目標(biāo)要求
1.掌握水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)和斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分析方法.2.會(huì)分析水平面內(nèi)、豎直面內(nèi)和斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題．
物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的速度、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)．
1．常見的臨界情況
(1)水平轉(zhuǎn)盤上的物體恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體與盤間恰好達(dá)到最大靜摩擦力．
(2)物體間恰好分離的臨界條件是物體間的彈力恰好為零．
(3)繩的拉力出現(xiàn)臨界條件的情形有：繩恰好拉直意味著繩上無(wú)彈力；繩上拉力恰好為最大承受力等．
2．分析方法
分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨界狀態(tài)．確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后，選擇研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，利用牛頓第二定律列方程求解．
例1 (2018·浙江11月選考·9)如圖所示，一質(zhì)量為2.0×103kg的汽車在水平公路上行駛，路面對(duì)輪胎的徑向最大靜摩擦力為1.4×104N，當(dāng)汽車經(jīng)過(guò)半徑為80
m的彎道時(shí)，下列判斷正確的是( )
A．汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力和向心力
B．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)所需的向心力為1.4×104N
C．汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)汽車會(huì)發(fā)生側(cè)滑
D．汽車能安全轉(zhuǎn)彎的向心加速度不超過(guò)7.0 m/s2
答案 D
解析 汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)所受的力有重力、彈力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A錯(cuò)誤；汽車轉(zhuǎn)彎的速度為20 m/s時(shí)，根據(jù)Fn＝m，得所需的向心力為1.0×104 N，沒(méi)有超過(guò)最大靜摩擦力，所以汽車不會(huì)發(fā)生側(cè)滑，B、C錯(cuò)誤；汽車安全轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大向心加速度為am＝＝7.0 m/s2，D正確．
例2
(多選)如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上，a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l，b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l.木塊與圓盤間的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，下列說(shuō)法正確的是( )
A．b一定比a先開始滑動(dòng)
B．a、b所受的摩擦力始終相等
C．ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
D．當(dāng)ω＝時(shí)，a所受摩擦力的大小為kmg
答案 AC
解析 小木塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由靜摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.當(dāng)角速度增大時(shí)，靜摩擦力增大，當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí)，發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，對(duì)木塊a有Ffa＝mωa2l，當(dāng)Ffa＝kmg時(shí)，kmg＝mωa2l，ωa＝；對(duì)木塊b有Ffb＝mωb2·2l，當(dāng)Ffb＝kmg時(shí)，kmg＝mωb2·2l，ωb＝，則ω＝是b開始滑動(dòng)的臨界角速度，所以b先達(dá)到最大靜摩擦力，即b比a先開始滑動(dòng)，選項(xiàng)A、C正確；兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，則Ffa＝mω2l，則Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；ω＝<ωa＝，a沒(méi)有滑動(dòng)，則Ffa′＝mω2l＝kmg，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
例3 細(xì)繩一端系住一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在光滑水平桌面上方h高度處，繩長(zhǎng)l大于h，使小球在桌面上做如圖所示的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g.若要小球不離開桌面，其轉(zhuǎn)速不得超過(guò)( )
A. B．2π
C. D.
答案 D
解析 對(duì)小球受力分析，小球受三個(gè)力的作用，重力mg、水平桌面支持力FN、繩子拉力F.小球所受合力提供向心力，設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，由幾何關(guān)系可知R＝htan θ，受力分析可知Fcos θ＋FN＝mg，Fsin θ＝m＝mω2R＝4mπ2n2R＝4mπ2n2htanθ；當(dāng)球即將離開水平桌面時(shí)，FN＝0，轉(zhuǎn)速n有最大值，此時(shí)nm＝，故選D.
例4 (多選)(2023·湖北省公安縣等六縣質(zhì)檢)如圖所示，AB為豎直放置的光滑圓筒，一根長(zhǎng)細(xì)繩穿過(guò)圓筒后一端連著質(zhì)量為m1＝5 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著一質(zhì)量為m2的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，長(zhǎng)細(xì)繩能承受的最大拉力為60 N，細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6 N．圓筒頂端A到C點(diǎn)的距離l1＝1.5 m，細(xì)繩BC剛好被水平拉直時(shí)長(zhǎng)l2＝0.9 m，轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒并逐漸緩慢增大角速度，在BC繩被拉直之前，用手拿著m1，保證其位置不變，在BC繩被拉直之后，放開m1，重力加速度g取10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是( )
A．在BC繩被拉直之前，AC繩中拉力逐漸增大
B．當(dāng)角速度ω＝ rad/s時(shí)，BC繩剛好被拉直
C．當(dāng)角速度ω＝3 rad/s時(shí)，AC繩剛好被拉斷
D．當(dāng)角速度ω＝4 rad/s時(shí)，BC繩剛好被拉斷
答案 ABD
解析 轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒并逐漸緩慢增大角速度的過(guò)程中，AC繩與豎直方向的夾角θ逐漸增大，m2豎直方向處于平衡，由FTAcos θ＝m2g，可知在BC繩被拉直之前，AC繩中拉力逐漸增大，A正確；BC繩剛好被拉直時(shí)，由幾何關(guān)系可知AC繩與豎直方向的夾角的正弦值sin θ＝，對(duì)小球m2受力分析，由牛頓第二定律可知m2gtan θ＝m2ω12l2，解得ω1＝ rad/s，B正確；當(dāng)ω＝3 rad/s> rad/s，BC繩被拉直且放開了m1，m1就一直處于平衡狀態(tài)，AC繩中拉力不變且為50 N，小于AC繩承受的最大拉力，AC未被拉斷，C錯(cuò)誤；對(duì)小球m2，豎直方向有m1gcosθ＝m2g，可得m2＝4 kg，當(dāng)BC被拉斷時(shí)有m1gsinθ＋FTBC＝m2ω22l2，解得ω2＝4 rad/s，D正確．
1．兩類模型對(duì)比
輕繩模型 (最高點(diǎn)無(wú)支撐) | 輕桿模型 (最高點(diǎn)有支撐) | |
實(shí)例 | 球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的“過(guò)山車”等 | 球與桿連接、球在光滑管道中運(yùn)動(dòng)等 |
圖示 |
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|
受力 示意圖 |
F彈向下或等于零 |
F彈向下、等于零或向上 |
力學(xué) 方程 | mg＋F彈＝m | mg±F彈＝m |
臨界 特征 | F彈＝0 mg＝m 即vmin＝ | v＝0 即F向＝0 F彈＝mg |
討論 分析 | (1)最高點(diǎn)，若v≥，F彈＋mg＝m，繩或軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力F彈 (2)若v<，則不能到達(dá)最高點(diǎn)，即到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 | (1)當(dāng)v＝0時(shí)，F彈＝mg，F彈背離圓心 (2)當(dāng)0<v<時(shí)，mg－F彈＝m，F彈背離圓心并隨v的增大而減小 (3)當(dāng)v＝時(shí)，F彈＝0 (4)當(dāng)v>時(shí)，mg＋F彈＝m，F彈指向圓心并隨v的增大而增大 |
2.解題技巧
(1)物體通過(guò)圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí)，利用合力提供向心力列牛頓第二定律方程；
(2)物體從某一位置到另一位置的過(guò)程中，用動(dòng)能定理找出兩處速度關(guān)系；
(3)注意：求對(duì)軌道的壓力時(shí)，轉(zhuǎn)換研究對(duì)象，先求物體所受支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力．
例5 (2023·陜西延安市黃陵中學(xué))如圖所示，一質(zhì)量為m＝0.5 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，用長(zhǎng)為0.4 m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，g＝10 m/s2，下列說(shuō)法不正確的是( )
A．小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)的速度至少為2 m/s
B．當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4 m/s時(shí)，輕繩拉力為15 N
C．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過(guò)4 m/s
D．若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球的最大速度不能超過(guò)4 m/s
答案 D
解析 設(shè)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v0，則根據(jù)牛頓第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正確；當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為v1＝4 m/s時(shí)，設(shè)輕繩拉力大小為FT，根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正確；小球在軌跡最低點(diǎn)處速度最大，此時(shí)輕繩的拉力最大，根據(jù)牛頓第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正確，D錯(cuò)誤．
例6 (2023·山東棗莊市八中月考)如圖，輕桿長(zhǎng)2l，中點(diǎn)裝在水平軸O上，兩端分別固定著小球A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn))，A球質(zhì)量為m，B球質(zhì)量為2m，重力加速度為g，兩者一起在豎直平面內(nèi)繞O軸做圓周運(yùn)動(dòng)．
(1)若A球在最高點(diǎn)時(shí)，桿的A端恰好不受力，求此時(shí)B球的速度大??；
(2)若B球到最高點(diǎn)時(shí)的速度等于第(1)問(wèn)中的速度，求此時(shí)O軸的受力大小和方向；
(3)在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過(guò)程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，求出此時(shí)A、B球的速度大?。?/p>
答案 (1) (2)2mg 方向豎直向下
(3)能；當(dāng)A、B球的速度大小為時(shí)，O軸不受力
解析 (1)A在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律得mg＝m，解得vA＝，因?yàn)?/span>A、B兩球的角速度相等，半徑相等，則vB＝vA＝；
(2)B在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)B根據(jù)牛頓第二定律得2mg＋FTOB′＝2m
代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0
對(duì)A有FTOA′－mg＝m
可得FTOA′＝2mg
根據(jù)牛頓第三定律，O軸所受的力大小為2mg，方向豎直向下；
(3)要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，設(shè)A、B的速度為v，可判斷B球應(yīng)在最高點(diǎn)
對(duì)B有FTOB″＋2mg＝2m
對(duì)A有FTOA″－mg＝m
O軸不受力時(shí)有FTOA″＝FTOB″
聯(lián)立可得v＝
所以當(dāng)A、B球的速度大小為時(shí)，O軸不受力．
物體在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等，解決此類問(wèn)題時(shí)，可以按以下操作，把問(wèn)題簡(jiǎn)化．
物體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn)，恰好滑動(dòng)時(shí)：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R.
例7 (多選)如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對(duì)稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，盤面上離轉(zhuǎn)軸2.5 m處有一小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))與圓盤始終保持相對(duì)靜止，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，盤面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2，則以下說(shuō)法中正確的是( )
A．小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，ω越大時(shí)，小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力一定越大
B．小物體受到的摩擦力可能背離圓心
C．若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則ω的最大值是1.0 rad/s
D．若小物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則ω的最大值是 rad/s
答案 BC
解析 當(dāng)物體在最高點(diǎn)時(shí)，也可能受到重力、支持力與摩擦力三個(gè)力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上(即背離圓心)，也可能沿斜面向下(即指向圓心)，摩擦力的方向沿斜面向上時(shí)，ω越大時(shí)，小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力越小，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)恰好不滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度最大，此時(shí)小物體受豎直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圓心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力 FN＝mgcos 30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故C正確，D錯(cuò)誤．
1．一汽車通過(guò)拱形橋頂時(shí)速度為10 m/s，車對(duì)橋頂?shù)膲毫檐囍氐?，如果要使汽車在該橋頂?duì)橋面恰好沒(méi)有壓力，車速為( )
A．15 m/s B．20 m/s
C．25 m/s D．30 m/s
答案 B
解析 當(dāng)FN′＝FN＝G時(shí)，有G－FN′＝m，所以G＝m；當(dāng)FN＝0時(shí)，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s，選項(xiàng)B正確．
2.(多選)如圖所示，三角形為一光滑錐體的正視圖，母線與豎直方向的夾角為θ＝37°.一根長(zhǎng)為l＝1 m的細(xì)線一端系在錐體頂端，另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不計(jì)空氣阻力，則( )
A．小球受重力、支持力、拉力和向心力
B．小球可能只受拉力和重力
C．當(dāng)ω＝ rad/s時(shí)，小球?qū)﹀F體的壓力剛好為零
D．當(dāng)ω＝2 rad/s時(shí)，小球受重力、支持力和拉力作用
答案 BC
解析 轉(zhuǎn)速較小時(shí)，小球緊貼錐體，則FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，隨著轉(zhuǎn)速的增加，FT增大，FN減小，當(dāng)角速度ω達(dá)到ω0時(shí)支持力為零，支持力恰好為零時(shí)有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A錯(cuò)誤，B、C正確；當(dāng)ω＝2 rad/s時(shí)，小球已經(jīng)離開斜面，小球受重力和拉力的作用，D錯(cuò)誤．
3.(多選)(2023·湖北省華大新高考聯(lián)盟名校聯(lián)考)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑固定細(xì)管(忽略管的內(nèi)徑)，半徑OB水平、OA豎直，一個(gè)直徑略小于管內(nèi)徑的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))由B點(diǎn)以某一初速度v0進(jìn)入細(xì)管，之后從管內(nèi)的A點(diǎn)以大小為vA的水平速度飛出．忽略空氣阻力，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是( )
A．為使小球能從A點(diǎn)飛出，小球在B點(diǎn)的初速度必須滿足v0>
B．為使小球能從A點(diǎn)飛出，小球在B點(diǎn)的初速度必須滿足v0>
C．為使小球從A點(diǎn)水平飛出后再返回B點(diǎn)，小球在B點(diǎn)的初速度應(yīng)為v0＝
D．小球從A點(diǎn)飛出的水平初速度必須滿足vA>，因而不可能使小球從A點(diǎn)水平飛出后再返回B點(diǎn)
答案 BC
解析 小球能從A點(diǎn)飛出，則在A點(diǎn)的最小速度大于零，則由機(jī)械能守恒定律有mv02>mgR，則小球在B點(diǎn)的初速度必須滿足v0>，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；為使小球從A點(diǎn)水平飛出后再返回B點(diǎn)，則R＝vAt，R＝gt2，聯(lián)立解得vA＝，mv02＝mgR＋mvA2，小球在B點(diǎn)的初速度應(yīng)為v0＝，選項(xiàng)C正確；要使小球從A點(diǎn)飛出，則小球在A點(diǎn)的速度大于零即可，由選項(xiàng)C的分析可知，只要小球在A點(diǎn)的速度為，小球就能從A點(diǎn)水平飛出后再返回B點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
4.如圖所示，質(zhì)量為1.6 kg、半徑為0.5 m的光滑細(xì)圓管用輕桿固定在豎直平面內(nèi)，小球A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn))的直徑略小于細(xì)圓管的內(nèi)徑(內(nèi)徑遠(yuǎn)小于細(xì)圓管半徑)．它們的質(zhì)量分別為mA＝1 kg、mB＝2 kg.某時(shí)刻，小球A、B分別位于圓管最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，且A的速度大小為vA＝3 m/s，此時(shí)桿對(duì)圓管的彈力為零．則B球的速度大小vB為(取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
答案 B
解析 對(duì)A球，合外力提供向心力，設(shè)管對(duì)A的支持力為FA，由牛頓第二定律有FA－mAg＝mA，代入數(shù)據(jù)解得FA＝28 N，由牛頓第三定律可得，A球?qū)艿牧ωQ直向下為28 N，設(shè)B球?qū)艿牧?/span>FB′，由管的受力平衡可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，負(fù)號(hào)表示和重力方向相反，由牛頓第三定律可得，管對(duì)B球的力FB為44 N，方向豎直向下，對(duì)B球由牛頓第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故選B.
5.(2023·湖南岳陽(yáng)市第十四中學(xué)檢測(cè))如圖所示，疊放在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上的物體 A、B及物體 C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B、C 的質(zhì)量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉(zhuǎn)臺(tái)間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，A 和B、C離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離分別為r和1.5r.最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，物體A、B、C均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是( )
A．B對(duì)A的摩擦力一定為3μmg
B．B對(duì)A的摩擦力一定為3mω2r
C．轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度需要滿足ω≤
D．若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度逐漸增大，最先滑動(dòng)的是A物體
答案 B
解析 由于物體 A、B及物體 C能隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則三個(gè)物體受到的均為靜摩擦力，由靜摩擦力提供向心力，則B對(duì)A的摩擦力一定為FfA＝3mω2r，又有0<FfA≤Ffmax＝3μmg，由于角速度大小不確定，B對(duì)A的摩擦力不一定達(dá)到最大靜摩擦力3μmg，A錯(cuò)誤，B正確；若物體A達(dá)到最大靜摩擦力，則3μmg＝3mω12r，解得ω1＝，若轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體B達(dá)到最大靜摩擦力，對(duì)A、B整體有5μmg＝5mω22r，解得ω2＝，若物體C達(dá)到最大靜摩擦力，則μmg＝mω32×1.5r，解得ω3＝，可知ω1＝ω2>ω3，由于物體A、B及物體C均隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度需要滿足ω≤ω3＝，該分析表明，當(dāng)角速度逐漸增大時(shí)，物體C所受摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，即若轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度逐漸增大，最先滑動(dòng)的是C物體，C、D錯(cuò)誤．
6．(2023·四川綿陽(yáng)市診斷)如圖所示，輕桿長(zhǎng)3L，在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B(均可視為質(zhì)點(diǎn))，光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過(guò)桿上距球A為L處的O點(diǎn)，外界給系統(tǒng)一定能量后，桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力．忽略空氣阻力，重力加速度為g，則球B在最高點(diǎn)時(shí)( )
A．球B的速度為零
B．球A的速度大小為
C．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mg
D．水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為2.5mg
答案 C
解析 球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球B恰好無(wú)作用力，即僅重力提供向心力，則有mg＝m，解得vB＝，故A錯(cuò)誤；由于A、B兩球的角速度相等，則球A的速度大小vA＝，故B錯(cuò)誤；B球在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)桿無(wú)彈力，此時(shí)A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，即桿受到的彈力大小為1.5mg，可知水平轉(zhuǎn)軸對(duì)桿的作用力為1.5mg，C正確，D錯(cuò)誤．
7.(2023·重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)月考)如圖所示，在傾角為α＝30°的光滑斜面上有一長(zhǎng)L＝0.8 m的輕桿，桿一端固定在O點(diǎn)，可繞O點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端系一質(zhì)量為m＝0.05 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，小球在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)，g取10 m/s2.要使小球能到達(dá)最高點(diǎn)A，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是( )
A．4 m/s B．2 m/s
C．2 m/s D．2 m/s
答案 A
解析 小球恰好到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度大小為vA＝0，此時(shí)對(duì)應(yīng)B點(diǎn)的速度最小，設(shè)為vB，對(duì)小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理有mvB2－mvA2＝2mgLsinα，代入數(shù)據(jù)解得vB＝4 m/s，故選A.
8.(多選)如圖所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的、相同的木塊A和B放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長(zhǎng)為L的水平細(xì)繩連接，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，A放在距離轉(zhuǎn)軸L處，整個(gè)裝置能繞通過(guò)轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)，繩恰好伸直但無(wú)彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使角速度緩慢增大，以下說(shuō)法正確的是(重力加速度為g)( )
A．當(dāng)ω>時(shí)，A、B會(huì)相對(duì)于轉(zhuǎn)盤滑動(dòng)
B．當(dāng)ω>，繩子一定有彈力
C．ω在<ω<范圍內(nèi)增大時(shí)，B所受摩擦力變大
D．ω在0<ω<范圍內(nèi)增大時(shí)，A所受摩擦力一直變大
答案 ABD
解析 當(dāng)A、B所受摩擦力均達(dá)到最大值時(shí)，A、B相對(duì)轉(zhuǎn)盤即將滑動(dòng)，則有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得ω＝，A項(xiàng)正確；當(dāng)B所受靜摩擦力達(dá)到最大值后，繩子開始有彈力，即有Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知當(dāng)ω>時(shí)，繩子有彈力，B項(xiàng)正確；當(dāng)ω>時(shí)，B已達(dá)到最大靜摩擦力，則ω在<ω<范圍內(nèi)增大時(shí)，B受到的摩擦力不變，C項(xiàng)錯(cuò)誤；ω在0<ω<范圍內(nèi)，A相對(duì)轉(zhuǎn)盤是靜止的，A所受摩擦力為靜摩擦力，所以由Ff－FT＝mLω2可知，當(dāng)ω增大時(shí)，靜摩擦力也增大，D項(xiàng)正確．
9．(多選)(2023·湖北省重點(diǎn)中學(xué)檢測(cè))如圖甲所示的陀螺可在圓軌道的外側(cè)旋轉(zhuǎn)而不脫落，好像軌道對(duì)它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”，該玩具深受孩子們的喜愛(ài)．其物理原理可等效為如圖乙所示的模型：半徑為R的磁性圓軌道豎直固定，質(zhì)量為m的小鐵球(視為質(zhì)點(diǎn))在軌道外側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)分別為軌道上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)．鐵球受軌道的磁性引力始終指向圓心且大小不變，重力加速度為g，不計(jì)摩擦和空氣阻力．下列說(shuō)法正確的是( )
A．鐵球可能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒
C．鐵球在A點(diǎn)的速度一定大于或等于
D．要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg
答案 BD
解析 鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)受到重力、軌道的磁性引力和軌道的彈力作用，而軌道的磁性引力和彈力總是與速度方向垂直，故只有重力對(duì)鐵球做功，鐵球做變速圓周運(yùn)動(dòng)，鐵球繞軌道轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；鐵球在A點(diǎn)時(shí)，有mg＋F吸－FNA＝m，當(dāng)FNA＝mg＋F吸時(shí)，vA＝0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；鐵球從A到B的過(guò)程，由動(dòng)能定理有2mgR＝mvB2－mvA2，當(dāng)vA＝0時(shí)，鐵球在B點(diǎn)的速度最小，解得vBmin＝2，球在B點(diǎn)處，軌道對(duì)鐵球的磁性引力最大，F吸－mg－FNB＝m，當(dāng)vB＝vBmin＝2且FNB＝0時(shí)，解得F吸min＝5mg，故要使鐵球不脫軌，軌道對(duì)鐵球的磁性引力至少為5mg，選項(xiàng)D正確．
10.(多選)如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為R＝0.35 m且內(nèi)壁光滑的圓形軌道，軌道底端與光滑水平面相切，一小球(可視為質(zhì)點(diǎn))以v0＝3.5 m/s的初速度進(jìn)入軌道，g＝10 m/s2，則( )
A．小球不會(huì)脫離圓軌道
B．小球會(huì)脫離圓軌道
C．小球脫離軌道時(shí)的速度大小為 m/s
D．小球脫離軌道的位置與圓心連線和水平方向間的夾角為30°
答案 BCD
解析 若小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)，由重力提供向心力，則有mg＝m，解得v＝＝ m/s，若小球從最低點(diǎn)恰好能到最高點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得mv0′2＝mg·2R＋mv2，解得v0′＝ m/s>v0＝3.5 m/s，故小球不可能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，小球會(huì)脫離圓軌道，故A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)當(dāng)小球脫離軌道時(shí)，其位置與圓心連線和水平方向間的夾角為θ，小球此時(shí)只受重力作用，將重力分解如圖所示．
在脫離點(diǎn)，支持力等于0，由牛頓第二定律得mgsin θ＝m，從最低點(diǎn)到脫離點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律得mv02＝mgR(1＋sin θ)＋mv12，聯(lián)立解得sin θ＝，即θ＝30°，則v1＝＝ m/s，故C、D正確．
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