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E=mc²所謂的質能方程是影響世界最著名的方程之一，這在流行文化中可見一斑。愛因斯坦是從相對論出發(fā)深刻地闡述了理解質量-能量等價關系，盡管絕大部分人并不理解相對論真正所討論的——“不僅相對論不是相對的，即使是這個標志性的方程，也不是它表面看起來的樣子?！?/span>

本文經(jīng)授權摘自《改變世界的17個方程》（人民郵電出版社·圖靈新知）第13章《有一事絕對：相對論》，有刪節(jié)，文中略有改動。點擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至4月23日我們會選出1條留言，贈書一本。

撰文 | 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

翻譯 | 勞佳

正如頂著驚人的“拖把頭”的阿爾伯特·愛因斯坦是流行文化中極為典型的科學家一樣，他的方程E=mc²也是最為典型的方程。人們普遍認為這個等式導致了核武器的發(fā)明，它源于愛因斯坦的相對論，而這個理論說的就是各種“相對的”東西。（很顯然嘛?。?/span>事實上，許多社會相對主義者高興地呼喊“一切都是相對的”，并認為這能和愛因斯坦扯上關系。

然而并沒什么關系。愛因斯坦將他的理論稱為“相對論”，是因為它修正了傳統(tǒng)上牛頓力學使用的相對運動的規(guī)則，這個規(guī)則說運動確實是相對的，取決于觀察它的參照系，非常簡單直觀。愛因斯坦不得不調(diào)整牛頓的相對論，才能理解一個令人困惑的實驗發(fā)現(xiàn)：有一個特定的物理現(xiàn)象根本不是相對的，而是絕對的。由此，他得出了一種新的物理學：當物體運動得非常快時，物體會收縮，時間減慢到仿佛蝸牛爬行，而質量可以無限增加。結合對引力的拓展，我們對宇宙的起源和宇宙的結構有了迄今最好的理解。它基于空間和時間可以彎曲的想法。

相對論是真實的。GPS（用于汽車衛(wèi)星導航等）只有在對相對論效應進行校正后才能工作。粒子加速器也是如此，例如大型強子對撞機。它目前正在尋找希格斯玻色子，這種粒子被認為是質量的起源?，F(xiàn)代通信已變得如此之快，以至于市場交易者開始遇到相對論的限制：光速。這是任何消息（例如買賣股票的互聯(lián)網(wǎng)指令）都可以傳播的最快速度。有些人認為，這是一個比競爭對手早幾納秒達成交易的機會，但目前為止，相對論效應并沒有對國際金融產(chǎn)生嚴重影響。然而，人們已經(jīng)找到了設立新的股票交易所或券商的最佳位置。這只是時間問題。

無論如何，不僅相對論不是相對的，即使是這個標志性的方程，也不是它表面看起來的樣子。當愛因斯坦第一次得出它所代表的物理觀點時，他并沒有把它寫成我們熟悉的方程。它不是相對論的數(shù)學結果，但如果接受各種物理假設和定義，就可以從相對論得出它。最標志性的方程現(xiàn)在不是——過去也不是——它看似代表的東西，產(chǎn)生它的理論也不是。人類文化里可能有很多這種事情。哪怕是方程和核武器之間的關系也并不十分明確——比起愛因斯坦作為最為標志性的科學家的政治影響力，方程對于第一顆原子彈的歷史影響都相形見絀。

“相對論”涵蓋了兩個截然不同但相關的理論：狹義相對論和廣義相對論。我會用愛因斯坦的著名方程作為談論兩者的借口。狹義相對論是關于在沒有引力的情況下的空間、時間和物質，廣義相對論則考慮了引力。這兩個理論都屬于同一個大框架，但愛因斯坦辛苦工作了十年，才發(fā)現(xiàn)了如何修改狹義相對論來引入引力。牛頓物理學不能符合觀測的難題使這兩種理論都受到了啟發(fā)，但這一標志性的方程出現(xiàn)在狹義相對論中。

在牛頓時代，物理學似乎相當簡明、直觀。空間是空間，時間是時間，涇渭分明?？臻g的幾何是歐幾里得幾何。時間與空間無關，對于所有觀察者來說都是一樣的——只要他們的時鐘同步。物體的質量和大小在運動時沒有變化，時間在各處總是以相同的速度流逝。但是當愛因斯坦完成了物理學的重構之后，所有這些說法（非常直觀，以至于很難想象它們中的任何一個都不能代表現(xiàn)實）都被證明是錯誤的。

當然，它們并非完全錯誤。如果真的是無稽之談，那么牛頓的工作根本不會成功。牛頓對物理宇宙的描繪是一種近似，而不是精確的描述。只要所涉及的一切都在緩慢運動（在大多數(shù)日常情況下如此），這種近似就是非常準確的。在這個意義上，即使是以兩倍于聲速飛行的噴氣式戰(zhàn)斗機也是緩慢運動的。但是，日常生活中確實有一個東西運動得非?？?，并為所有其他速度設定了標準：光。牛頓和他的后繼者已經(jīng)證明了光是一種波，麥克斯韋方程組確證了這一點。但光作為波的性質引發(fā)了一個新問題。海浪是水中的波，聲波是空氣中的波，地震是地球中的波。所以光波是……什么中的波？

在數(shù)學上，光是電磁場中的波，而我們認為電磁場遍布整個空間。當電磁場被激發(fā)，也就是被迫產(chǎn)生電和磁時，我們就觀察到了波。但是當電磁場沒有被激發(fā)時會發(fā)生什么？沒有波，海洋仍然是海洋，空氣仍然是空氣，地球仍然是地球。類似地，電磁場仍然是……電磁場。但如果沒有電或磁，你就無法觀察到電磁場。如果你觀察不到它，它是什么？它是不是根本不存在？

除了電磁場之外，物理學中所有已知的波都是有形的波。所有三種類型的波——水、空氣、地震——都是運動波。介質上下運動或左右搖晃，但通常不隨波浪行進（將一根長繩系在墻上并甩動一端：波沿著繩子傳播。但是繩子不會沿著繩子運動）。也有例外：當空氣與波一起行進時，我們稱之為“風”；當海浪撞到海灘上時，海浪會將水推到海灘上。但即使我們將海嘯描述為移動的水墻，它也不會像在球場滾動的足球一樣滾過海洋的頂部。大多數(shù)情況下，任何給定位置的水都是上下運動的。前進的其實是波峰的位置。直到水靠近岸邊，你看到的東西才更像一堵移動的墻。

光和一般的電磁波似乎沒有任何有形的波。在麥克斯韋的時代，以及之后五十年或更長的時間里，這一點令人不安。牛頓的萬有引力定律長期以來一直受到批評，因為它意味著引力以某種方式“超距作用”，這在哲學原則上看來是個奇跡，就像你坐在看臺上，卻將球踢進球門一樣。說它由“引力場”傳播，并沒有真正解釋發(fā)生了什么。電磁學也是如此。因此，物理學家們認為有一些媒介——沒有人知道它們是什么，于是他們說，支持電磁波的是“發(fā)光的以太”，或者簡稱“以太”。介質越堅硬，振動傳播得就越快，光速確實非?？欤虼艘蕴仨毞浅杂?。然而，行星可以毫無阻力地穿過它。為避免被輕易探測到，以太必須沒有質量，沒有黏度，不可壓縮，并且對所有形式的輻射都是完全透明的。

這一套性質的組合讓人泄氣，但幾乎所有的物理學家都認為以太存在，因為光顯然做了光做的那些事。總得有些什么來承載波。此外，原則上可以檢測到以太的存在，因為光的另一個特征提示了一種觀察它的方法。在真空中，光以固定的速度c運動。牛頓力學教會了每個物理學家去問：相對于什么的速度？如果你在兩個相對運動的不同參照系中測量速度，則會得到不同的答案。光速的恒定有一個明顯的解釋：相對于以太。但這個答案有點兒輕率，因為兩個參照系如果彼此之間有相對運動，就無法同時相對于以太靜止。

當?shù)厍蚵舆^以太時（奇跡般地沒有阻力），它圍繞著太陽運轉。在軌道的相對點處，它朝著相反的方向運動。因此，按照牛頓力學，光速的變化范圍應該在兩個極端之間：c加上地球相對于以太運動的貢獻，以及c減去這一貢獻。測量光速，六個月后再測一次，求出差異。如果有差異，則證明以太存在。在19世紀后期，人們沿著這些方向進行了許多實驗，但結果沒有定論。要么沒有差異，要么有差異，但實驗方法不夠準確。更糟糕的是，地球可能會拖著以太一起走。這將同時解釋為什么地球可以在沒有阻力的情況下穿過這樣一個剛性介質，并且意味著你不應該看到光速的任何差異。地球相對于以太的運動總是不存在。

1887年，阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）和愛德華·莫雷（Edward Morley）進行了有史以來最著名的物理實驗之一。他們的設備被設計用于檢測兩個彼此垂直的方向上光速的極小變化。不管地球相對于以太如何運動，它無法在兩個不同的方向上以相同的相對速度運動……除非碰巧沿著這兩個方向的角平分線運動，真是這樣的話，你只需稍稍旋轉設備，再試一次。

這個設備（圖1）小到足以放在實驗室的桌子上。它使用半鍍銀鏡將一束光分成兩部分，一部分穿過鏡子，另一部分反射后轉一個直角。每個單獨的光束都會沿其路徑反射回來，兩個光束再次組合擊中探測器。調(diào)整設備，以使路徑長度相同。原始光束被設置為相干光，意味著兩個波彼此同步——所有波都具有相同的相位，波峰對波峰。兩個光束各自方向上的光速之間的任何差異，都將導致相位相對移動，波峰將會錯開。這會讓兩個波之間出現(xiàn)干涉，從而產(chǎn)生“干涉條紋”圖案。地球相對于以太的運動會導致條紋移動。它的效果很?。焊鶕?jù)已知地球相對于太陽的運動，干涉條紋將偏移條紋寬度的4%左右。利用多次反射，可以將其增加到40%，這樣就可以檢測到條紋了。為了避免地球恰好沿著兩條光束的平分線運動的巧合情況，邁克耳孫和莫雷使設備漂浮在水銀浴上，以便其輕松、快速地旋轉。這樣，就應該可以觀察到條紋同樣快速地移動。

圖1 邁克耳孫–莫雷實驗示意圖

這是一個精心完成的精確實驗。其結果完全是否定的。條紋沒有偏移其寬度的40%。所有人都可以肯定地說，條紋根本沒有動。后來的實驗能夠檢測到條紋寬度偏移0.07%，也給出了否定的結果。以太不存在。

這個結果不僅僅否定了以太，也威脅到麥克斯韋的電磁學理論。這意味著光不以牛頓的方式相對于運動參照系行事。這個問題可以追溯到麥克斯韋方程組的數(shù)學性質，以及它們?nèi)绾蜗鄬τ谶\動參照系進行變換。愛爾蘭物理學家兼化學家喬治·菲茨杰拉德（George FitzGerald）和荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲（Hendrik Lorenz）各自獨立（分別于1892年和1895年）提出了一個解決問題的大膽方法。如果一個運動的物體在其運動方向上稍微收縮（還要恰好適量），那么邁克耳孫–莫雷實驗期待檢測到的相位變化，將被光線所走過的路徑的長度變化完全抵消。洛倫茲證明了，這種“洛倫茲–菲茨杰拉德收縮”也解決了麥克斯韋方程組面臨的數(shù)學困難。這一聯(lián)合發(fā)現(xiàn)表明，包括光在內(nèi)的電磁學實驗結果不依賴于參照系的相對運動。龐加萊也一直在沿著類似的思路工作，為這個想法加入了他令人信服的智慧。

現(xiàn)在輪到愛因斯坦登場了。1905年，他在論文《論運動物體的電動力學》中發(fā)展并擴展了先前關于相對運動新理論的推測。他的工作在兩個方面超越了前輩。他證明了需要對相對運動的數(shù)學公式做出必要的改變，這不僅僅是解決電磁學問題的一個技巧，而且是所有物理定律所必需的。因此，新的數(shù)學必須是對現(xiàn)實的真實描述，具有與通行的牛頓描述相同的哲學地位，卻與實驗吻合得更好。這是真正的物理學。

牛頓所采用的相對運動的觀點甚至可以追溯到伽利略。在其1632年的《關于兩個主要世界體系的對話》（Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo）中，伽利略討論了一艘在一片完全平坦的海面上以恒定速度行進的船，并稱在甲板下面進行的任何力學實驗都無法發(fā)現(xiàn)船在運動。這是伽利略的相對性原理：在力學中，在兩個相對于彼此勻速運動的參照系中進行的觀察并無區(qū)別。特別是，沒有一個“靜止”的特殊參照系。愛因斯坦的出發(fā)點是相同的原則，但還加上了一個轉折：它不僅適用于力學，而且適用于所有物理定律——其中當然包括麥克斯韋方程組和光速的恒定性。

對于愛因斯坦來說，邁克耳孫–莫雷實驗只是一小部分額外的證據(jù)，卻沒有證明主要的問題。他的新理論成立的證明基于其擴展的相對性原理，以及這個原理對物理定律的數(shù)學結構的影響。如果你接受了這個原理，其他一切就是自然而然的了。這就是為什么這個理論被稱為“相對論”——不是因為“一切都是相對的”，而是因為你必須考慮到這一切是以何種方式相對的。而這會出乎你的意料。

這個版本的愛因斯坦理論被稱為“狹義相對論”，因為它僅適用于相對于彼此勻速運動的參照系。其結果包括洛倫茲–菲茨杰拉德收縮，現(xiàn)在人們把它解釋為時空的一個必要性質。事實上，有三個相關的效應。如果一個參照系相對于另一個參照系勻速運動，那么在該參照系中測量的長度會沿著運動方向收縮，質量增加，并且時間流逝得更慢。這三種效應由能量和動量的基本守恒定律聯(lián)系在一起；一旦你接受了其中一個，其他的就是合乎邏輯的結果。

這些效應的專業(yè)表達，就是描述兩個參照系中的量度之間關系的公式。概括一下就是：如果物體可以接近光速運動，那么它的長度將變得非常小，時間會慢慢爬行，而質量會變得非常大。我在這里稍稍講一些數(shù)學的東西：物理描述不應該理解得太字面化，而要用正確的語言表述它就得講太多了。這一切都來自……畢達哥拉斯定理。科學中最古老的方程之一，帶來了最新的方程之一。

假設宇宙飛船從頭頂上以速度v飛過，并且機組人員做了一個實驗。它們從機艙地板向艙頂發(fā)出一個光脈沖，測量時間為T。與此同時，地面觀察員通過望遠鏡觀察實驗（假設宇宙飛船是透明的），測量時間為t。

圖2（左）展示了從機組人員的視角看實驗的幾何關系。對他們來說，光是垂直向上的。因為光的速度為c，所以行進的距離就是cT，用虛線箭頭表示。圖2（右）展示了從地面觀察者的視角看實驗的幾何關系。宇宙飛船已運動了距離vt，因此光線沿斜線運動。由于光相對于地面觀察者也以速度c行進，因此斜線的長度為ct。但虛線的長度與左圖中虛線箭頭的長度相同，即cT。根據(jù)畢達哥拉斯定理，

我們求解T，得到

它小于t。

圖2 左：機組人員參照系中的實驗。右：地面觀察者參照系中的同一實驗?；疑硎井敼馐_始行進時，從地面看到的飛船的位置；黑色表示光束完成旅程時飛船的位置

為了得出洛倫茲–菲茨杰拉德收縮，我們現(xiàn)在想象宇宙飛船以速度v行進到距離地球x的行星。于是經(jīng)過的時間是。但是之前的公式表明，對于機組人員來說，所用的時間是T而不是t，而距離X必須滿足。因此

它小于x。

質量變化的推導稍微復雜一些，它取決于對質量的特定解釋——“靜質量”m₀，這里我就不詳細說明了。公式是

它大于m 。

這些方程告訴我們關于光速（實際上是光）的一些非常特殊的東西。這種形式的一個重要結果是，光速是一個難以逾越的障礙。如果一個物體一開始比光慢，我們就無法把它加速到大于光的速度。2011年9月，在意大利工作的物理學家宣布，一種稱為中微子的亞原子粒子似乎比光更快。他們的觀察是有爭議的，但如果得到證實，那么它將帶來重要的新物理學。(編者注：后被證明是因為與GPS接收器連接的光纖電纜沒有完全擰緊而造成的誤差。)

畢達哥拉斯也以某種形式在相對論中出現(xiàn)了。一個是赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）最先以時空幾何學表達的狹義相對論。我們可以這樣在數(shù)學上表達普通牛頓空間：讓空間中的點對應于三個坐標（x, y, z），并使用畢達哥拉斯定理定義這一點與另一個點(X, Y, Z)之間的距離d：

對該方程開平方就得到了d。閔可夫斯基時空也與此類似，但它有四個坐標（x, y, z, t），三個空間坐標加上一個時間坐標，而其中的點稱為“事件”——在特定時間觀察到的空間位置。距離公式非常類似：

系數(shù)c²只是測量時間的單位造成的，但前面的負號至關重要。“距離”d稱為“間隔”，只有當方程的右側為正時，平方根才是實數(shù)。這歸結為兩個事件之間的空間距離要小于時間差異（分別以正確的單位，例如光年和年）。這反過來意味著，物體原則上可以在第一時刻從太空中的第一個點出發(fā)，并在第二時刻到達太空中的第二個點，而速度不會超過光速。

換句話說，原則上說，當且僅當在物理上可能在兩個事件之間行進時，間隔才是實數(shù)。當且僅當光可以在兩個事件之間傳播時，間隔為零。這個物理上可以到達的區(qū)域被稱為事件的光錐，它分為兩部分：過去和未來。圖3展示了空間約減到一維時的幾何形狀。

圖3 閔可夫斯基時空，空間顯示為一維

我已經(jīng)給你看了三個相對論方程，并簡述了它們是如何得出的，但它們都不是愛因斯坦的標志性方程。然而，如果我們再認識一項20世紀早期的物理學創(chuàng)新，就可以了解愛因斯坦的方程是怎么導出的了。我們已經(jīng)看到，物理學家之前曾進行過實驗，確切地證明了光是一種波，而麥克斯韋證明它是電磁波。然而，到了1905年，越來越清楚的一點是，盡管光的波動性有很強的證據(jù)，但在某些情況下，它的行為就像一個粒子。在那一年，愛因斯坦用這個想法來解釋光電效應的一些特征，即用光照射合適的金屬會產(chǎn)生電。他認為，要讓實驗說得通，光必須是一個個離散的小包裹，也就是粒子。這種粒子現(xiàn)在被稱為光子。

這個令人費解的發(fā)現(xiàn)是通往量子力學的關鍵步驟之一，我將在下一章中詳細說明。有意思的是，這種典型的量子力學思想對于愛因斯坦形成相對論至關重要。為了得出他的質能方程，愛因斯坦思考了發(fā)射一對光子的物體會發(fā)生什么。為了簡化計算，他將注意力限制在一個空間維度上，以便讓物體沿著直線運動。這種簡化不會影響答案?；舅枷胧窃趦蓚€不同的參照系中思考這個系統(tǒng)。一個參照系與物體一起運動，使物體在那個參照系中看起來是靜止的。另一個參照系相對于物體以小的非零速度運動。我把它們分別稱為靜止參照系和運動參照系。它們就像宇宙飛船（在它自己的參照系中是靜止的）和地面觀察者（在他看來，飛船是運動的）。

愛因斯坦假定這兩個光子具有同樣的能量，但發(fā)射方向相反。它們的速度相等且相反，因此當發(fā)射光子時，物體的速度（在任一參照系中）都不會改變。他計算了物體發(fā)射這一對光子之前系統(tǒng)的能量，然后計算發(fā)射后的能量。通過假定能量必須守恒，他得出了一個表達式，將發(fā)射光子引起的物體能量變化與其（相對論）質量的變化聯(lián)系起來。其結果是：

能量變化 = 質量變化×c²

合理地假設零質量物體具有零能量，即可得出

能量= 質量×c²

這當然就是那個著名的公式，其中能量用E表示，質量用m表示。

除了進行計算之外，愛因斯坦還得解釋它的含義。特別是，他認為在物體靜止的參照系下，公式給出的能量應該被認為是它的“內(nèi)部”能量，因為物體是由亞原子粒子構成的，每個粒子都有它自己的能量。在運動的參照系中，還存在動能的貢獻。還有數(shù)學上的其他微妙之處，例如使用小速度和精確公式的近似。

人們常常說，愛因斯坦意識到了原子彈會釋放出巨大的能量。當然，《時代》雜志在1946年7月給人留下了這樣的印象：當時愛因斯坦的臉上蓋著原子彈的蘑菇云，背景是他的標志性方程。方程與巨大爆炸之間的聯(lián)系似乎很清楚：方程告訴我們，任何物體固有的能量都是質量乘以光速的平方。由于光速很大，它的平方就更大，也就是少量物質中有大量能量。1克物質的能量為90兆焦耳，相當于核電站約一天的電力輸出。

圖3 1946年TIME封面

然而，事情并非如此。原子彈釋放的能量只是相對論靜質量的一小部分，而物理學家已經(jīng)通過實驗意識到某些核反應會釋放出大量的能量。主要的技術問題是，將一堆合適的放射性物質放在一起足夠長時間，以產(chǎn)生鏈式反應，即一個放射性原子的衰變使其發(fā)射輻射，并在其他原子中引發(fā)相同的效應并呈指數(shù)增長。盡管如此，愛因斯坦的方程迅速成為公眾心目中的原子彈的前奏。美國政府發(fā)布的解釋原子彈的美國政府文件“史邁斯報告”將這個方程放在了第二頁。我懷疑這個東西就是杰克·科恩和我所說的“給兒童的謊言”——為合理的目的而講的簡化版故事，為更準確的啟蒙鋪平了道路。教育就是這樣的：完整的故事對于任何非專業(yè)人士而言都太復雜了，而專家則知道得太多，以至于他們不相信大部分故事。

但我們也不能隨隨便便地對愛因斯坦的方程不屑一顧。它確實在核武器的發(fā)展中發(fā)揮了作用。為原子彈提供能量的核裂變這一概念，源于納粹德國的物理學家莉澤·邁特納（Lise Meitner）和奧托·弗里施（Otto Frisch）在1938年所做的討論。他們試圖了解將原子固定在一起的力，這有點兒像液體的表面張力。他們外出散步，討論物理學，并且運用愛因斯坦的方程來研究裂變在能量上是否可能。弗里施后來寫道：

我們都坐在一根樹干上，開始在小紙片上計算…… 當兩滴分開時，它們將因電排斥而分離，總共約200 MeV。幸運的是，莉澤·邁特納記得如何計算原子核的質量…… 并算出來形成的兩個核…… 質量會減少質子質量的大約五分之一。根據(jù)愛因斯坦的公式E=mc²，質量相當于200 MeV。這一切都吻合！

雖然E=mc²沒有直接帶來原子彈，但它是物理學中的重大發(fā)現(xiàn)之一，讓人們有效地從理論上理解了核反應。

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