【數(shù)學(xué)故事】
唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題．
如圖所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊P處飲馬后，再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？
【問(wèn)題的歷史背景】
這個(gè)問(wèn)題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪(fǎng)他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：如圖，將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)先到河邊飲馬，再去同側(cè)的B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的解決并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它，展現(xiàn)了他的個(gè)人智慧。從此，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣為流傳。
數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：在河邊L上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。
“將軍飲馬”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形解決求兩條線(xiàn)段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類(lèi)最值問(wèn)題，會(huì)與直線(xiàn)、角、三角形、四邊形、圓、拋物線(xiàn)等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。
“將軍飲馬”模型為一條定直線(xiàn)與兩個(gè)定點(diǎn)，有以下四種情形：（點(diǎn)擊可放大）
【圖文解析】
觀察動(dòng)態(tài)演示：
解決問(wèn)題：如圖，從A出發(fā)向河岸引垂線(xiàn)，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上取DA′=DA，連結(jié)A′B，與河岸線(xiàn)相交于P，則P點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線(xiàn)走到P，飲馬之后，再由P沿直線(xiàn)走到B，走的路程就是最短的．
理由：如圖，如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB，即AC'+C'B＞AC+CB．可見(jiàn)，在點(diǎn)C以外任何一點(diǎn)C'飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些．
【模型實(shí)例】
例1、動(dòng)手操作：如圖，在一張長(zhǎng)8cm、寬4cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個(gè)菱形.小明同學(xué)的做法是：把矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，則得到的四形AECF就是菱形.在小明同學(xué)的折法中，設(shè)點(diǎn)P是折痕EF上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線(xiàn)CF上的動(dòng)點(diǎn)，在P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出PC+PQ的最小值.
圖文解析
設(shè)AF=xcm，則AE=CE=xcm，BE=（8-x）cm，在Rt△ABE中，由勾股定理得
42+（8-x）2=x2，解得x=5（cm），即AF=5cm
觀察動(dòng)態(tài)演示：
假設(shè)點(diǎn)Q是定點(diǎn)，連結(jié)PA，則PC=PA，
PC+PQ=PA+PQ≥AQ，
當(dāng)點(diǎn)P、A、Q三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，PC+PQ=PA+PQ=AQ
當(dāng)點(diǎn)Q也是動(dòng)點(diǎn)時(shí)
只有當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)F重合時(shí)，PC+PQ取得最小值5cm
∴當(dāng)點(diǎn)P、Q與點(diǎn)F重合時(shí)，PC＋PQ取得最小值5cm．
例2、如圖，兩點(diǎn)A、B在直線(xiàn)MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)，則丨PA－PB丨的最大值等于
圖文解析
觀察動(dòng)態(tài)演示：
【分析】延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P′，此時(shí)P′A-P′B=AB，由三角形三邊關(guān)系可知AB＞|PA-PB|，故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)|PA-PB|最大，作BE⊥AC于點(diǎn)E，由勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．
【解析】
如圖，延長(zhǎng)AB交MN于點(diǎn)P′，
∵P′A-P′B=AB，AB＞|PA-PB|，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)時(shí)，|PA-PB|最大，
∵BD=5，CD=4，AC=8，
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，則BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，
∴|PA-PB|=5為最大．
故答案是：5.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線(xiàn)段差的最值問(wèn)題及勾股定理，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短及三角形的三邊關(guān)系是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．
【牛刀小試】
1．如圖，正方形ABCD的面積是16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線(xiàn)AC上有一點(diǎn)P，則PD+PE的最小值為 ？
2．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則∣PA－PB∣的最大值是 ？ .
3．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，在射線(xiàn)OA上找一點(diǎn)Q，射線(xiàn)OB上找一點(diǎn)R，使得△PQR的周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是 ？ .
【答案】1、4 2、4 3、10
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