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“將軍飲馬”問(wèn)題是指動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，線段和差的一類最值問(wèn)題，往往通過(guò)對(duì)稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間的距離或點(diǎn)到直線的距離，或利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求得最值。解決這類問(wèn)題要用到兩個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”.

【類型一 兩定一動(dòng)基本型】

1、同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最小

問(wèn)題：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使PA+PB 值最小.

做法：連接AB，與l交點(diǎn)即為P，PA+PB的最小值為AB．

問(wèn)題：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使PA+PB 值最小.

做法：作A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連A'B，與l 交點(diǎn)即為P，PA+PB的最小值為A'B．

2、同側(cè)、異側(cè)兩線段之差最大、最小

【類型二 兩次對(duì)稱型】

問(wèn)題：在直線 l₁、 l₂上分別求點(diǎn)M、N，使△PMN 的周長(zhǎng)最?。?/span>

做法：分別作點(diǎn) P 關(guān)于兩直線的對(duì)稱點(diǎn) P' 和 P''，連接 P' P''，與兩直線交點(diǎn)即為 M，N．

PM+MN+PN的最小值為線段P'P''的長(zhǎng)．

【類型三 平移型】

問(wèn)題：在直線l上求兩點(diǎn) M、N（M在左），使 MN=a，并使AM+MN+NB的值最?。?/span>

做法：將點(diǎn)A向右平移 a個(gè)長(zhǎng)度單位得A'，作A'關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn) A''，連接A''B，交直線l于點(diǎn)N，將N點(diǎn)向左平移a個(gè)單位得M．AM+MN+BN的最小值為A''B+MN．

【類型四 點(diǎn)到直線垂線段最短】

問(wèn)題：點(diǎn)P在銳角∠AOB內(nèi)部，在OB邊上求作一點(diǎn)D，在OA邊上求作一點(diǎn)C，使PD+CD最小.

做法：作點(diǎn)P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)P'，向直線OA作垂線，與OB的交點(diǎn)為所求點(diǎn)D，垂足即為點(diǎn)C.

根據(jù)“垂線段最短”，可知PD+CD的最小值為P'C的長(zhǎng)度.

【類型五 三動(dòng)點(diǎn)“將軍飲馬”問(wèn)題】

【例1】已知如圖，∠A=30°，BC=4，S_△ABC=16，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則△DEF的周長(zhǎng)的最小值是        .

【類型六 相對(duì)運(yùn)動(dòng)思想的運(yùn)用】

【類型七 先找“河”，再“飲馬”】

為了總結(jié)的完整性，這部分內(nèi)容放在了這里，建議大家先學(xué)習(xí)后面的壓軸模型“主從聯(lián)動(dòng)模型”，學(xué)習(xí)完以后再來(lái)看這一類型，會(huì)更容易理解。

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