女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
前文回顧：
對(duì)于許多本科生來說，抽象群體的研究是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的研究。在這篇文章中，我們提供了一個(gè)幾何背景的概述，它可以幫助學(xué)生解釋和理解循環(huán)群的結(jié)構(gòu)，以及對(duì)子群和陪集等核心概念有更廣泛的概念理解。星形多邊形真實(shí)的藝術(shù)背景既可以激勵(lì)學(xué)生堅(jiān)持尋找模式，也可以提供一個(gè)具體的參考，讓學(xué)生可以概括代數(shù)的想法。
導(dǎo)言
雖然抽象代數(shù)(研究抽象群、環(huán)和域)是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門公共必修課，但有證據(jù)表明學(xué)生從這些課程中學(xué)到的關(guān)鍵代數(shù)概念并不令人滿意[1，2]。此外，數(shù)學(xué)科學(xué)會(huì)議委員會(huì)建議，所有未來的中學(xué)教師都必須完成至少一門抽象代數(shù)[3]課程，在這門課程中，這些未來的教師可以從概念上掌握群體結(jié)構(gòu)，但同時(shí)指出，目前“不幸的是，太多未來的高中教師無法理解[抽象代數(shù)和數(shù)論]與學(xué)校代數(shù)主題之間的聯(lián)系”(第40頁)。使問題復(fù)雜化的是，很少進(jìn)行教育學(xué)研究來調(diào)查學(xué)生在掌握抽象代數(shù)概念方面的困難的來源或潛在的解決方案[4]。在本文中，我將展示一個(gè)活動(dòng)，它可以用來幫助學(xué)生理解抽象群論的關(guān)鍵概念，如子群、生成元和陪集。因?yàn)橛腥苏J(rèn)為群、子群和陪集的概念是抽象代數(shù)中最基本的概念[2]，一個(gè)可以幫助學(xué)生理解和掌握這些概念的活動(dòng)對(duì)于許多不同的課程設(shè)置都是有用的。
特別是，這項(xiàng)活動(dòng)與一門抽象代數(shù)課一起使用，供參加數(shù)學(xué)教育碩士課程的中學(xué)教師練習(xí)，重點(diǎn)是對(duì)稱群。這門課的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)背景和能力，他們堅(jiān)持在繼續(xù)學(xué)習(xí)之前獲得對(duì)關(guān)鍵思想的概念性理解。在這節(jié)課之前，學(xué)生們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有限群的例子，特別是整數(shù)群(Zn)和等距群。學(xué)生們熟悉二面體群的性質(zhì)，能夠找到二面體群的子群和這些子群的生成元，但對(duì)他們使用的策略仍然缺乏信心和概念上的清晰性。就在這個(gè)活動(dòng)之前，通過考慮二面體群Dn的保向元素(即正n邊形的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性)，引入了循環(huán)群Cn的概念。
本活動(dòng)的目的是加深學(xué)生對(duì)循環(huán)群Cn的理解，使他們直觀地理解尋找Cn的生成元和子群的策略的概念，并通過幾何表示介紹陪集的概念。為了達(dá)到這些目的，我們使用了星形多邊形的概念。星形多邊形是藝術(shù)中常見的主題，尤其是伊斯蘭藝術(shù)，n點(diǎn)星形自古以來就引起數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家的興趣。例如，五角星對(duì)古希臘人來說有著特殊的意義，因?yàn)樗纳衩貙傩院忘S金比例的關(guān)系，也出現(xiàn)在凱爾特人、希伯來人、德魯伊教、埃及人和其他人的古代藝術(shù)中[5]。使用這種真實(shí)的藝術(shù)背景為學(xué)生提供了堅(jiān)持尋找模式的動(dòng)力，也為這些重要的群論思想提供了極好的幾何表示。
活動(dòng)的步驟
為了介紹該活動(dòng)，給學(xué)生一組具有不同數(shù)量的等距點(diǎn)(從4個(gè)點(diǎn)到12個(gè)點(diǎn))的圓，并要求他們連接k的所有選擇的每個(gè)k^th點(diǎn)。例如，傳統(tǒng)的五角星可以通過連接圓周圍5個(gè)等距點(diǎn)的每第二個(gè)點(diǎn)來形成，因此它被稱為(5，2)星。學(xué)生分組將點(diǎn)連接起來，為每組n個(gè)點(diǎn)組成星形，然后尋找模式。學(xué)生們經(jīng)常注意到的模式包括(n，k)排列和(n，n–k)排列是相同的。學(xué)生們還傾向于注意到，只有當(dāng)n和k互質(zhì)時(shí)，圓上的所有點(diǎn)才會(huì)連通(如下圖1所示)。在群論術(shù)語中，第一個(gè)點(diǎn)代表群生成元a，該點(diǎn)的每個(gè)k^th重復(fù)代表它的組成a^k.
圖1：星形多邊形(12,5)說明a^5是C12的一個(gè)生成器
圖2：星形多邊形(12,3)說明了C12與C4同構(gòu)的子群
圖3：星形多邊形(12,3)和由a^2構(gòu)成的陪集的表示
這種活動(dòng)可以像中學(xué)教師一樣容易地向中學(xué)生展示，所以必須提出額外的問題來幫助學(xué)生將他們看到的幾何圖形與群結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來。例如，通過要求學(xué)生考慮n和k的什么選擇將允許所有點(diǎn)包含在星形中，以及這與群結(jié)構(gòu)的關(guān)系，教師可以提示學(xué)生在相對(duì)素性和循環(huán)群的群生成器之間建立聯(lián)系(參見上面的圖1中的示例)。對(duì)于不是n的互質(zhì)的k的選擇，只有點(diǎn)的子集將被連接。因?yàn)檫@些點(diǎn)是基于選擇k^th點(diǎn)(對(duì)應(yīng)于群元素a^k)的重復(fù)組合，所以它們將形成Cn的子群(如上面的圖2所示)，引導(dǎo)學(xué)生概括出Cn的子群的數(shù)量與n的因子的數(shù)量有關(guān)。最后，通過思考當(dāng)子群中的每個(gè)元素以不同的旋轉(zhuǎn)組合時(shí)會(huì)發(fā)生什么，可以以幾何的方式向?qū)W生介紹陪集的概念(例如，參見圖3)。
參考文獻(xiàn)
[1] Leron, U., & Dubinsky, E. An abstract algebra story. American Mathematical Monthly,102(3), 227– 242, 1995.
[2] Dubinsky, E., Dautermann, J., Leron, U., & Zazkis, R. On learning fundamental concepts of group theory. Educational Studies in Mathematics, 27(3), 267–305, 1994.
[3] Conference Board of the Mathematical Sciences. The mathematical education of teachers. American Mathematical Society, 1994.
[4] Hazzan, O. Reducing abstraction level when learning abstract algebra concepts. Educational Studies in Mathematics, 40(1), 71–90, 1999.
[5] Sarhangi, R. Elements of Geometry for Teachers, Addison-Wesley Publishing, Inc., Boston, Massachusetts, 2003.
[6] Sandy Spitzer, Using Star Polygons to Understand Cyclic Group Structure
青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。
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