學(xué)生解題的思維障礙是指數(shù)學(xué)問題變化引起的數(shù)學(xué)思維主體內(nèi)部狀態(tài)的紊亂與失調(diào)，并阻礙思維活動正常進(jìn)行的主體體驗。例如，已知一個正方形的面積是20平方厘米，求它里面的最大的圓的面積。對此題，學(xué)生若按一般解題模式：根據(jù)圓的半徑求圓的面積，則無法順利解決。于是就出現(xiàn)了思維障礙（因為半徑不能直接求出）。這時就需要進(jìn)行原型啟發(fā)。
“原型”是心理學(xué)家上的一個名詞，這里借用來指突破思維障礙的一種常見的有效的事物，對解決數(shù)學(xué)問題有啟發(fā)作用的數(shù)學(xué)原型包括數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、原理、方法、示意圖形等等。
著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》的著作中指出：“數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，而命題的連續(xù)變換又是數(shù)學(xué)方法反復(fù)應(yīng)用的過程。”學(xué)生解題的思維障礙，除了數(shù)學(xué)概念、原理、公式存在缺陷及解題模式的局限外，大多與解題方法沒有得到多方面運用有關(guān)。利用數(shù)學(xué)原型突破思維障礙可以從最簡單最基本的數(shù)學(xué)方法入手。常見的有以下幾種：
一、聯(lián)想啟發(fā)
是數(shù)學(xué)知識普遍聯(lián)系的積極反應(yīng)，是數(shù)學(xué)思維的重要形式。
例一 你能用多種方法推導(dǎo)梯形的面積公式嗎？開始學(xué)生受原有模式的限制，只想出下面的方法。如下圖：
后來通過聯(lián)想學(xué)習(xí)書上前面平行四邊形、三角形的面積公式的推導(dǎo)方法，受到啟發(fā)，聯(lián)想出下面一些方法：
拼成三角形：
拼成正方形或長方形：
從拼合聯(lián)想到分解：
這種廣泛聯(lián)想所形成的“聯(lián)想之鏈”和整體性，又是辯證思維啟蒙教育的表現(xiàn)之一。
二、遷移啟發(fā)
例二 日本教科書中的一道題：一個食品盒可放同樣的價格的點心20塊，一只空盒價格是40日元，買5盒會3200日元，這塊點心每塊價格是多少日元？（引自《華羅庚數(shù)學(xué)教育文集》）
分析：桓的思維障礙在于，不可直接套用“模式”：總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)。為此，可采用遷移啟發(fā)，利用已知條件：先求5個空盒的錢數(shù)，再求每塊點心的價格。
解答：（3200－40×5）÷（20×5）＝30（日元）
類似的，如“50人合照，付款740元，已知加印一張要14元，參與拍照的50人每份得到一張照片，平均每份要付出多少元？”（出處同上）亦可運用遷移啟發(fā)的數(shù)學(xué)方法突破思維的障礙。
三、類比啟發(fā)
例三 一道古算題：一頭獅子2小時以吃掉一只羊，做同樣的事情，一只狼要3小時，而一條狗要6小時。它們一起吃一只羊需要幾小時？（引自＜蘇＞克魯捷茨基《中小學(xué)數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》）
當(dāng)學(xué)生思維受阻時，教師可進(jìn)行適當(dāng)?shù)男睦碚T導(dǎo)：“如果把這道題改成工程問題……，會不會做呢？”這就啟發(fā)學(xué)生可與熟悉的分?jǐn)?shù)工程問題相類比，由此暗示可用下列方法進(jìn)行解答：1÷（
四、逆向啟發(fā)
例四 1到100之間所有不能被5或9整除的數(shù)之和是多少？
分析：正面求解不甚方便，故可運用逆向原型啟發(fā)變更問題形式，即先求能被5或9整除的數(shù)之和，再用總和減去上述之和就行了。
解答：1到100之間所有能被5整除的是：5、10、15、20、……100，它們的和是5×（1＋2＋3……＋20）＝5×（1＋20）×20÷2＝1050；同理求出所有能被9整除的數(shù)的和9×（1＋2＋3＋……＋11）＝594。另外還有兩個是重復(fù)的45、90，它們的和是135。因此，1到100之間內(nèi)所有不能被5或9整除的數(shù)之和是：5050－1050－594＋135＝3541。
五、“拐彎”啟發(fā)
“拐彎”屬于分析轉(zhuǎn)化，它不但用來尋找解法，而且用來追蹤“怪招”來歷，或識破編題者“良苦用心”。讓學(xué)生認(rèn)識到有時編題者為了增加難度，深交已知改成未知，或改變題設(shè)（條件）與結(jié)論，因而要“拐彎”，好轉(zhuǎn)化還其本來面目，韌帶接通思路。
例五 甲乙兩隊合修一條水渠，計劃12天挖完，兩隊工作效率的比是3︰2。實際甲隊每天比計劃少挖
分析：憑直覺，這道題應(yīng)采用“抓住量找對應(yīng)分率”的解題模式，那么“2米”的對應(yīng)分率怎樣找呢？我們不妨來一“拐彎”：假設(shè)乙仍然按原工作效率挖（甲按實際效率算），則他們合做的天數(shù)是：
，1÷［
這樣又啟發(fā)我們作更深入的思考：
只因為乙實際每天多挖12米，才在13天（12＋1）中完成原計劃15天才能完成的任務(wù)，所以水渠的全長是：。
六、情境啟發(fā)
例六 求陰影部分的面積（單位：厘米）
分析：解決數(shù)學(xué)問題往往受到刺激模式直接產(chǎn)生的知覺情境的影響。這道題的知覺情境隱匿、復(fù)雜，因此，我們必須運用情境原型啟發(fā)，創(chuàng)設(shè)新情境，用幻燈上的動片，叩開思維障礙之門。先用輔助圖演示如下（箭頭表示動片演示）：
再解決此題就容易多了。圖示如下：
陰影部分的面積就是10×5＝50（平方厘米）。這樣，求如下組合圖形的“平移法”解題模式，就會不斷得到升華。
總之，正確運用數(shù)學(xué)原型，迅速突破解題的思維障礙，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的重要環(huán)節(jié)，是開啟學(xué)生智力、發(fā)展學(xué)生思維的很必要途徑。
試試背圓周率，聽聽彈奏圓周率
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