最近一段時間不時有家長朋友詢問，小學數(shù)學如何學，小學計算如何練，我很奇怪，這些問題我在很久之前就用這篇文章做了一個系統(tǒng)的總結?。?/span>這兩天翻了翻閱讀量就明白了，那么多粉絲朋友這篇文章總共才有20000多的閱讀量，一方面是微信系統(tǒng)坑爹的推送機制，導致有不少朋友看不到，另一方面是這兩年新關注公眾號的朋友自然也看不到。于是就把這篇文章略作修改再發(fā)送一次吧，我發(fā)表的只是我個人關于小學數(shù)學學習的看法，而且我的針對群體是廣大的普娃家庭，因此追求的是普適性，即能夠為盡可能多的家長朋友提供一個小學數(shù)學學習的框架作為參考，并不是要大家奉為圭臬。不同的孩子特點不同，不同的家長學術背景和能力也不同，在實際操作中千差萬別，怎么可能有一個一致的方案供家長亦步亦趨、蕭規(guī)曹隨呢？也因此，本文寫作層面主要是在框架上，而對于一些細節(jié)性的微操，則需要家長朋友自己在陪伴孩子學習的過程中自行填充，大家不可不查。一、小學數(shù)學學什么？包含有哪些內容？在整個K12數(shù)學體系中的地位如何？
二、數(shù)與代數(shù)部分內容分析
三、小學數(shù)學中計算的發(fā)展路徑、目標以及如何培養(yǎng)
（一）、小學數(shù)學中計算的路徑分析
（二）、小學數(shù)學中計算如何培養(yǎng)？
1、培養(yǎng)計算能力的原則
（1）、適度提早
（2）、堅持不懈
（3）、高標準
（4）、適當?shù)钠胶?/span>
（5）、注重復雜計算的練習
（6）、注意時刻激勵
2、培養(yǎng)計算能力的相關規(guī)劃及工具推薦
（1）、學前計算能力需要達到的標準
（2）、公文數(shù)學的優(yōu)勢與劣勢
（3）、國內計算練習的推薦
（4）、小升初計算練習的簡單建議
四、小學數(shù)學中的圖形與幾何部分簡析
五、關于小學奧數(shù)的思考
（一）、小學奧數(shù)到底要不要學？為什么要學？
（二）、小奧學習，深入學習or淺奧+超前？
（三）、小學奧數(shù)選用什么教材呢？
六、小學數(shù)學學習的輔助工具
（一）、小學數(shù)學學習的app
（二）、小學數(shù)學學習的科普書
（三）、小學數(shù)學學習的教輔書
七、從初高中回望，小學數(shù)學應該培養(yǎng)什么能力？
（一）、閱讀能力
（二）、計算能力
（三）、數(shù)形結合的意識
（四）、深入思考的能力
（五）、意志品質
（六）、空間想象力和幾何直觀能力
（七）、抽象能力
（八）、格式與書寫
八、奧數(shù)與課內數(shù)學的關系
九、結語
一、小學數(shù)學學什么？包含有哪些內容？在整個K12數(shù)學體系中的地位如何？小學數(shù)學四大板塊——數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐。如果從知識層面上來講，就是前三者，其中尤以數(shù)與代數(shù)最為重要，其次為圖形與幾何、最次為概率與統(tǒng)計。我們將小初高數(shù)學的所有內容打通，梳理出數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何兩大主線，供大家參考，概率與統(tǒng)計因為比較簡單，所以暫不贅述。目前的小學數(shù)學教材，其實包含的內容非常豐富：數(shù)與代數(shù)部分，屬于是一條線，有基礎到復雜，有常量到變量，逐步的深入、提升，肩負著解決基礎計算能力的任務；圖形與幾何部分，屬于是一個面，因為受制于學生的邏輯能力發(fā)展瓶頸，所以追求的是廣度——平面幾何、立體幾何的基本要素，培養(yǎng)對幾何的初步認知與興趣；概率與統(tǒng)計部分，主要是概率統(tǒng)計思想的初步體驗與應用。除了知識方面，增強學生對數(shù)學學科的認知之外，小學數(shù)學教材在編寫中也涉及到眾多的數(shù)學思想潛移默化的培養(yǎng)，很多例題和練習題都隱含了培養(yǎng)數(shù)學思想的目標。由上圖可以看出，小學數(shù)學的數(shù)與代數(shù)部分主要內容就是計算，計算當仁不讓是小學數(shù)學中一個主要的課題，在小學階段解決計算問題，是一個主要目標。我將小學數(shù)學中數(shù)與代數(shù)部分內容按照學習順序整理成一個由下至上的天梯圖，方便大家直觀感受。顯然小學數(shù)學中，數(shù)與代數(shù)部分是以計算為主干，以加減法為基礎，逐步提升至乘除、比例，逐步擴充數(shù)域從自然數(shù)到有理數(shù)，逐步提升計算的復雜度，初步加入代數(shù)相關內容。三、小學數(shù)學中計算的發(fā)展路徑、目標以及如何培養(yǎng)計算的發(fā)展路徑以10以內加減法為起點，到有理數(shù)的計算為止，多線并行、逐漸復雜，前面所學一定是作為后面的基礎。舉個例子，我們知道計算的基礎在一年級，或者說就是從10以內的加減法開始。
當然大部分孩子的計算在學前已經(jīng)達到100以內加減法甚至之上的水平，我們這里只是按階段討論，大家可以根據(jù)自身情況調整。10以內加減法重點在于兩個，一個是計算的熟練度，另一個在于對10以內數(shù)字的拆解。因為20以內進退位加減法，需要用到湊十法和破十法，其實就是10以內數(shù)字的拆解，如果這個不熟練，那么20以內進退位加減就學得不會太順暢。20以內進退位加減雖然有方法，但仍然要非常熟練，達到脫口而出的程度，因為我們會發(fā)現(xiàn)，之后所有的自然數(shù)加減法乃至乘除法中，都需要使用這一基礎技能。100以內、10000以內數(shù)字的加減法，其規(guī)則與20以內加減毫無二致，無非是復雜程度的區(qū)別而已。多位數(shù)的乘法中，涉及到進位運算的計算，也需要用到20以內加減的規(guī)則。如果不重視計算練習，基本到三年級就會發(fā)現(xiàn)孩子考試中經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤，這其實是一開始的基礎不牢固的緣故。而現(xiàn)在“雙減”之后，一二年級不布置作業(yè)，不考試，一旦真的這樣搞，學生、家長包括老師，都不知道學生到底是個什么水平，到了三年級出問題的幾率會更大一些。再比如除法要想熟練，首先是乘法要熟練，尤其是九九乘法表。因為本身表內除法就是表內乘法的逆運算，甚至乘除法本身就是一種數(shù)量關系的不同表示方法。很多時候孩子除法做的磕磕絆絆，不是除法的問題，根子在于乘法。就像是高中數(shù)學里，有些孩子對數(shù)運算始終學不好，根子其實是在于對指數(shù)運算不夠熟練，性質掌握不扎實。加減法、乘除法、指數(shù)對數(shù)運算本身都是互為逆運算，一種運算是否熟練，直接關系到另一種運算的掌握。加減研究的是同一種關系，乘除也是，對數(shù)指數(shù)運算亦是如此。（二）、小學數(shù)學中計算如何培養(yǎng)？小學階段培養(yǎng)計算能力遵循的原則主要有以下幾條：
計算的訓練培養(yǎng)最好是比課內數(shù)學學習快一步，所謂的快一步，第一是指最好在學前階段開始，第二是指在進度上要提前一步。
之所以要快這一步，是因為主流的數(shù)學興趣培訓教程中對計算的要求都偏高，要比同級別課內要快一步。計算的練習是一個長期的過程，每天的任務不需要過多，但必須長期堅持，形成良性循環(huán)。對于計算練習的要求要達到一個高標準，即在準確率和時間上有一定的要求，不能僅僅滿足于每天一項的任務，尤其是在規(guī)定時間內完成任務的能力，一定要有。如果在某一階段的計算上問題比較大，不要盲目追求進度，可以適當停下來夯實基礎再前進。高標準并不是要求一個錯誤都不犯，而是在規(guī)定的時間內完成任務，準確率達到一定標準即可，不需要過分的吹毛求疵。計算能力的進步是一個長期動態(tài)的過程，長期駐留在一個水平線上，不利于激勵孩子，容易讓孩子感到枯燥。不能單純的進行加減乘除計算，在此基礎上要注重一些復雜計算的練習，尤其是四則運算。尤其是計算策略的練習，所以一些巧算練習必須加以重視，通過巧算練習鍛煉孩子觀察題目結構、選擇方法的能力。計算練習本身十分枯燥，一定要注重對孩子的激勵，不管是物質還是精神層面，要讓他始終保持興趣。計算練習必須限時，只有通過限時給學生一定的壓力，才能提高其專注度，加快提升速度，另外也是為了模仿之后的考試環(huán)境，同時限時練習更容易暴露問題。
2、培養(yǎng)計算能力的相關規(guī)劃及工具推薦小學計算能力培養(yǎng)不能從小學開始，而是在學前就要開始。最低標準——十以內的加法、十以內數(shù)的分解、十以內數(shù)的減法，熟練掌握。基礎標準——二十以內數(shù)的進位加法、退位減法最好是也能掌握。在此我們就取基礎標準——在小學一年級開學時熟練二十以內數(shù)字的進位加法、退位減法。由上圖我們可知，這已經(jīng)達到了課內數(shù)學一年級下學期的水平。在四年級上冊之前，主要都是自然數(shù)的加減乘除計算，順著進度直接向上走，至少可以在三年級解決這些內容。尤為需要注意的是，這一塊其實是計算的基礎，之后學習的小數(shù)計算、分數(shù)計算都以此為基礎，所以這一階段不一定要求快，一定要求扎實。
扎實指的不僅僅是算的快，算得準，還要能夠應付復雜情況。我們使用的工具，我個人是比較喜歡公文數(shù)學的。公文數(shù)學的優(yōu)勢在于體系化，循序漸進，由易到難，臺階鋪的很密集，在計算練習的過程中促進孩子記憶，基本上讓孩子按照這個體系一直向上刷，家長只需要做好監(jiān)控，其他的不需要操心。
公文數(shù)學的劣勢在于它畢竟是舶來品，與我們的課內數(shù)學體系不完全兼容，從上圖大家就可以看到，兩者經(jīng)常出現(xiàn)彼此錯位的情況，但如果在小學一年級之前就刷完a級，然后按照這個順序繼續(xù)刷下去，即使加上返工部分所消耗的時長，基本上小學四五年級就可以把小學部分的計算解決掉，甚至接觸到初中的計算。我這個表格只列到公文數(shù)學的g級，其實它還有很多級別，足夠你刷到微積分。公文數(shù)學的另一個劣勢在于水土不服，比如它里面的計算比較簡單，沒有我們國內計算練習中經(jīng)常遇到的混合運算、四則運算，也沒有巧算；有些部分主要是豎式計算，而國內是以橫式計算為主。所以在公文數(shù)學之余，大家可以配套使用國內的一些計算練習教輔作為應用、鞏固。
非常常見的一本計算練習冊，價格便宜量又足，美中不足就是比較枯燥。
和《計算能手》的定位基本一致，不過在結構上有分類，有時限，據(jù)說也有一些巧算內容，難度上兩者差不多。
這是學而思出版的兩本小學數(shù)學的計算書，可以配套使用。這套書相交于前面兩本，難度就大了些，也比較深，不單單是枯燥的計算，也有不少的拓展。
《三招過關》也是不錯的一套拔高性質的計算練習冊，難度比較大，層次劃分合理，非常不錯。美中不足的是《三招過關》市面上的主流是上海版，因為上海的義務教育是五四制，所以與其他地區(qū)六三制的數(shù)學教材不太合拍，還少了一點內容。現(xiàn)在有了人教版，但是要貴一些，我個人覺得用上海版就挺好，便宜啊。
至于和我們本地進度有些不同這個問題其實不大，本身我們的計算就會提前，不難咱們就不買這種練習冊了。而且缺少的內容我們在小升初的計算練習中也能補足。小升初階段的計算練習分為兩方面——小學計算的拔高、初中計算的練習，前者是為了應對可能有的考試，后者則是為了小初銜接。基本上如果按照上文的節(jié)奏走下來的孩子，在這方面問題都不大。如果還嫌不足，那么可以考慮這本書——《小升初數(shù)學計算嚴選600題》。這本書是拓展類的，難度較高。
這本書很好，我最近為了孩子基本上做完了，題量大，類型全，同類型題有重復練習，難度深，相當不錯的小升初計算練習書，也不貴。如果不想花錢買，還有網(wǎng)絡上廣泛流傳的學而思有理數(shù)計算700題也不錯。
至于說初中的計算練習冊，我們就不再贅述，現(xiàn)在的教輔基本都是體系化，我上文所說的那些教輔，都有初中系列，所以大家可以自行搜索。對圖形的認識——包括對平面圖形和立體圖形的認識，主要是了解這些圖形的大致特征，以及立體圖形的三視圖；
對圖形的量化研究——長度的測量，角的度量，平面圖形面積的計算；
在學習小學數(shù)學中平面幾何部分的時候，可以盡量深入的學習，最好是能夠盡可能的引申，比如對于面積的研究，對于圖形運動的研究，對于坐標的認識，這些在初中數(shù)學中都是可以遇到的。基本上可以說，是為初中數(shù)學中的平面幾何部分作基礎準備，面很廣，但的確比較淺。
因為學生的邏輯思維能力可能到初中才會整體性的進入一個新階段，更容易理解，小學生的能力普遍不夠。所以學生在到了初中以后，突然接觸嚴格的幾何論證，就會感覺到無所適從，這和小學幾何內容過淺，學生在小初銜接時沒有顧及到是有直接關聯(lián)。所以我在之前的文章中就曾經(jīng)提到過：如果時間寬裕，你們小學生可以在預習初中數(shù)學的時候，多關注一下幾何。現(xiàn)實是小學課內對幾何的挖掘不夠深入，只要是一些簡單計算，不涉及到相對復雜的關系轉換，這一塊內容是在小學奧數(shù)中補足了，比如一些機構的幾何課程，一些常見的變形以及模型，讓孩子接觸一下，不是壞事。（一）、小學奧數(shù)到底要不要學？為什么要學？為什么在“雙減”這樣的大環(huán)境下，我還要這樣說。不同于小學語文的難度一直在上升，小學數(shù)學的難度其實一直原地踏步，甚至在題目難度（校內考試）上還有所下降。如果大家是從頭看到這里的話，就應該清楚，小學數(shù)學中的主要內容就是計算、對于幾何與圖形的直觀認識、簡單的概率與統(tǒng)計。小學數(shù)學教材的編寫者雖然煞費苦心，把很多數(shù)學思想的應用放進了數(shù)學課本的例題、習題中，但一方面比較零散，不成系統(tǒng)，一方面也依賴于學校數(shù)學老師的素質，很多時候并不能得到有效的應用。這就造成了孩子們在小學數(shù)學的課內學習階段，沒有得到良好的數(shù)學素養(yǎng)和思維上的培養(yǎng)與發(fā)展。小學奧數(shù)的內容主要來自于傳統(tǒng)的應用題，比如雞兔同籠、追擊問題、植樹問題，本身就是八九十年代小學生經(jīng)常遇到的問題，相信家長應該還有印象；來自于高一級的知識，比如等差數(shù)列；來自于數(shù)學競賽考察內容中的基礎部分，比如數(shù)論、平面幾何等。經(jīng)由機構老師的研究整合，轉化成一個一個有針對性的專題，可以有的放矢的對某些數(shù)學思維與方法進行集中的練習與培養(yǎng)，我個人覺得是很好的補充。另外，因為小學奧數(shù)的難度，其實類似于一種思維體操，將學生的思維伸長，延伸，擴展，培養(yǎng)學生面對難題時的意志品質，也是有實際意義的。所以，小學奧數(shù)，尤其是淺奧，學起來還是很有價值的。首先，對于大部分學生而言，將來是不會從事高中數(shù)學競賽的，所以我們學習小學奧數(shù)的目標就很功利——面向中高考，有用的學，沒用的不學。
比如數(shù)論我們就不用學，因為初高中數(shù)學我們都遇不到。也因此，我建議大部分家長采用淺奧+超前的模式更合適一些。以前的時候，機構比較多，我們完全可以跟著機構的體系去走，但現(xiàn)在不同了，機構大幅度減少，課程難度不時下降，這就讓孩子進行自學，家長進行輔導變得越來越有可行性，性價比也越來越高。
而且淺奧+超前，更容易與初中銜接，解決孩子的實際問題。
相關的淺奧教材有很多，大家其實也都知道不少——舉一反三、高思課本&導引、明心教程、學而思秘籍......等等，非常多。現(xiàn)在還帶視頻了，更好用了。
系統(tǒng)提升，適當拔高——高思課本&導引或者學而思秘籍，猶豫不決就用高思。其實學而思也秘籍也非常非常優(yōu)秀，不選取的原因主要是高思導引配套的刷題課視頻很多，高思出品的app——天天練，與高思課本結合也很緊密，便于孩子學習。高思課本、高思導引、天天練算是一個完整的生態(tài)。
想了解一下，就用高思課本，想要多一些刷題練習，就高思導引，覺得有時候自己刷不動，就可以看看天天練。
對于周邊沒有太好機構的孩子來說，這一套還是不錯的。
明心的優(yōu)點是課本解析非常清楚，有難度，非常適合拔高，可惜的就是沒有網(wǎng)課。在小學數(shù)學的學習過程中，有不少app如果使用得當，可以給孩子與家長減輕很多負擔，也可以起到一定的輔助作用。天天練是高思旗下的綜合性拓展類app，里面有大語文、英語、數(shù)學課內同步以及課外拓展，免費下載，部分功能付費使用。
天天練用動畫的形式將課程內容展現(xiàn)給孩子，生動形象，尤其是數(shù)學的課內學習以及課外拓展，還是不錯的，有深度與難度。關于洋蔥學園，相信老朋友們都不陌生了，我寫過很多的文章，極為推崇。與天天練類似，洋蔥學園也是用動畫的形式幫助孩子們學習，不過洋蔥專注于課內以及理科，側重點在初高中。小學數(shù)學主要是課內數(shù)學的學習。洋蔥的優(yōu)點在于它的視頻做的非常細，重難點突出，配套練習題合理，智能。功能強大的試卷處理app，抹除筆跡，自動整理錯題，家長的好幫手。至于其他的掃題軟件，改題軟件就不再介紹了，誰的手機里沒有一兩款呢，能用就可以了。興趣是最好的老師，優(yōu)秀的數(shù)學科普書可以提升孩子對數(shù)學興趣，拓展學生的視野與思維。
因為小學生在六年中成長的非常迅速，所以科普書的選擇需要結合學生的年齡段了推薦，這只是我個人的一些選擇，也許會有更好的選擇。
《數(shù)學幫幫忙》這套書算是繪本的形式吧。
全套共25冊，分為“數(shù)字與運算”、“量與計量”、“圖形與幾何”、“探索規(guī)律”和“統(tǒng)計與概率”共五部分內容，幾乎涵蓋了小學階段所有重要的數(shù)學知識。
“數(shù)學幫幫忙”系列的每一本書都會講述一個發(fā)生在孩子身邊的故事，由故事中出現(xiàn)的問題自然地引入一個數(shù)學知識，然后通過運用數(shù)學知識解決問題。
適合低年級。
這是一部古怪、新奇、充滿哲思的書。作者在小學任教42年，將其一生的心得體會凝練在這本小書中，這本書針對10歲以下的孩子在不同階段的數(shù)學學習中遇到的常見問題，給出相應的指導。讓孩子明白，數(shù)學并不可怕，誰都可以學好數(shù)學！信不只寫給孩子，更寫給家長和老師——每一個孩子都是獨一無二的珍寶，我們作為教育者和陪伴者，應該怎樣通過數(shù)學教育向孩子們傳達自我、人文、科學、真理和對他人的同情。書中配有簡單的雙色插畫，孩子讀了也不會覺得枯燥乏味。
適合中低年級。
這是一部關于科學史的著作，通俗易懂，我們孩子看的津津有味。既然是數(shù)理化，數(shù)學的內容在里面占到了相當大的比例。
適合中高年級。
《否定中的肯定：邏輯的故事》
《偶然中的必然：概率的故事》
《抽象中的形象：圖形的故事》
《無限中的有限：極限的故事》
《未知中的已知：方程的故事》
《變量中的常量：函數(shù)的故事》。
每分冊24篇文章，每篇文章都是由精彩的故事開始，至少對一道經(jīng)典數(shù)學題進行拆解，進而引出數(shù)學的基本思想、概念、方法，把數(shù)學問題中本質的東西從生動、有趣的故事中演繹出來，讓學生能夠從中體會到深刻的數(shù)學思維過程，引導學生在富有“故事”性的數(shù)學問題中學到與課本知識不一樣的東西。
適合高年級。
李毓佩的書很多，這里只是找了一個系列作為代表，更多更具體的大家自行搜索。
可怕的科學——經(jīng)典數(shù)學系列。
全套一共十二冊好像，涉及到了小學、初中數(shù)學中各方面的知識，很不錯。一套五冊還是六冊來著，相較于小學數(shù)學課本，將幾何的內容講的深入淺出、圖文并茂，讓孩子在享受閱讀的樂趣同時，學習了幾何的相關知識。與《院士數(shù)學講座專輯》同一系列的還有一兩套，但是我覺得這一套比較不錯，有深度，有一定的難度。昍爸寫了三本書，這本書我最推崇，很有實際價值，對于解題思維闡述比較到位。由于小學奧數(shù)已經(jīng)推薦過書目，計算也推薦過書目，所以這里的教輔書，指的就是課內同步教輔和試卷。
主要是數(shù)學，難度挺大。
實驗班換封面了？以前不是這個封面。
典中點和學霸也可以，學霸我找不到鏈接了，大家可以自己搜索一下。
小學數(shù)學課內不需要投注過多精力，有一本作為輔助即可。
七、從初高中回望，小學數(shù)學應該培養(yǎng)什么能力？閱讀能力包括語言文字的閱讀能力——在條件中尋找關鍵點，快速的找到思路的能力；數(shù)學符號的閱讀能力——明白符號的含義，會解決一些新運算題目；圖式的閱讀能力——讀圖、理解式子的具體含義，明白其中各個量之間的含義和關系；數(shù)學表格的閱讀能力——對于一些數(shù)表，能夠清晰理解其中數(shù)字的含義。
（二）、計算能力
快速、準確的計算出結果的能力，能夠有意識的運用計算原理簡化計算的能力。
（三）、數(shù)形結合的意識
能夠有意識的將數(shù)字與幾何圖形之間建立起對應聯(lián)系，有意識的使用圖形來幫助理解知識，幫助解決代數(shù)問題。
（四）、深入思考的能力
遇到問題，尤其是比較難的題目，能夠深入的分析條件與結論，形成初步的解題方法論，能夠舉一反三，能夠歸納總結，有意識的總結規(guī)律。
能夠有意識的運用化歸思想對題目進行轉化，變形。
（五）、意志品質
有解決難題的意愿和毅力，不會輕易放棄。
（六）、空間想象力和幾何直觀能力
對于幾何體與幾何圖形有清晰的認識，了解其結構與基本性質，對于平面圖形，能夠有一定的幾何直覺。
（七）、抽象能力
能夠將復雜的現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學問題，能夠理解一些抽象的概念表述，能夠用自己的話將之表述出來，或者舉實例說明。很多小學生到了初中之后，讓老師最頭疼，花時間糾正最多的就是書寫與格式。
一直有家長在糾結，小學奧數(shù)與課內數(shù)學到底如何平衡。
因為小學數(shù)學吃不飽，但是向上拓展又做不到，小學奧數(shù)可以填補一下；因為小學奧數(shù)有不少內容是比同級課內數(shù)學要難的，需要一定的知識儲備；小學奧數(shù)的學習目標：以拓展為主，重點放在題目解決方法背后的思想上；小學奧數(shù)的學習方式，我的建議是找靠譜專業(yè)的機構，如果沒有，家長的指導的時候最好是能夠先備備課，不要帶著成年人的傲慢去看待小學奧數(shù)，不要拘泥于講題，還是聚焦教會孩子思考。到此為止，這篇文章就算是結束了，感謝大家看到最后，整篇文章還有很多不完善之處，但的確是我的一番心意——幫助大部分普娃家長建立起小學數(shù)學學習的框架，幫助更多的孩子學好數(shù)學，這也算是我這個平凡的數(shù)學老師為數(shù)學教育事業(yè)做的一點點貢獻吧。END
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