數(shù)學(xué)：在哲學(xué)與真理之間——
數(shù)學(xué)：在哲學(xué)與真理之間——或論數(shù)學(xué)的哲學(xué)形象
哲學(xué)和各門(mén)具體科學(xué)是互動(dòng)的，某一科學(xué)的興盛和定型都對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生影響，其成果、方法或輿論形象滲透到哲學(xué)之中，并引導(dǎo)哲學(xué)的思考方式和目標(biāo)。但這并不總是毫無(wú)問(wèn)題的。
本文探討一個(gè)貫穿在哲學(xué)日歷中、對(duì)哲學(xué)深有影響的學(xué)科——數(shù)學(xué)，準(zhǔn)確地說(shuō)，探討數(shù)學(xué)對(duì)哲學(xué)典范作用的興盛與消解，這種典范作用常以真理問(wèn)題為樞紐而展開(kāi)。
通常，數(shù)學(xué)一向被認(rèn)為是透徹性、可靠性與有效性的化身。這使數(shù)學(xué)在人類學(xué)術(shù)中占有特殊地位。數(shù)學(xué)自明的概念、抽象的推理、確定的結(jié)論，贏得了哲學(xué)最持久的仰慕。哲學(xué)真理要立得住，就必須達(dá)到數(shù)學(xué)真理的層次。這種自覺(jué)意識(shí)幾乎主宰了西方哲學(xué)的主流形態(tài)。
當(dāng)然，哲學(xué)模仿數(shù)學(xué)，未必要把內(nèi)容完全量化，因?yàn)檎軐W(xué)的題材明顯不能如此呆板地處理。哲學(xué)要取之于數(shù)學(xué)的，毋寧是其中自明性初始概念的確立和使人不得不信服的邏輯方法。
一種理想的方案是：宏大而復(fù)雜的哲學(xué)主題，加上不由人不信服的邏輯，構(gòu)成一個(gè)論斷系統(tǒng)，對(duì)它來(lái)說(shuō)，所斷言的都是真理，同時(shí)一切可能的真理也無(wú)不蘊(yùn)含其中。
一、結(jié)合
古巴比倫、埃及、印度和中國(guó)都有豐富實(shí)用的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，但只是使用它們罷了，沒(méi)有要求“邏輯證明”。證明的要求是古希臘“幾何學(xué)”的特色。
最早使希臘數(shù)學(xué)獨(dú)具特色的人也是西方哲學(xué)的第一人。泰勒斯要求把只知其然的經(jīng)驗(yàn)提升為也知其所以然的知識(shí)?！罢翘├账乖鴺O力主張，對(duì)幾何陳述，不能僅憑直覺(jué)上的合理就予以接受，相反，必須要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明”[1]。E·策勒爾更進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)研究以及由此喚醒的科學(xué)意識(shí)，對(duì)于他不依據(jù)神話去說(shuō)明事物終極基礎(chǔ)所作的努力，無(wú)疑有很大影響?！盵2]西方哲學(xué)的理性論證精神， 或是源自數(shù)學(xué)的，或是經(jīng)由數(shù)學(xué)強(qiáng)化了信心。這種緣起上的孿生狀況意義重大，它為西方哲學(xué)的慣有風(fēng)格預(yù)制了潛力強(qiáng)勁的基調(diào)。在數(shù)學(xué)上請(qǐng)教過(guò)泰勒斯的畢達(dá)哥拉斯更醉心于數(shù)學(xué)。在他那里，甚至不能說(shuō)數(shù)學(xué)影響哲學(xué)，而應(yīng)當(dāng)說(shuō)數(shù)學(xué)就是哲學(xué)。數(shù)乃萬(wàn)物之原，數(shù)統(tǒng)治著宇宙。“宇宙”（Cosmos）這個(gè)詞最早被畢達(dá)哥拉斯派使用時(shí)，就是指由數(shù)及其關(guān)系構(gòu)織規(guī)劃而成的宏大秩序。畢達(dá)哥拉斯使在泰勒斯那里較隱晦的東西變明確了：數(shù)學(xué)是哲學(xué)的楷模。從此，希臘數(shù)學(xué)的品格就成為西方哲學(xué)孜孜以求的品格?！爱呥_(dá)哥拉斯主義……對(duì)于整個(gè)西方理性思維有過(guò)決定性的影響”[3]，這種影響經(jīng)過(guò)柏拉圖而鞏固。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)對(duì)象和哲學(xué)對(duì)象（理念）同屬于至真、至善、至美的可知世界，數(shù)學(xué)是升入理念世界的“梯子和跳板”[4]。柏拉圖的影響無(wú)與倫比， 但羅素卻洞穿了精髓：“我不知道還有什么別人對(duì)于思想界有過(guò)像他（指畢達(dá)哥拉斯?！撸┠敲创蟮挠绊?。我所以這樣說(shuō)，是因?yàn)樗^柏拉圖主義的東西，倘若加以分析就可以發(fā)現(xiàn)在本質(zhì)上不過(guò)是畢達(dá)哥拉斯主義罷了?！盵5] 亞里士多德給出了貫通數(shù)學(xué)與哲學(xué)的思維機(jī)制，即邏輯。他把數(shù)學(xué)、神學(xué)和自然科學(xué)并置為最高理論學(xué)術(shù)，又將邏輯學(xué)與形而上學(xué)并置于神學(xué)之中。在他看來(lái)，邏輯學(xué)既是特殊學(xué)科，又是通用于各學(xué)科的思維規(guī)范。在他自己的哲學(xué)中，凡是需要證明和確定性的地方，他都大量舉證數(shù)學(xué)[6 ]。似乎可以指望經(jīng)亞里士多德之手而近于成熟的抽象思維方法能使數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)都成熟起來(lái)。但歷史表明，自然科學(xué)長(zhǎng)期停滯不前，哲學(xué)一直風(fēng)雨飄搖，惟有數(shù)學(xué)真正在歐幾里得《幾何原本》中成熟起來(lái)?！稁缀卧尽肥窍ＥD數(shù)學(xué)思想?yún)R編，其卓越在于錘煉出嚴(yán)密的公理化演繹系統(tǒng)。該書(shū)從23個(gè)定義、10條公理出發(fā)，按邏輯規(guī)則勾織了一張不由分說(shuō)的命題之網(wǎng)。為數(shù)很少的初始原則幾乎無(wú)一例外地具有自明性，但卻能演繹出極其豐富可靠的命題。此種以簡(jiǎn)馭繁、一致而百慮的效能給哲學(xué)提供了一個(gè)可望且似乎可及的榜樣?！稁缀卧尽穼?duì)西方心智的陶冶舉足輕重。人們一個(gè)世紀(jì)又一個(gè)世紀(jì)地編輯、研習(xí)這部書(shū)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，僅自文藝復(fù)興以來(lái)，它就擁有2000多個(gè)版本。在西方文明的典籍中，只有《圣經(jīng)》堪與媲美。中世紀(jì)雖是基督信仰的一統(tǒng)天下，但希臘理性精神——其內(nèi)核是數(shù)學(xué)精神——在為信仰做辯護(hù)中延續(xù)了命脈。中世紀(jì)神學(xué)前期以柏拉圖主義為支柱，后期則以亞里士多德主義為權(quán)威。圣奧古斯丁仍然把在畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖哲學(xué)中優(yōu)先的數(shù)學(xué)揉進(jìn)神學(xué)。圣托馬斯仍然認(rèn)為哲學(xué)不多不少就由數(shù)學(xué)、物理學(xué)、形而上學(xué)組成。當(dāng)時(shí)教育中盛行的“七藝”里，音樂(lè)、算術(shù)、幾何、天文都以數(shù)學(xué)為根底。
這種延續(xù)性使中世紀(jì)末期的R·培根徑直把數(shù)學(xué)視為哲學(xué)的基礎(chǔ)。他的理由是：一、其他科學(xué)都以數(shù)學(xué)為模式；二、對(duì)數(shù)學(xué)的理解是天賦的；三、適合于我們的途徑是由易到難；四、數(shù)學(xué)既為自然所知又為我們所知；五、在數(shù)學(xué)中確能達(dá)到?jīng)]有錯(cuò)誤的完全真理以及在各方面都無(wú)可置疑的確信。這些觀點(diǎn)具有承前啟后的巨大重要性[7]。
二、強(qiáng)化
的確，自17世紀(jì)起，一切真理向數(shù)學(xué)看齊的潮流迅速蔓延。這尤其為伽利略和牛頓運(yùn)用數(shù)學(xué)方法在自然科學(xué)上取得的巨大成功所加劇。既然亞里士多德早就把數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和哲學(xué)同列為最高學(xué)術(shù)，既然數(shù)學(xué)徹底改造了自然科學(xué)，那么，這種樣板也自然應(yīng)在哲學(xué)領(lǐng)域大顯身手。文化樣式之間通常是相互感染的。共存于文化中的諸樣式一如共存于社會(huì)中的諸個(gè)人，某人以某種方式取得了某種成功，其他人就自然地起而仿效；如果那成功是特別地輝煌與重要，便會(huì)出現(xiàn)眾人趨之若鶩的局面。
笛卡爾率先要求：“探求真理正道的人，對(duì)于任何事物，如果不能獲得相當(dāng)于算術(shù)和幾何那樣的確信，就不要去考慮它?！盵8] 又說(shuō)：“數(shù)學(xué)的推理確切而且明白。……我覺(jué)得非常奇怪，它的基礎(chǔ)既然這樣穩(wěn)固，這樣堅(jiān)牢，人們竟然沒(méi)有在上面建造起更高大的建筑來(lái)?！盵9] 笛卡爾所矚目的，是要建立一門(mén)以數(shù)學(xué)為基準(zhǔn)、范圍更廣的“普遍馬特席斯”（Mathesis Universalis即普遍數(shù)學(xué)或普遍科學(xué)）。照此思路，斯賓諾莎把《倫理學(xué)》加工成了《幾何原本》的模樣。不過(guò)，這種幾何化哲學(xué)有兩個(gè)嚴(yán)重缺陷：第一，它的初始條件（界說(shuō)和公則）遠(yuǎn)不像點(diǎn)、線、面那樣顯明，而不甚明晰的概念對(duì)于嚴(yán)格可靠的演繹來(lái)說(shuō)是無(wú)窮的隱患。第二，為使“證明”可理解，不得不另加龐大數(shù)量的“附釋”，這表明所謂證明根本就不夠嚴(yán)謹(jǐn)明確，非用日常語(yǔ)言來(lái)修修補(bǔ)補(bǔ)不可。實(shí)際上《倫理學(xué)》只能算《幾何原本》的贗品。萊布尼茨走得更遠(yuǎn)，他認(rèn)為自己思考出了構(gòu)造理想語(yǔ)言的辦法，“我發(fā)現(xiàn)了一件驚人的事，那就是我們能用數(shù)字表達(dá)各種各樣的真理和推斷”[10]?！霸跀?shù)中隱藏了最深?yuàn)W的秘密”[10]，據(jù)此設(shè)計(jì)的語(yǔ)言被他稱為“普遍語(yǔ)言”或“普遍文字”，它能表達(dá)一切思想，有明晰的含義和精確的規(guī)則，人們使用它進(jìn)行思想就和做算術(shù)題一樣。萊布尼茨曾寫(xiě)道：“我的形而上學(xué)可以說(shuō)全都是數(shù)學(xué)，或者能變成那個(gè)樣子?！盵11]在他們的巨大影響下，數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)牢固地樹(shù)立為哲學(xué)合法性的當(dāng)然標(biāo)準(zhǔn)。
在這方面，近代經(jīng)驗(yàn)論的立場(chǎng)與唯理論并無(wú)不同?；舨妓拐J(rèn)為“幾何學(xué)是上帝眷顧而賜給人類的唯一科學(xué)”，“算術(shù)始終是一門(mén)確定不移、顛撲不破的藝學(xué)”，以此為準(zhǔn)，思維在機(jī)制上就是名詞、觀念的加減，“推理就是一種計(jì)算”[12]。洛克在考慮如何推進(jìn)人類知識(shí)時(shí)也不無(wú)欽羨地援引數(shù)學(xué)的啟示，他寫(xiě)道：“我們?nèi)绻脭?shù)學(xué)家所慣用的方法來(lái)考察它們（觀念問(wèn)題?！撸?，它們一定會(huì)使我們的思想十分進(jìn)步，十分明白，十分顯然，而且明顯的程度會(huì)超出我們平常所想象的程度而外?！盵13]縱然在經(jīng)驗(yàn)論走向懷疑論結(jié)局時(shí)，休謨還是對(duì)數(shù)學(xué)網(wǎng)開(kāi)一面，他說(shuō)：“只有數(shù)量科學(xué)，我想可以確乎斷言是知識(shí)和解證的適當(dāng)對(duì)象?！盵14]
哲學(xué)模仿數(shù)學(xué)的狀況在康德那里有所變化。他明確禁止哲學(xué)想當(dāng)然地模仿數(shù)學(xué)。但恰恰是康德空前有力地把數(shù)學(xué)真理以先天綜合判斷的形式提升為“先驗(yàn)真理”，并以此勘測(cè)形而上學(xué)作為科學(xué)是否可能。雖然他的結(jié)論不夠樂(lè)觀，但確保了理論理性范圍內(nèi)知識(shí)的真理性，他在主體先驗(yàn)?zāi)芰Φ姆秶鷥?nèi)擬定了一套范疇演繹體系，想達(dá)到的依舊是數(shù)學(xué)般不可抗拒的嚴(yán)密性與可靠性。因此，康德雖不像畢達(dá)哥拉斯和萊布尼茨那樣直接借重?cái)?shù)學(xué)，卻做到了最徹底地把對(duì)確定性與完備性——數(shù)學(xué)特性——的尋求埋入哲學(xué)活動(dòng)的心臟?？档碌姆懂犙堇[體系及其界限主要引起了三種不同的反應(yīng)：
第一，意志主義和生命哲學(xué)干脆廢棄了理性邏輯的策略，自然也就廢棄了數(shù)學(xué)的榜樣，但這是基于外在的理由：情感、意志、痛苦、死亡之類用數(shù)學(xué)極難處理。
第二，從費(fèi)希特到黑格爾的古典哲學(xué)把體系的權(quán)能推向極致，發(fā)揮出一種泛邏輯的“超級(jí)理性”，期望體系的每一環(huán)節(jié)都是某種特殊真理，而最終一切真理都在體系之內(nèi)。他們的言論多有對(duì)數(shù)學(xué)方法的批評(píng)，但這并不妨礙他們實(shí)際上實(shí)行數(shù)學(xué)的模式。辯證法同樣是普遍的、確定的、強(qiáng)制的。在這個(gè)意義上，古典哲學(xué)是辯證的“幾何原本”。
第三，分析哲學(xué)繼承了康德的分析傳統(tǒng)。盡管它不再抱著成就某種涵蓋一切的知識(shí)體系的萊布尼茨理想，但它慣于這樣來(lái)從事哲學(xué)的分析：如果有什么論斷引起迷惑或爭(zhēng)議，那么就得把它翻譯成標(biāo)準(zhǔn)的邏輯表達(dá)式，然后使用真值表就可以機(jī)械地亦即簡(jiǎn)單地找到問(wèn)題的正確答案，或者指出所提問(wèn)題的非正當(dāng)性而取消之。這其實(shí)正是萊布尼茨依據(jù)“普遍語(yǔ)言”提出的策略：先生，讓我們來(lái)算一算吧。
西方哲學(xué)主流的變遷中，哲學(xué)始終追隨數(shù)學(xué)，借鑒其概念、方法和體系，在確立哲學(xué)真理時(shí)，要么舉證數(shù)學(xué)命題作為范例，要么從數(shù)學(xué)方法的啟示出發(fā)，變通運(yùn)用。根本上，向數(shù)學(xué)模仿——這本身不成問(wèn)題。問(wèn)題只在于不同主題或論域下如何模仿得好。
事實(shí)上，哲學(xué)傾心于數(shù)學(xué)的努力一直沒(méi)有成功，沒(méi)有一個(gè)哲學(xué)體系取得了《幾何原本》那樣的成功。通常，人們從中領(lǐng)悟到的教訓(xùn)是：哲學(xué)有別于科學(xué)，題材紛繁復(fù)雜、變幻莫測(cè)，不易找到公認(rèn)的基點(diǎn)和道路。但這沒(méi)有阻斷努力，后人總可以把敗績(jī)歸咎于前人的不慧，重新努力。
三、消解
其實(shí)，哲學(xué)特異、題材復(fù)雜、前人不慧未必囊括了所有解釋。也許，榜樣本身就是虛幻的，本不具備一向指望于它的那種普遍必然性。久久尾隨一個(gè)人，向他討取他畢竟沒(méi)有的珍寶，豈能如愿？正是以這樣的形式，一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，哲學(xué)真理之?dāng)?shù)學(xué)理想的落空無(wú)可挽回地出現(xiàn)了：數(shù)學(xué)真理自身的確定性出了大問(wèn)題，堅(jiān)如磐石的大地開(kāi)始晃動(dòng)。
早在《純粹理性批判》問(wèn)世前后，一些數(shù)學(xué)家已從證明平行公理的徒勞中領(lǐng)會(huì)到：它作為公理可能只是基于經(jīng)驗(yàn)歸納，并非自明真理。此后近一個(gè)世紀(jì)的推敲使非歐幾何成長(zhǎng)起來(lái)，它表明歐氏幾何并非普遍真理，更不是其他真理的表率。特別當(dāng)非歐幾何的一類在相對(duì)論中得到物理解釋之后，歐氏幾何就更露出其經(jīng)驗(yàn)性?？巳R因評(píng)論說(shuō)：“非歐幾何也可以是物理空間的幾何，我們不能再肯定哪門(mén)幾何一定是正確的。單是還有別的幾何存在就已經(jīng)是一個(gè)令人震驚的事實(shí)了，然而更令人震驚的是你不再知道哪個(gè)是正確的，或者究竟有沒(méi)有正確的。顯然，數(shù)學(xué)家們將基于有限的經(jīng)驗(yàn)顯得正確的命題作為公理，并錯(cuò)誤地相信了它們是自明的。”[15]克萊因把這一過(guò)程稱為“真理的第一次喪失”。在算術(shù)和集合論方面，困窘也接二連三。哈密爾頓的“四元數(shù)”表明基本算術(shù)法只是局部有效的，而從前它們被認(rèn)為是絕對(duì)自明的?？低袪枴皩?shí)無(wú)窮集”的引入，使得例如“全體大于部分”這種分析真理不再可靠。
數(shù)學(xué)的失根激發(fā)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的清理和構(gòu)造。奠基運(yùn)動(dòng)收獲頗豐，但問(wèn)題也很嚴(yán)重。直覺(jué)主義者確立了一些直觀上可靠的數(shù)學(xué)根據(jù)，但代價(jià)卻是把歷史上許多有用的數(shù)學(xué)判定為不合法，這種缺乏包容性的方案真正說(shuō)來(lái)并不能算奠基。邏輯主義者試圖從邏輯演繹出算術(shù)，形式主義者試圖在算術(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)建整個(gè)數(shù)學(xué)，然而他們都飽受悖論的困擾。羅素等人設(shè)計(jì)了一些化解悖論的對(duì)策，但對(duì)策除了本身仍然可疑而外，效用也相當(dāng)有限，不足以保證杜絕悖論。羅素曾回顧道：“我在數(shù)學(xué)里總是希望得到的那種壯麗的確定性消失在不知所措的困惑之中了。”[16]
困惑之中總還是可以懷抱希望的，但這希望在20世紀(jì)30年代徹底破滅了。哥德?tīng)柕臄?shù)學(xué)—邏輯研究給出了兩個(gè)驚世駭俗的結(jié)論：第一，任何適當(dāng)豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)，其一致性不能通過(guò)預(yù)制的若干公理在系統(tǒng)內(nèi)部得到證明；第二，一個(gè)適當(dāng)豐富的無(wú)矛盾形式系統(tǒng)是不完備的——可以構(gòu)造至少一個(gè)數(shù)學(xué)命題，其真?zhèn)尾荒茉谶@個(gè)系統(tǒng)內(nèi)得到判定?？傊?，一致性與完備性互相沖突。換句話說(shuō)，一個(gè)理想的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，所確立的應(yīng)該都是真理（即一致性），同時(shí)，所有數(shù)學(xué)真理也都應(yīng)該在其中得到確定（即完備性），哥德?tīng)杽t證明了，這種歷史上被人們想當(dāng)然地認(rèn)為數(shù)學(xué)必定具有的、其它學(xué)科應(yīng)予仿效的完美系統(tǒng)根本無(wú)法達(dá)到，原因不在于能力欠缺，而在于原則上不可能。
數(shù)學(xué)表率群學(xué)的千年文化形象開(kāi)始自我消解。數(shù)學(xué)再也不是統(tǒng)一的，而是有許多不同的數(shù)學(xué)。像哲學(xué)一樣，數(shù)學(xué)陷于出自不同基礎(chǔ)假設(shè)的學(xué)派紛爭(zhēng)之中。數(shù)學(xué)真理再也不是不由分說(shuō)的了。隨著數(shù)學(xué)真理的實(shí)在性、確定性、邏輯性和完備性的喪失殆盡，哲學(xué)一向指望于數(shù)學(xué)的東西也便不復(fù)可得。除了題材、哲學(xué)家能力限制哲學(xué)達(dá)到數(shù)學(xué)的高度外，現(xiàn)在，這種模式本身就包含致命缺陷：偶像并不存在，它是一尊假神。
四、出路
哲學(xué)數(shù)學(xué)化的理想落空了，人類因此喪失的并不是知識(shí)和真理，失去的只是一種對(duì)知識(shí)和真理的過(guò)高要求的合理性，一種基礎(chǔ)過(guò)于狹隘而期望又過(guò)于高遠(yuǎn)的理解方式。這是知識(shí)論的危機(jī)，不是知識(shí)的危機(jī)。但理解方式并非不重要，也并非能夠輕易改變，這從前面對(duì)西方哲學(xué)的專題清理可以看得很清楚。強(qiáng)勢(shì)的態(tài)度經(jīng)常會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)槭`人的教條。其實(shí)，林林總總的知識(shí)，其源泉是不盡相同、極為豐富的，這些源泉與人歷史性、多樣性的生存活動(dòng)方式相一致。但這些源泉不可能也不可以被同樣作為人類活動(dòng)方式之一的自覺(jué)邏輯反思完全同化或翻譯，因而靠邏輯整理而自覺(jué)到的知識(shí)基礎(chǔ)總比實(shí)際產(chǎn)生知識(shí)的土壤更貧乏更狹隘。
這就提醒我們，真理在實(shí)際生活中的生長(zhǎng)運(yùn)作是一回事，從有意識(shí)的若干抽象條件去邏輯地構(gòu)建完備的真理則是另一回事。在化解數(shù)學(xué)崇拜后，貌似沮喪的局面會(huì)啟發(fā)我們要現(xiàn)實(shí)地考察現(xiàn)實(shí)中被稱為真理的東西是如何成為真理的。本文主旨也就在于消解性地敞開(kāi)一個(gè)追問(wèn)“如何”的出口。
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