(jì)算。事實(shí)上，要理解運(yùn)算的意義，不可能離開(kāi)必要的計(jì)算。同時(shí)，用計(jì)算器計(jì)算時(shí)必須加強(qiáng)估算，這也需要有一定的計(jì)算能力作保證。
例如：任意給定四個(gè)互不相同的數(shù)字，組成最大數(shù)和最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，對(duì)所得結(jié)果的四個(gè)數(shù)字重復(fù)上述過(guò)程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？（利用計(jì)算器探索數(shù)學(xué)黑洞）
又如：在存款方案中，哪一種方案更有利時(shí)，可以利用計(jì)算器來(lái)計(jì)算各種方案所得的利息，像10000元存三年的情況：
方案一：定期存三年；方案二：一年一年存，連本帶利存三年；方案三：先存一年，再存二年；方案四：先存二年，再存一年。因?yàn)殂y行利率往往是一個(gè)不容易計(jì)算的百分率，加上實(shí)際人們?nèi)ゴ驽X時(shí)，也不一定是像整萬(wàn)元的數(shù)額，所以如果讓學(xué)生用筆算解決這個(gè)問(wèn)題，既化時(shí)間，又收效不大，而使用計(jì)算器則能收到事半功倍之效，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值。
（二）空間與圖形
兒童最先感知的是三維世界，是“空間與圖形”。人們認(rèn)識(shí)周圍世界的事物，常常需要描述事物的形狀、大小，并用恰當(dāng)?shù)姆绞绞鍪挛镏g的關(guān)系。所以，圖形直觀、幾何模型，以及幾何圖形的性質(zhì)，是準(zhǔn)確描述現(xiàn)實(shí)世界空間關(guān)系，解決學(xué)習(xí)、生活和工作中各種問(wèn)題的必備工具。特別是隨著計(jì)算機(jī)制圖和成像技術(shù)的發(fā)展，幾何方法更是被廣泛地運(yùn)用到人類生活和社會(huì)發(fā)展的各個(gè)方面，因而“空間與圖形”的教育價(jià)值首先在于使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解生活的空間，更好地生存和發(fā)展。
20世紀(jì)80年代以來(lái)，我國(guó)中小數(shù)學(xué)教學(xué)研究和改革不斷深入，實(shí)踐證明，不斷改進(jìn)幾何教學(xué)方法，學(xué)生通過(guò)刻苦學(xué)習(xí)確實(shí)能掌握一些平面圖形的性質(zhì)，具有一定的邏輯推理能力。但大量的調(diào)查也表明，傳統(tǒng)的平面幾何教學(xué)又具有“雙刃劍“功能：幾何內(nèi)容的過(guò)分抽象和“形式化”，缺少與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系，使“幾何”直觀的優(yōu)勢(shì)沒(méi)有得到充分的發(fā)揮；過(guò)分強(qiáng)調(diào)演繹推理和“形式化”使不少學(xué)生怕學(xué)幾何，甚至厭惡幾何、遠(yuǎn)離幾何，從而喪失學(xué)習(xí)的興趣和信心。這種狀況不改變，“空間與圖形”的教育價(jià)值就不能得到全面、充分的體現(xiàn)。
2000年上半年，鄞州區(qū)五年級(jí)數(shù)學(xué)期末試卷中，有這樣一題：
計(jì)算圖形的面積
①已知下圖平形四邊形中一條底邊上的高是
對(duì)于學(xué)生完成此題的正確率，筆者曾經(jīng)對(duì)全鎮(zhèn)作過(guò)統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)下表）：
班級(jí)：五（1）、五（2）、五（3）、五（4）、五（5）、全鎮(zhèn)
正確率：36.73%、 6.00%、 19.64%、 5.50%、 0%、 13.60%
統(tǒng)計(jì)結(jié)果令人吃驚，不僅各班的正確率不高，而且其中五（5）班沒(méi)有一個(gè)做對(duì)，絕大多數(shù)學(xué)生列式為25×20（正確列式應(yīng)為18×20）。這難道不值得我們反思嗎？
做法：突破以“求積為中心”的舊觀念，切實(shí)加強(qiáng)空間觀念的培養(yǎng)。
《課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)模型、從現(xiàn)實(shí)的生活空間中抽象出幾何圖形的過(guò)程，注重探索圖形性質(zhì)及其變化規(guī)律的過(guò)程。比如，在第一、第二學(xué)段中，注重引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、有條理的思考和推理、交流等活動(dòng)，從多種角度認(rèn)識(shí)圖形的形狀、大小、變換和位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)和空間觀念；第三學(xué)段繼續(xù)通過(guò)觀察、操作、圖形變換、展開(kāi)與折疊、圖案欣賞與設(shè)計(jì)等各種形式的性質(zhì)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形及其性質(zhì)，豐富幾何的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和良好體驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。
例如：在實(shí)際生活中有關(guān)長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體的表面積計(jì)算比較復(fù)雜，都要根據(jù)具體的實(shí)際情況去具體分析，先確定有哪幾個(gè)方面，然后靈活地計(jì)算，根本不可能簡(jiǎn)單地去套用一個(gè)公式。正因?yàn)檫@樣，各種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材在講述這些知識(shí)時(shí)，一般都不出現(xiàn)這些表面積的計(jì)算公式。即S表=（a×b+a×c+b×c）×2，這也就制約了我們?cè)诮虒W(xué)這部分內(nèi)部時(shí)，應(yīng)該把精力放在教這些形體特征的認(rèn)識(shí)和對(duì)表面積概念的建立上。加強(qiáng)對(duì)學(xué)生動(dòng)手操作的指導(dǎo)，促使學(xué)生更加地發(fā)展空間觀念，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況去想計(jì)算的方法。如果我們違背了教材的這種意圖，單方面地想以給出表面積的計(jì)算公式來(lái)“一勞永逸”，這只能把學(xué)生的注意引向死記死套公式，而對(duì)培養(yǎng)空間觀念和思維能力都無(wú)利。筆者曾在杭州富陽(yáng)聽(tīng)了一節(jié)數(shù)學(xué)教研員上的《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》，教師在推導(dǎo)計(jì)算方法中，放手讓學(xué)生自己解決問(wèn)題，學(xué)生想出了至少三種計(jì)算方法：1：（長(zhǎng)+寬）×2；2：長(zhǎng)×2+寬×2；3、長(zhǎng)+寬+長(zhǎng)+寬。對(duì)于學(xué)生的解法，教師沒(méi)有刻意去引導(dǎo)得出方法1為計(jì)算公式，而是通過(guò)歸納討論得出平面封閉圖形周長(zhǎng)計(jì)算的更一般規(guī)律：就是圍成這平面封閉圖形一周的長(zhǎng)度。教師的這一處理可以為除了長(zhǎng)方形、正方形等其他的平面封閉圖形周長(zhǎng)計(jì)算打下基礎(chǔ)，從而使學(xué)生避免三角形、梯形等沒(méi)有周長(zhǎng)的錯(cuò)誤觀念，重點(diǎn)培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。
（三）統(tǒng)計(jì)與概率
統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，他通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)收集、整理、描述和分析以及對(duì)事件發(fā)生可能性的刻畫，來(lái)幫助人們作出合理的決策。
隨著社會(huì)的不斷發(fā)展，統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法將越來(lái)越重要。統(tǒng)計(jì)和概率所提供的“運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會(huì)的一種普遍適用并且強(qiáng)有力的思維方式。
因此，義務(wù)教育階段應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟悉統(tǒng)計(jì)與概率的基本思想方法，從而使他們逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，進(jìn)而形成尊重事實(shí)、用數(shù)據(jù)說(shuō)話的態(tài)度。不僅如此，讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象，將有助于他們形成科學(xué)的世界觀與方法論。
做法：讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和判斷過(guò)程。
例如：教師在開(kāi)始教學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”這一部分知識(shí)時(shí)，可以提出一個(gè)涉及統(tǒng)計(jì)且需要合作才能回答的問(wèn)題。比如：“我們班想在元旦購(gòu)買一些大家喜歡的水果開(kāi)一個(gè)聯(lián)歡會(huì)，應(yīng)該買些什么水果？要買多少才合適呢？”為了回答這一問(wèn)題，孩子們會(huì)想到做一個(gè)調(diào)查，就產(chǎn)生了統(tǒng)計(jì)的必要，然后再思考具體統(tǒng)計(jì)方法，進(jìn)而作進(jìn)一步的分析、判斷。
又如：一名身高
（四）實(shí)踐與綜合應(yīng)用
《課標(biāo)》的“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”領(lǐng)域，是《課標(biāo)》的一個(gè)特色。這個(gè)領(lǐng)域反映了數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的要求，也提供了學(xué)生進(jìn)行一種實(shí)踐性、探索性和研究性學(xué)習(xí)的課程渠道。
“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”是新數(shù)學(xué)課程中一個(gè)全新的內(nèi)容。理解和把握這個(gè)領(lǐng)域，對(duì)于數(shù)學(xué)課程的發(fā)展和數(shù)學(xué)教學(xué)的改革是非常重要的。
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程不大注意與學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的處理總是留有人為編造的痕跡；幾何、代數(shù)都是按著各自的學(xué)科體系、以直線式的結(jié)構(gòu)發(fā)展，相互之間的聯(lián)系不多，即使有一些也比較牽強(qiáng)，綜合運(yùn)用就更談不上了。這在一定程度上造成了我們的學(xué)生強(qiáng)于基礎(chǔ)、弱于應(yīng)用，強(qiáng)于答案、弱于動(dòng)手，強(qiáng)于考試、弱于創(chuàng)造的局面?！墩n標(biāo)》認(rèn)為，這些與課程結(jié)構(gòu)有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)通過(guò)調(diào)整課程結(jié)構(gòu)解決。具體做法是在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)概率”這些知識(shí)性的領(lǐng)域之外，設(shè)置“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”這一領(lǐng)域。這個(gè)領(lǐng)域溝通了生活中的數(shù)學(xué)與課堂數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使得幾何、代數(shù)和統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容有可以以交織在一起的形式出現(xiàn)，使發(fā)展學(xué)生的綜合應(yīng)用知識(shí)的能力成為必須的學(xué)習(xí)內(nèi)容，使傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課本面貌有可以發(fā)生改變。這對(duì)于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中接觸到一些有研究和探索價(jià)值的題材和方法，幫助學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在學(xué)生未來(lái)的職業(yè)和生活中發(fā)揮作用等方面具有重要意義。
做法：學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)
就以商品打折為例，“滿100送
（五）靈活恰當(dāng)?shù)靥幚斫滩闹袦蟮摹?zhēng)鳴的教學(xué)內(nèi)容
1、利息稅
九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)浙教版第十一冊(cè)第二單元“分?jǐn)?shù)乘法”中“利息”這一節(jié)教材，介紹了存款的意義及儲(chǔ)蓄方式，用實(shí)際事例說(shuō)明了什么叫本金、利息、利率及利息的計(jì)算方法，并指出了根據(jù)國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展變化，銀行存款的利率有時(shí)會(huì)有所調(diào)整。這部分內(nèi)容屬于百分?jǐn)?shù)的一種具體應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。隨著時(shí)代的發(fā)展，銀行存款、貸款利率已作了下調(diào)，國(guó)家增設(shè)了個(gè)人所得稅及存款利息稅。雖然在有些類似競(jìng)賽的練習(xí)題中，對(duì)個(gè)人所得稅、利息稅有所涉及，但教材作業(yè)本中的練習(xí)卻依然如故。以致許多教師在教學(xué)中常常要和我討論如何處理利息稅等問(wèn)題。本人認(rèn)為在教學(xué)中教師應(yīng)根據(jù)我國(guó)實(shí)際情況，增加以下內(nèi)容：
（1）講清國(guó)家下調(diào)利率的意義及征收個(gè)人所得稅、存款利息稅的意義，使學(xué)生從小樹立愛(ài)國(guó)家、依法納稅的思想。
（2）增加利息稅、信貸方面的內(nèi)容。
如：小英去年11月1日把800元存入銀行，定期2年，年利率為2.25%，利息稅為20%，計(jì)算到明年11月1日到期時(shí)，她可取出本金和利息共多少元？
計(jì)算方法為：
①到期利息：800×2.25%×2=36(元)
②扣除利息稅應(yīng)得利息：36×(1-20%)=28.8(元)
③到期可取出本金和利息一共為：800+28.8=828.8(元)
對(duì)課本中的練習(xí)，教師應(yīng)給予適當(dāng)?shù)男薷?，增加利息稅的?nèi)容，補(bǔ)充這方面的習(xí)題，真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)生活的密切聯(lián)系。教師要用活教材，并且讓學(xué)生活學(xué)活用。
2、比多幾分之幾？
此類題的解法的爭(zhēng)論，已歷時(shí)幾十年之久。不少有雜志?？穷愃频奈恼隆Ｔ腥藶榱藚^(qū)別“比差”和“比倍”，而主張加上“它的”詞語(yǔ)，“比多它的幾分之幾”，這樣“幾分之幾”就成了分率即多的幾分之幾，沒(méi)有“它的”即屬“比差”的解法。有人提出此類題屬迥避的題目就迥避。更多的人認(rèn)為兩種解法都對(duì)。
筆者以為類似的爭(zhēng)論，都把問(wèn)題復(fù)雜化了，其實(shí)這個(gè)問(wèn)題非常簡(jiǎn)單：“多（少）多少”就是比差，“多（少）幾分之幾”就是比倍。這個(gè)結(jié)論能否定？如5比4多多少？無(wú)疑解為5-4=1，5比4多幾分之幾？無(wú)疑解為（5-4）÷4=。因此，-多多少，應(yīng)解為-=，這里的、都是具體的量，也是具體的量，不能理解為分率。而“比多幾分之幾”，這里的、同樣為具體的量，所求的“幾分之幾”應(yīng)是分率，此題應(yīng)解為：（-）÷=，“”是對(duì)“”這個(gè)具體量（單位“1”）而言，它是分率。如果要想求和相差多少的話，絕不能敘述為“多（少）幾分之幾”，應(yīng)為“多（少）多少”。但在一些應(yīng)用題中，要視單位“1”而定。例：一堆煤，大卡車每小時(shí)運(yùn)它的，小卡車每小時(shí)運(yùn)它的，大卡車每小時(shí)比小卡車每小時(shí)多運(yùn)這堆煤的幾分之幾？這里要求的是以“這堆煤”為單位“1”的幾分之幾，而和都是以“這堆煤”為單位“1”的，因此這里求的是和相差數(shù)（比差），即-=，其實(shí)也應(yīng)該可以理解為分率，列式為（-）÷1=。當(dāng)把題目的問(wèn)題改為“大卡車每小時(shí)比小卡車多運(yùn)幾分之幾？”時(shí)，這時(shí)的單位“1”不是“煤的總數(shù)”，而是“小卡車每小時(shí)的運(yùn)煤量”了，即大卡車每小時(shí)運(yùn)煤量比小卡車多出部分是小卡車的幾分之幾（比倍），故解為：（-）÷ =。
因此，“比多幾分之幾”中的“幾分之幾”絕不能理解為“多少”，它只能表示為分率，故此題只有唯一的正確解法：（-）÷=。
在浙江教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題精選（六年級(jí)）一書中P222有這樣一道選擇題：
（11）甲比乙少，那么乙比甲多（ ）。
A. B. C. D.
筆者認(rèn)為此題的答案是B。你認(rèn)為呢？
3、關(guān)于“
在過(guò)去的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)字“0”一直不屬于自然數(shù)，但是現(xiàn)在已明確把“0”歸于自然數(shù)。為什么有這樣的變化？作為數(shù)學(xué)教師必須清楚。許多數(shù)學(xué)工作者都認(rèn)為這僅僅是一個(gè)“規(guī)定”，用數(shù)學(xué)的行話講即“定義”，這就是說(shuō)以前定義“1、2、3、……、n”為自然數(shù)集，而現(xiàn)在則定義“0、1、2、3、……、n”為自然數(shù)集。顯然僅僅掌握這樣的解釋對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)教師是不夠的?！蛾兾鹘逃?span lang="EN-US">2003年第5期刊登有
②最小的自然數(shù)是________。（1還是0）
③0是否為偶數(shù)，合數(shù)呢？
4、意義該如何理解？
五年級(jí)在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的意義時(shí)，許多教師會(huì)碰到盡管自己花了很大力氣去讓學(xué)生搞清：
4×5是表示5個(gè)4相加是多少或4的5倍是多少；
4×0.5是表示4的十分之五是多少；
4×1.5是表示4的1.5倍是多少。
但有些學(xué)生還是有些糊涂，（我們）教師便幫助他們總結(jié)規(guī)律：
要看后面的數(shù)是大于1還是小于1，小于1的，就是表示這個(gè)數(shù)的十分之幾，百分之幾是多少……；大于1的要看整數(shù)還是小數(shù)，是小數(shù)的，就是幾倍；是整數(shù)的，可以有兩種表示方法……。學(xué)生更糊涂了。
六年級(jí)在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義時(shí)，又出現(xiàn)了上述情形，只不過(guò)把小數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。學(xué)生們一半清醒一半醉。“倍”的概念，究竟是什么？從我看來(lái)，如果無(wú)關(guān)大雅的，把4×0.5說(shuō)成4的0.5倍，4×說(shuō)成4的倍又何妨呢？至少可以少難為一點(diǎn)我們這些可愛(ài)的孩子們。
下面還有這樣一道題供大家研討：在學(xué)生學(xué)習(xí)“小數(shù)的組成”，一般有這樣的題目：如2.58的整數(shù)部分是（ ），小數(shù)部分是（ ）。這個(gè)題目學(xué)生還可以理解，假如0.65的整數(shù)部分是（ ），小數(shù)部分是（ ）。學(xué)生提出了自己的想法，0.65的小數(shù)部分還是0.65，那不是部分，而是全部！你認(rèn)為？
以上所舉僅僅是少數(shù)的幾例，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念性問(wèn)題，筆者也常常感到困惑，有時(shí)越想越糊涂。以上想法，在此提出，希望能夠與同行們交流。
最后筆者還想說(shuō)的是：我們所研究的數(shù)學(xué)不可能截然地分為有價(jià)值和沒(méi)有價(jià)值兩類。盡管從某個(gè)角度來(lái)說(shuō)，我們總希望能盡可能地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)的“有價(jià)值”和“沒(méi)有價(jià)值”性，以便指導(dǎo)我們的課堂教學(xué)。數(shù)學(xué)的價(jià)值如何，不在于數(shù)學(xué)本身，而在于教師如何組織這些數(shù)學(xué)材料，在于教師如何針對(duì)不同的學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的不同價(jià)值。即“有價(jià)值的數(shù)學(xué)”這一理念指向的不是數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的價(jià)值，而是教師如何使學(xué)生實(shí)現(xiàn)其所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容價(jià)值的教學(xué)藝術(shù)。
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