專題31 點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系
（滿分：100分 時(shí)間：90分鐘）
班級_________ 姓名_________ 學(xué)號_________ 分?jǐn)?shù)_________
一、單選題(共10小題，每小題3分，共計(jì)30分)
1．（重慶中考真題）如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OA，OB，若∠B=35°，則∠AOB的度數(shù)為（ ?。?/span>
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【分析】
根據(jù)切線性質(zhì)求出∠OAB=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．
【詳解】
解：∵AB為⊙O切線，
∴∠OAB=90°，
∵∠B=35°，
∴∠AOB=90°-∠B=55°．
故選：B．
2．（江蘇常州市·中考真題）如圖，
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半可知MH=BC，當(dāng)BC為直徑時(shí)長度最大，即可求解．
【詳解】
解：∵
∴∠BHC=90°
∵在Rt△BHC中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)
∴MH=BC
∵BC為的弦
∴當(dāng)BC為直徑時(shí)，MH最大
∵的半徑是3
∴MH最大為3．
故選：A．
3．（江蘇徐州市·中考真題）如圖，
A．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意可求出∠APO、∠A的度數(shù)，進(jìn)一步可得∠ABO度數(shù)，從而推出答案.
【詳解】
∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵點(diǎn)C在過點(diǎn)B的切線上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC?∠ABO=90°?20°=70°，
故答案為：B.
4．（山東濟(jì)寧市·中考真題）如圖，在△ABC中點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心,∠A=60°,CD=2,BD=4．則△DBC的面積是（ ）
A．4
【答案】B
【分析】
過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．由點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，得∠BDC=120°，則∠BDH=60°，由BD=4，BD：CD=2：1得BH=2，CD=2，于是求出△DBC的面積．
【詳解】
解：過點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H．
∵點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，
∴∠BDC=90°+∠A=90°+×60°=120°，
則∠BDH=60°，
∵BD=4，BD：CD=2：1
∴DH=2，BH=2，CD=2，
∴△DBC的面積為CD·BH=×2×2=2.
故選B.
5．（四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于，則
A．
【答案】B
【分析】
過點(diǎn)O作，，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)垂徑定理可得△OBM與△ODN是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得到結(jié)果．
【詳解】
如圖，過點(diǎn)O作，，設(shè)圓的半徑為r，
∴△OBM與△ODN是直角三角形，，
∵等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于，
∴,，
∴，，
∴，，
∴．
故答案選B．
6．（山東泰安市·中考真題）如圖，
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【分析】
連接OA，求出∠POA= 80°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠OAB=∠OBA=50°，進(jìn)而求出∠AOC=130°，得到∠C=25°，根據(jù)平行線性質(zhì)即可求解．
【詳解】
解：如圖，連接OA，
∵是的切線，
∴∠PAO=90°，
∵，
∴∠POA=90°-∠P=80°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50°，
∵，
∴∠BOC=∠ABO=50°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=25°，
∵，
∴∠BAC=∠C=25°．
7．（黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖
A．
【答案】B
【分析】
根據(jù)同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由可求出∠AOC=．再由AB為圓O的切線，得AB⊥OA，由直角三角形的兩銳角互余，即可求出∠ABO的度數(shù)，
【詳解】
解：∵ ，
∴，
∵AB為圓O的切線，
∴AB⊥OA，即∠OAB=90°，
∴，
故選：B．
8．（四川瀘州市·中考真題）如圖，等腰
A．
【答案】D
【分析】
如圖，連接、、，交于，先證明點(diǎn)、、共線，即，從而可得，在中，利用勾股定理求出AE長，再由切線長定理求得BD長，進(jìn)而得AD長，設(shè)⊙的半徑為，則， ，
在中，利用勾股定理求得，在中，求得，再證明OB垂直平分，利用面積法可得，求得HE長即可求得答案.
【詳解】
連接、、，交于，如圖，
等腰的內(nèi)切圓⊙與，，分別相切于點(diǎn)，，
平分， ， ，，
，
，
點(diǎn)、、共線，
即，
，
在中， ，
，
，
設(shè)⊙的半徑為，則， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故選D．
9．（重慶中考真題）如圖，AB是⊙
A．
【答案】C
【分析】
由AC是⊙的切線可得∠CAB=,又由，可得∠ABC=40;再由OD=OB，則∠BDO=40最后由∠AOD=∠OBD+∠OBD計(jì)算即可.
【詳解】
解：∵AC是⊙的切線
∴∠CAB=,
又∵
∴∠ABC=-=40
又∵OD=OB
∴∠BDO=∠ABC=40
又∵∠AOD=∠OBD+∠OBD
∴∠AOD=40+40=80
故答案為C.
10．（山東中考真題）如圖,O的直徑AB=2,點(diǎn)D在AB的延長線上,DC與O相切于點(diǎn)C,連接AC.若∠A=30°,則CD長為( )
A．
【答案】D
【分析】
先連接BC，OC，由于AB 是直徑，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又DC是切線，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性質(zhì)可求∠D，再由切線的性質(zhì)可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得OD，由勾股定理可得CD．
【詳解】
如圖所示，連接BC，OC，
∵AB是直徑,
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°?30°=60°，
∵DC是切線，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA?∠BCD=60°?30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=，
故選D.
二、填空題(共5小題，每小題4分，共計(jì)20分)
11．（江蘇蘇州市·中考真題）如圖，已知
【答案】25
【分析】
先由切線的性質(zhì)可得∠OAC=90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠AOD=50°，最后根據(jù)“同弧所對的圓周角等于圓心角的一半”即可求出∠B的度數(shù)．
【詳解】
解：∵是的切線，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案為：25．
12．（四川達(dá)州市·中考真題）已知的三邊a、b、c滿足
【答案】1
【分析】
先將變形成，然后根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求得a、b、c的值，再運(yùn)用勾股定理逆定理說明△ABC是直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和與斜邊差的一半解答即可．
【詳解】
解：
則=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的內(nèi)切圓半徑==1．
故答案為1．
13．（江蘇泰州市·中考真題）如圖，直線
【答案】3或5
【分析】
根據(jù)切線的性質(zhì)可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解．
【詳解】
∵
∴與直線相切，OH=1
當(dāng)在直線a的左側(cè)時(shí)，OP=PH-OH=4-1=3；
當(dāng)在直線a的右側(cè)時(shí)，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案為3或5．
14．（浙江臺州市·中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE．若⊙O與BC相切，∠ADE=55°，則∠C的度數(shù)為_____________ ．
【答案】55°
【分析】
根據(jù)AD是直徑可得∠AED=90°，再根據(jù)BC是⊙O的切線可得∠ADC=90°，再根據(jù)直角的定義及角度等量替換關(guān)系即可得到∠C=∠ADE=55°．
【詳解】
∵AD是直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAE=90°
∴∠C=∠ADE=55°．
故答案為：55°．
15．（山東棗莊市·中考真題）如圖，AB是的直徑，PA切于點(diǎn)A，線段PO交于點(diǎn)C．連接BC，若
【答案】27°
【分析】
連接AC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角、切線的定義得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，因此可得，求解即可．
【詳解】
如圖，連接AC，
是的直徑，
∴，
∴，
∵PA切于點(diǎn)A，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案為：．
三、解答題(共5小題，每小題10分，共計(jì)50分)
16．（江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，且∠CAD=∠ABC．
（1）請判斷直線AC是否是⊙O的切線，并說明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】
（1）如圖，連接OA，由圓周角定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得結(jié)論；
（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面積法可求AE的長，由勾股定理可求AB的長．
【詳解】
（1）直線AC是⊙O的切線，
理由如下：如圖，連接OA，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半徑，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
17．（江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，內(nèi)接于
（1）試判斷AE與
（2）若
【答案】（1）AE與⊙O相切，理由見詳解；（2）．
【分析】
（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，進(jìn)而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）連接AD，利用解直角三角形求出圓的半徑，然后根據(jù)，即可求出陰影部分的面積．
【詳解】
（1）AE與⊙O相切，理由如下：
連接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切線；
（2）連接AD，則，
∴∠DAC=90°，
∴CD為⊙O的直徑，
在Rt△ACD中，AC=6，∠OCA=30°，
∴，
∴，
∴，∠AOD=60°，
∴
∴．
18．（甘肅金昌市·中考真題）如圖，圓
（1）求
（2）若
【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．
【分析】
（1）如圖（見解析），設(shè)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；
（2）如圖（見解析），設(shè)圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】
（1）如圖，連接OA
設(shè)
，
AE是圓O的切線
，即
在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：
即
解得
則由圓周角定理得：
故的度數(shù)為；
（2）如圖，連接AD
設(shè)圓O的半徑為，則
BD是圓O的直徑
由（1）可知，
則在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符題意，舍去）
則圓O的半徑為2．
19．（江蘇鹽城市·中考真題）如圖，是的外接圓，
（1）求證：
（2）若
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
(1)連接OC，由AB是圓O的直徑得到∠BCA=90°，進(jìn)一步得到∠A+∠B=90°，再根據(jù)已知條件，且∠A=∠ACO即可證明∠OCD=90°進(jìn)而求解；
(2)證明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，進(jìn)而得到∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF，進(jìn)而得到△DFC為等腰三角形．
【詳解】
解：(1)證明：連接，
為圓的直徑，
又
又點(diǎn)在圓上，
是的切線．
(2)
又
是等腰三角形．
20．（湖南湘潭市·中考真題）如圖，在
（1）求證：
（2）判斷直線
【答案】（1）見解析；（2）直線與相切，理由見解析．
【分析】
（1）AB為的直徑得，結(jié)合AB=AC，用HL證明全等三角形；
（2）由得BD=BC，結(jié)合AO=BO得OD為的中位線，由得，可得直線DE為切線．
【詳解】
（1）∵AB為的直徑
∴
在和中
∴（HL）
（2）直線與相切，理由如下：
連接OD，如圖所示：
由知：，
又∵OA=OB
∴OD為的中位線
∴
∵
∴
∵OD為的半徑
∴DE與相切．
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