教學目標：
讓學生了解畢達哥拉斯與第一次數(shù)學危機及其關(guān)系，了解第一次數(shù)學危機的意義。讓學生明了科學道路的艱辛，為科學獻身的偉大和崇高。知道世界上不是什么都一帆風順的。培養(yǎng)學生崇尚科學，客觀推演，不要主觀臆斷的好習慣
教學過程
一、畢達哥拉斯與畢達哥拉斯學派
1、畢達哥拉斯約公元前580年，畢達哥拉斯出生在米里都附近的薩摩斯島(今希臘東部的小島)——愛奧尼亞群島的主要島嶼城市之一，此時群島正處于極盛時期，在經(jīng)濟、文化等各方面都遠遠領(lǐng)先于希臘本土的各個城邦。
畢達哥拉斯的父親是一個富商，九歲時被父親送到提爾，在閃族敘利亞學者那里學習，在這里他接觸了東方的宗教和文化。以后他又多次隨父親作商務旅行到小亞細亞。公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都、得洛斯等地，拜訪了泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯，并成為了他們的學生。在此之前，他已經(jīng)在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學習了詩歌和音樂。
公元前550年，30歲的畢達哥拉斯因宣傳理性神學，穿東方人服裝，蓄上頭發(fā)從而引起當?shù)厝说姆锤?，從此薩摩斯人一直對畢達哥拉斯有成見，認為他標新立異，鼓吹邪說。畢達哥拉斯被迫于公元前535年離家前往埃及，途中他在腓尼基各沿海城市停留，學習當?shù)厣裨捄妥诮?，并在提爾一神廟中靜修。
抵達埃及后，國王阿馬西斯推薦他入神廟學習。從公元前535年到公元前525年這十年中，畢達哥拉斯學習了象形文字和埃及神話歷史和宗教，并宣傳希臘哲學，受到許多希臘人尊敬，有不少人投到他的門下求學。
畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉(xiāng)薩摩斯，開始講學并開辦學校，但是沒有達到他預期的成效。公元前520年左右，為了擺脫當時君主的暴政，他與母親和唯一的一個門徒離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內(nèi)。在那里他廣收門徒，建立了一個宗教、政治、學術(shù)合一的團體----畢達哥拉斯學術(shù)團體。
后來他們受到民主運動的沖擊，社團在克羅托內(nèi)的活動場所遭到了嚴重的破壞。畢達哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔蘭托)，并于公元前500年被暗殺去世，享年80歲。許多門徒逃回希臘本土，在弗利奧斯重新建立據(jù)點，另一些人到了塔蘭托，繼續(xù)進行數(shù)學哲學研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學派持續(xù)繁榮了兩個世紀之久。
2、畢達哥拉斯學派的觀點
畢達哥拉斯建立的這個宗教、政治、學術(shù)合一的團體形成了以后的畢達哥拉斯學派。后又叫南意大利學派。
這個社團里有男有女，地位一律平等，一切財產(chǎn)都歸公有。社團的組織紀律很嚴密，甚至帶有濃厚的宗教色彩。每個學員都要在學術(shù)上達到一定的水平，加入組織還要經(jīng)歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的凈化”。
他的演講吸引了各階層的人士，很多上層社會的人士來參加演講會。按當時的風俗，婦女是被禁止出席公開的會議的，畢達哥拉斯打破了這個成規(guī)，允許她們也來聽講。熱心的聽眾中就有他后來的妻子西雅娜，她年輕漂亮，曾給他寫過傳記，可惜已經(jīng)失傳了。
他們要接受長期的訓練和考核，遵守很多的規(guī)范和戒律，并且宣誓永不泄露學派的秘密和學說。他們相信依靠數(shù)學可使靈魂升華，與上帝融為一體，萬物都包含數(shù)，甚至萬物都是數(shù)（萬物皆數(shù)），上帝通過數(shù)來統(tǒng)治宇宙（數(shù)統(tǒng)治宇宙）。這是畢達哥拉斯學派和其他教派的主要區(qū)別。
學派的成員有著共同的哲學信仰和政治理想（據(jù)說“哲學”這個詞就是畢達哥拉斯造出來的），他們吃著簡單的食物，進行著嚴格的訓練。學派的教義鼓勵人們自制、節(jié)欲、純潔、服從。他們開始在大希臘(今意大利南部一帶)贏得了很高的聲譽，產(chǎn)生過相當大的影響，也因此引起了敵對派的嫉恨。
畢達哥拉斯學派的思想主要有兩部分，一是宣稱靈魂不死和轉(zhuǎn)世輪回的宗教神秘主義，另一部分是認為數(shù)是萬物本源的數(shù)本思想。
有人畫漫畫調(diào)侃畢達哥拉斯及其學派：
3、畢達哥拉斯學派的數(shù)學觀---萬物皆數(shù)
達哥拉斯學派認為從數(shù)量上看，夏天是熱占優(yōu)勢，冬天是冷占優(yōu)勢，春天是干占優(yōu)勢，秋天是濕占優(yōu)勢，最美好的季節(jié)則是冷、熱、干、濕等元素在數(shù)量上和諧的均衡分布。
最早把數(shù)的概念提到突出地位的是畢達哥拉斯學派。他們很重視數(shù)學，企圖用數(shù)來解釋一切。宣稱數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘。他們從五個蘋果、五個手指等事物中抽象出了五這個數(shù)。
這在今天看來很平常的事，但在當時的哲學和實用數(shù)學界，這算是一個巨大的進步。在實用數(shù)學方面，它使得算術(shù)成為可能。在哲學方面，這個發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構(gòu)成實物世界的基礎(chǔ)。
在畢達哥拉斯派看來，數(shù)為宇宙提供了一個概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。
因為有了數(shù)，才有幾何學上的點，有了點才有線面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。
所以，他們將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角形數(shù)和五角形數(shù)等。認為“萬物皆數(shù)”，“數(shù)統(tǒng)治宇宙”。
只不過，畢氏的數(shù)是整數(shù)。
他們堅持的信條是：“宇宙間的一切現(xiàn)象都可以歸于整數(shù)與整數(shù)之比（整數(shù)與整數(shù)之比即現(xiàn)在所說的有理數(shù)）?！奔匆磺鞋F(xiàn)象都可以用有理數(shù)來描述。他們認為“任何兩條線段，總有一個最大公度線段?！?/p>
公度和公約
對任何兩條線段a,b，總能找到第三條線段c，使得這兩條線段都可以分成c的整數(shù)倍，這時我們就說，c是a、b的度量單位，并說a、b是可公約的或可公度的
二、第一次數(shù)學危機
整數(shù)是在進行計算的過程中產(chǎn)生的抽象概念。日常生活中，不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度、重量和時間。為了滿足這些簡單的度量需要，就要用到分數(shù)。于是，如果定義有理數(shù)為兩個整數(shù)的商，那么由于有理數(shù)系包括所有的整數(shù)和分數(shù)，所以對于進行實際量度是足夠的。
有理數(shù)有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上，標出一段線段作為單位長，如果令它的定端點和右端點分別表示數(shù)0和1，則可用這條直線上的間隔為單位長的點的集合來表示整數(shù)，正整數(shù)在0的右邊，負整數(shù)在0的左邊。以q為分母的分數(shù)，可以用每一單位間隔分為q等分的點表示。于是，每一個有理數(shù)都對應著直線上的一個點。
古代數(shù)學家認為，這樣能把直線上所有的點用完。但是，大約在公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發(fā)現(xiàn)了：等腰直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，即沒有最大公度線段。新發(fā)現(xiàn)的數(shù)由于和之前的所謂“合理存在的數(shù)”——即有理數(shù)在學派內(nèi)部形成了對立，所以被稱作了無理數(shù)。
直角三角形的直角邊與其斜邊不可通約，這個簡單的數(shù)學事實的發(fā)現(xiàn)使畢達哥拉斯學派的人感到迷惑不解。它不僅違背了畢達哥拉斯派的信條，而且沖擊著當時希臘人持有的“一切量都可以用有理數(shù)表示”的信仰。
這就形成了悖論，人們稱為畢達哥拉斯悖論，也叫希帕索斯悖論。這次悖論直接導致了認識上的危機，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學危機。
據(jù)說，希帕索斯由于發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，從而遭到了畢達哥拉斯學派的追殺。他雖逃到了埃及，但幾年之后，在回國途中，還是被人扔到海里淹死了。
200年后約在公元前370年，柏拉圖的學生歐多克斯(Eudoxus，約公元前408—前355)解決了關(guān)于無理數(shù)的問題。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比”的新說法，回避了無理數(shù)的實質(zhì)，用幾何的方法去處理不可公度比。他處理不可公度的辦法，被歐幾里得《幾何原本》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數(shù)的現(xiàn)代解釋基本一致。
歐多克斯在幾何學、天文學和醫(yī)學等方面都有突出的貢獻。他曾提出這樣奇妙的構(gòu)想：能不能把一條線段分為不相等的兩部分，使較長部分為原線段和較短部分的比例中項？這個問題就是黃金分割問題。千百年來，黃金分割問題被廣泛運用于幾何學、建筑設(shè)計、繪畫藝術(shù)、舞臺藝術(shù)、音樂藝術(shù)等方面，甚至也存在于自然界中。17世紀歐洲著名科學家開普勒說過：“幾何學有兩個寶藏，一個是勾股定理，一個是黃金分割。”
三、第一次數(shù)學危機的意義
第一次數(shù)學危機表明，幾何學的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示。反之，數(shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊祟地位受到挑戰(zhàn)，古希臘的數(shù)學觀點受到極大的沖擊。于是，幾何學開始在希臘數(shù)學中占有特殊地位。
同時也反映出，直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數(shù)學思想上的一次革命，是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物。
回顧在此以前的各種數(shù)學，無非都是算，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學也是從實際出發(fā)，應用到實際問題中去的。例如，泰勒斯預測日食、利用影子計算金字塔高度、測量船只離岸距離等等，都是屬于計算技術(shù)范圍的。
至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機和革命，也就繼續(xù)走著以算為主，以用為主的道路。
而由于第一次數(shù)學危機的發(fā)生和解決，希臘數(shù)學則走上完全不同的發(fā)展道路，形成了歐幾里得《原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系，為世界數(shù)學作出了另一種杰出的貢獻。
歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，前325年—前 265年），古希臘數(shù)學家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學的基礎(chǔ)，提出五大公設(shè)，《幾何原本》被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數(shù)論的作品。
但是，自此以后希臘人把幾何看成了全部數(shù)學的基礎(chǔ)，把數(shù)的研究隸屬于形的研究，割裂了它們之間的密切關(guān)系。這樣做的最大不幸是放棄了對無理數(shù)本身的研究，使算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展受到很大的限制，基本理論十分薄溺。這種畸形發(fā)展的局面在歐洲持續(xù)了2000多年。
這次的的危機的影響是很大的。算術(shù)基礎(chǔ)動搖了，幾何的地位上升了。一方面，根2的發(fā)現(xiàn)促進人們?nèi)フJ識和理解無理數(shù)，另一方面，導致了公理幾何和古典邏輯的誕生，并最終導致了近代科學的誕生。
一直到18世紀，當數(shù)學家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。但第一次數(shù)學危機的最后消除還要歸功于19世紀戴德金實數(shù)理論的建立。在實數(shù)理論中，無理數(shù)可以定義為有理數(shù)的極限，而且所有實數(shù)填滿了直線，直線上再沒有空隙，又恢復了畢達哥拉斯學派的“萬物皆數(shù)”的思想。
利烏斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind ，1831—1916）又譯狄德金，最偉大的德國數(shù)學家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學的先驅(qū)。戴德金還是格丁根大學哲學博士、柏林科學院院士。
附
順便說一下，有理數(shù)和無理數(shù)中的“理”并不是指“有道理”或“講道理”的意思，這兩個詞的出現(xiàn)是翻譯的問題。在英文中有理數(shù)和無理數(shù)分別是rational numble和irrational numble，而rational是一個多義詞，含有“有理的”、“比的”兩種意思。rational numble本意是指“可比數(shù)”，即可以寫成兩個整數(shù)的比的數(shù)。在東方，最早把rational numble翻譯過來的是一個日本人。可能那個日本人的英語不好，數(shù)學又不精通，就把它翻譯成“有理數(shù)”。而中國當時是從日本那里接觸西方文化的，日本字又與漢字形似，于是中國人把這三個字照搬過來，形成習慣，已經(jīng)積重難返了。
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