本次研究的壓軸題側(cè)重點(diǎn)在于在角平分線背景下，如何合理添加輔助線助力問(wèn)題解決。與角平分線相關(guān)的輔助線添線方法主要有以下幾種：
添線方法1：利用角平分線的性質(zhì)定理或逆定理，向角的兩邊作垂線
添線方法2：利用角平分線的“對(duì)稱性”進(jìn)行輔助線添加
①利用“截取”或“延長(zhǎng)”的方法構(gòu)造全等三角形，證明線段間的和差關(guān)系
②延長(zhǎng)相交，構(gòu)造等腰三角形
添線方法3：當(dāng)出現(xiàn)角平分線、平行線、等腰三角形，結(jié)合角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)(判定)，其中任意兩個(gè)量的組合能推出第三個(gè)量。
圍繞以上的與角平分相關(guān)的添線方法，以下面一道典型例題進(jìn)行呈現(xiàn)：
解法分析：本題的背景是角平分線與平行線的組合。因此在輔助線的添線方法中可以聯(lián)想“添線方法3”，同時(shí)圖中有著X型基本圖形，因此可以借助X型基本圖形搭建線段間的比例關(guān)系。
本題的第(1)問(wèn)考察的是三角形的面積比，根據(jù)題意，這兩個(gè)三角形的面積比等于底之比，再轉(zhuǎn)化到圖中的CE-AB-X型基本圖形進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算。
本題的第(2)問(wèn)考察的是線段間函數(shù)關(guān)系的建立，由于題目中已知了CG和BG的比值，結(jié)合“添線方法3”，因此通過(guò)延長(zhǎng)AG，借助圖中的X型基本圖形和等腰三角形建立線段間的比例關(guān)系。
本題的第(3)問(wèn)考察的是直角三角形的存在性，根據(jù)圖形特點(diǎn)進(jìn)行分類討論。
1°當(dāng)∠AGE=90°時(shí)，利用“添線方法3和2”，可得G為AP中點(diǎn)，利用CP-AB-X型基本圖形，得G為BC中點(diǎn)。
2°當(dāng)∠AEG=90°時(shí)，利用“添線方法1”進(jìn)行輔助線添加，同時(shí)結(jié)合圖中的“蝶形相似”的基本圖形，通過(guò)角的轉(zhuǎn)化可得△AGB為等腰三角形，從而求出BG的長(zhǎng)度。
解法分析：本題的背景是垂徑定理的應(yīng)用。
本題的第(1)問(wèn)是點(diǎn)F和點(diǎn)B重合的特殊情況，通過(guò)聯(lián)結(jié)EO，根據(jù)垂徑定理，可得EO垂直平分CD，再聯(lián)結(jié)CO后，根據(jù)勾股定理，可求出CP的長(zhǎng)。
以下兩道壓軸題中以角平分線為背景條件。左邊的壓軸題側(cè)重體現(xiàn)了角平分線的性質(zhì)定理，右邊的壓軸題則體現(xiàn)了“角平分線分線段成比例定理”的證明過(guò)程，可以點(diǎn)擊圖片進(jìn)行跳轉(zhuǎn)，進(jìn)行進(jìn)一步學(xué)習(xí)。
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