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    有一個(gè)三角形，三邊長(zhǎng)分別為 a 、 b 、 c ，其中 a 、 b 兩條邊夾角為 60° 。分別以 a 、 b 、 c 為邊向外作等邊三角形。求證：前兩個(gè)等邊三角形的面積之和，減去第三個(gè)等邊三角形的面積，將等于原三角形的面積。

    我們提供兩種方法。一個(gè)容易想到的傳統(tǒng)做法便是，利用余弦定理求出 a 、 b 、 c 之間的關(guān)系。由于 c 所對(duì)的角是 60° ，因此有：

      2 · a · b · cos60° = a² + b² - c²

    由于 cos60° = 1 / 2 ，上式化簡(jiǎn)為：

      a · b = a² + b² - c²

    另外，由于 sin60° = √3 / 2 ，因此我們?cè)谏鲜阶筮叧艘?(1 / 2) sin60° ，在等式右邊乘以 √3 / 4 ，等式仍然成立：

      (1 / 2) · a · b · sin60° = (√3 / 4) a² + (√3 / 4) b² - (√3 / 4) c²

    注意到邊長(zhǎng)為 s 的等比三角形面積公式為 (√3 / 4) s² ，另外等式左邊的 (1 / 2) · a · b · sin60° 正是原三角形的面積，于是命題得證。

    我們給出另一種看起來更帥的做法，能夠更直接地得到這個(gè)結(jié)論。容易證明，圖中的水平線段 a 和水平線段 b 確實(shí)是在一條直線上，它們共同組成了一條長(zhǎng)為 a + b 的線段。像上圖那樣，以這條長(zhǎng)為 a + b 的線段為邊，作一上一下兩個(gè)大等邊三角形。不難看出，所有的紅色三角形都跟原三角形全等，而這又能推出，藍(lán)色三角形就是一個(gè)邊長(zhǎng)為 c 的等邊三角形。如果把原三角形的面積記作 X ，把邊長(zhǎng)為 s 的等邊三角形的面積記作 A(s) ，于是有 A(a) + A(b) + 2 · X = A(a + b) = A(c) + 3 · X ，整理可得 X = A(a) + A(b) - A(c) ，命題得證。