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抽象代數(shù)學(xué)習(xí)筆記（7）對稱群與置換群

我剛接觸抽象代數(shù)的那段時(shí)間，一直在考慮一個(gè)問題，抽象代數(shù)有什么實(shí)際應(yīng)用。后來聽說，群在研究一些具有對稱性質(zhì)的對象時(shí)有奇效。于是我試著用群去描述一些簡單的幾何變換，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此。這就是我在置換那篇文章的最后讓大家思考等邊三角形變換的原因。

如果大家在看群的定義時(shí)，回想一下集合 S={1,2,...n}$S=\{1,2,...n\}$ 上的所有置換，不難發(fā)現(xiàn)這些置換也能構(gòu)成群。這個(gè)群被叫做對稱群，記為 Sn$S_n$。而 Sn$S_n$ 的任意一個(gè)子群被稱作置換群。

為了了解置換的性質(zhì)，我們用循環(huán)的乘積表示置換。

如果 n$n$ 階置換 P$P$ 把 k$k$ 個(gè)數(shù)碼 i1,i2,...ik$i_1,i_2,...i_k$按如下方式對應(yīng)：

P(i1)=i2, P(i2)=i3, ..., P(ik)=i1$$P(i_1)=i_2,P(i_2)=i_3,...,P(i_k)=i_1$$

而對于其余數(shù)碼 x,p(x)=x$x,p(x)=x$ 。則說 P$P$ 是一個(gè) k$k$ 循環(huán)。記作

P=(i1,i2,...in)$$P=(i_1,i_2,...i_n)$$

當(dāng)然，一個(gè)循環(huán)不止一種寫法。(i1,i2,...in)和(i2,i3,...in,i1)$(i_1,i_2,...i_n)和(i_2,i_3,...i_n,i_1)$ 是一個(gè)循環(huán)。

兩個(gè)循環(huán)是不交的，如果兩個(gè)循環(huán)中的數(shù)碼都不相同。如果兩個(gè)循環(huán)不交，那么這兩個(gè)循環(huán)顯然是可以交換位置的。例如置換

中有兩個(gè)循環(huán) (1,2,3),(5,6)$(1,2,3),(5,6)$ ，那么這兩個(gè)循環(huán)無論以何種方式復(fù)合，結(jié)果都是

我們再來看一下循環(huán)本身，最簡單的循環(huán)是只有兩個(gè)數(shù)碼的循環(huán)，比如上面那個(gè)例子中的 (5,6)$(5,6)$ ，要研究那些大的循環(huán)，可否將任意一個(gè)循環(huán)表示成若干2循環(huán)的乘積呢？答案當(dāng)然是肯定的。還是上面那個(gè)例子，循環(huán) (1,2,3)$(1,2,3)$ 可以表示成 (1,3)(1,2)$(1,3)(1,2)$。注意，這兩個(gè)2循環(huán)是相交的，所以不能交換位置。

現(xiàn)在我們介紹兩個(gè)置換群的子群：

• 設(shè)S={1,2,...,n}$S=\{1,2,...,n\}$，G$G$ 是 S$S$ 上的一個(gè)置換群，T$T$ 是 S$S$ 的任意一個(gè)子集，令
  GT={P∈G|P(t)=t,t∈T}$G_T=\{P\in G|P(t)=t,t\in T\}$，那么 GT$G_T$ 是G的一個(gè)子群。證明很簡單：首先，恒等置換 is$i_s$ 必然屬于GT$G_T$，并且是 GT$G_T$ 的單位元；其次，如果 P,Q∈GT$P,Q\in G_T$，那么對于 T$T$ 中任意元素 t$t$，(PQ)(t)=t$(PQ)(t)=t$，也就是說 PQ∈GT$PQ\in G_T$；最后，如果P∈GT$P\in G_T$，那么 (PP?1)(t)=(P?1P)(t)=t$(P{P}^{?1})(t)=(P^{?1}P)(t)=t$。故GT$G_T$ 是G的一個(gè)子群。
• 設(shè)S={1,2,...,n}$S=\{1,2,...,n\}$，G$G$ 是 S$S$ 上的一個(gè)置換群，T$T$ 是 S$S$ 的任意一個(gè)子集，令
  GT={P∈G|P(t)?T}$G^T=\{P\in G|P(t)?T\}$，那么 GT$G^T$ 是G的一個(gè)子群。證明方法與上面類似，只是需要說明 P(t)?T$P(t)?T$ 和 P(t)=T$P(t)=T$ 其實(shí)是等價(jià)的。

這兩個(gè)子群， GT$G_T$ 使 T$T$ 中的元素保持不動(dòng)，GT$G^T$ 使 T$T$ 中的元素只在 T$T$ 中變動(dòng)，所以 GT?GT$G_T?G^T$。講完這些回想一下置換一文中提到的三角形變換：

循環(huán) (1,2),(2,3),(1,3)$(1,2),(2,3),(1,3)$ 代表的置換可以構(gòu)成形如 GT$G_T$ 的子群。T$T$ 分別對應(yīng) {3},{1},{2}$\{3\},\{1\},\{2\}$。從幾何的角度說，T$T$ 稱之為對稱軸。

循環(huán) (1,2,3),(2,3,1)$(1,2,3),(2,3,1)$ 代表的置換可以構(gòu)成形如 GT$G^T$ 的子群。幾何意義是對三角形做120°旋轉(zhuǎn)變換。

置換群還有很多例子,建議高中化學(xué)學(xué)得不錯(cuò)的小伙伴考慮考慮手性分子結(jié)構(gòu)。對密碼學(xué)有興趣的可以搜一下移位密碼(一種移位密碼)，移位密碼一般用環(huán)論解釋，但個(gè)人認(rèn)為用群論也能夠理解。密碼學(xué)不太了解,如果這里說的有問題，不吝賜教。