前些天寫了《這篇文章讓你看見(jiàn)時(shí)間（一）》，今天我們接著說(shuō)時(shí)間，嘗試建立一個(gè)狹義相對(duì)論框架下更直觀、更通用的圖形化時(shí)間概念。
建議大家聽(tīng)著音頻看圖，免去閱讀的辛苦。
我把《看見(jiàn)時(shí)間（一）》中的背景再描述一下：有兩個(gè)慣性參考系，其中一個(gè)相對(duì)另一個(gè)以速度 v 沿著 x 方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)刻兩個(gè)參考系原點(diǎn)重合，起始時(shí)刻均為 0。小明坐在第一個(gè)參考系原點(diǎn)不動(dòng)，懷里揣著一塊懷表；小紅坐在第二個(gè)參考系原點(diǎn)，口袋里放著一個(gè)時(shí)鐘，隨著第二個(gè)參考系以速度 v 向右遠(yuǎn)行。我們稱第一個(gè)參考系為本地系，第二個(gè)參考系為時(shí)鐘系。
為方便計(jì)算，基于這兩個(gè)參考系的時(shí)空?qǐng)D的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)分別使用年和光年為單位，并將速度表達(dá)為多少倍光速，因此光速可以表示為1，任何運(yùn)動(dòng)速度可以簡(jiǎn)化表示為-1到1之間的一個(gè)數(shù)值。
上一篇文章說(shuō)到：“時(shí)鐘運(yùn)動(dòng)速度越快，時(shí)間慢得越厲害”。在下面這個(gè)基于本地系的時(shí)空?qǐng)D中，我們調(diào)整時(shí)鐘運(yùn)動(dòng)速度，可以看到時(shí)鐘顯示隨之變化。
這個(gè)圖是把時(shí)鐘時(shí)間通過(guò)數(shù)字標(biāo)注的形式展現(xiàn)的，有沒(méi)有圖形化方法呢？答案是“有”，我們只需要增加一維坐標(biāo)就可以了。
這次我們使用 Geogebra 的 3D 圖形計(jì)算器。
先用圖形計(jì)算器建立一個(gè)三維坐標(biāo)，這個(gè)三維坐標(biāo)不是由 x、y、z 三個(gè)空間維度組成，而是在上一篇文章提到的距離 x 、時(shí)間 t 兩維平面時(shí)空?qǐng)D的基礎(chǔ)上，增加一個(gè)垂直于原平面的時(shí)間維度 t' ，形成 x、t、t' 三維坐標(biāo)。
在這個(gè)三維坐標(biāo)上，輸入函數(shù) t2-x2=t'2 ，將出現(xiàn)下圖雙圓錐面：
我們來(lái)看看，對(duì)于 v=0、 v=0.6c 和 v=0.8c 三種情況，怎么在這個(gè)圖中表示時(shí)鐘時(shí)間呢？
畫三個(gè)與網(wǎng)格平面垂直的平面：
x=0
x=0.6t
x=0.8t
它們分別對(duì)應(yīng)以上三個(gè)速度 。
俯視圖
俯視圖中，三條線分別是這三個(gè)平面與網(wǎng)格平面和圓錐面的交線，綠線對(duì)應(yīng) v=0，紅線對(duì)應(yīng) v=0.6c，淺藍(lán)色線對(duì)應(yīng) v=0.8c。
側(cè)視圖
側(cè)視圖中能夠看見(jiàn)每個(gè)平面與圓錐面都有一條相交直線，交點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)下面示意圖：
示意圖
示意圖中，由圓錐面表達(dá)式可知圖中綠線頂端與紅線頂端同位于一個(gè)半徑為 t 的圓上，綠線長(zhǎng)度為 t，紅線長(zhǎng)度為 t'，紅線與圓心的距離為 vt，因此有 t2-(vt)2=t'2，即：
是不是有些眼熟？當(dāng) t=1 年時(shí)：
如果 v=0， 則 t'=1 年
如果 v=0.6c，則 t'=0.8 年
如果 v=0.8c，則 t'=0.6 年
這正是時(shí)鐘在對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)速度下顯示的時(shí)間！
這個(gè)旋轉(zhuǎn)動(dòng)圖看得更清楚：水平面上的藍(lán)點(diǎn)和紅點(diǎn)分別是小明、小紅當(dāng)前事件坐標(biāo)，其正上方與圓錐面的交點(diǎn)縱軸坐標(biāo)值就是小明的懷表和小紅的時(shí)鐘顯示的時(shí)間。圖中 v=0.6c，隨著 t 由 0 逐漸增大，懷表和時(shí)鐘顯示的時(shí)間也在增大，增速保持 1/0.8 的關(guān)系。
因此，通過(guò)以上方法，我們把兩個(gè)相對(duì)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性參考系中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系通過(guò) 3D圖形展現(xiàn)了出來(lái)。
任何時(shí)候，我們只需要觀察豎直平面與圓錐面交線在縱坐標(biāo)軸方向上的斜率，就知道時(shí)間的快慢關(guān)系。對(duì)于任意一個(gè)時(shí)間 t，只需計(jì)算交線對(duì)應(yīng)點(diǎn)的高度即可知時(shí)鐘顯示的時(shí)間。
好了，我想我已經(jīng)把狹義相對(duì)論中最簡(jiǎn)單情況下的時(shí)間關(guān)系通過(guò)圖講完了。
但實(shí)際遇到的問(wèn)題遠(yuǎn)比上面說(shuō)的要復(fù)雜：小紅相對(duì)小明不會(huì)一直保持速度不變，她是地球人，再怎么著也得先從地球出發(fā)，將來(lái)還得回到地球，這個(gè)過(guò)程中必然要經(jīng)歷加速減速。對(duì)于這些情況我們?cè)撛趺捶治瞿兀?/span>
有人說(shuō)：“狹義相對(duì)論只適用于分析慣性參考系，也就是靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)的情況，對(duì)于加減速運(yùn)動(dòng)則必須用廣義相對(duì)論來(lái)分析”。
怎么說(shuō)呢？歷史上的確曾經(jīng)以是否涉及非慣性系作為狹義相對(duì)論與廣義相對(duì)論解釋范圍的分水嶺——只涉及慣性系的歸入狹義相對(duì)論，否則歸入廣義相對(duì)論。但后來(lái)人們認(rèn)識(shí)到，不應(yīng)該這樣來(lái)劃分，而應(yīng)以是否涉及時(shí)空的彎曲來(lái)劃分，涉及時(shí)空彎曲的歸廣義相對(duì)論，而只涉及速度變化的問(wèn)題用狹義相對(duì)論是可以解釋清楚的。
下面我們就用雙生子佯謬為例來(lái)分析。
設(shè)小紅、小明是孿生姐弟，小明留在地面，小紅乘飛船做太空旅行。小紅乘坐的飛船以每年 0.4c 的加速度從地球上起飛，飛向距離地球 8 光年的星球；飛船速度達(dá)到 0.8c 后保持勻速直線飛行；距離星球 0.8 光年時(shí)開始以每年 -0.4c 的加速度進(jìn)行減速，速度降為 0 時(shí)正好落在星球上；然后又開始反向加速，重復(fù)來(lái)時(shí)的逆過(guò)程回到地球。請(qǐng)問(wèn)，兩人見(jiàn)面時(shí)誰(shuí)更年輕？
答案是小紅更年輕。
這個(gè)問(wèn)題之所以被稱為佯謬，是因?yàn)樗拇鸢鸽m然是對(duì)的，但讓人感覺(jué)像是錯(cuò)的。
為什么這么說(shuō)呢？
因?yàn)槿藗円话愣紩?huì)質(zhì)疑：飛船相對(duì)地球在運(yùn)動(dòng)，按照“鐘慢尺縮”，地球上的人看見(jiàn)飛船上的時(shí)鐘變慢，所以小紅會(huì)比小明年輕；但反過(guò)來(lái)，站在飛船上看，地球也在相對(duì)飛船運(yùn)動(dòng)，飛船上的人看見(jiàn)地球上的時(shí)鐘也變慢了，為什么相聚后不是地球上的小明更年輕呢？下面我們結(jié)合前面提到的 3D圓錐面來(lái)分析分析。
在本地系時(shí)空?qǐng)D中，小紅的軌跡見(jiàn)下圖紅線：
由于小紅的軌跡不再是一條從原點(diǎn)出發(fā)的斜向直線，因此無(wú)法只使用一個(gè)圓錐面來(lái)分析。但我們注意到：按照洛倫茲變換公式，決定兩個(gè)參考系時(shí)間快慢比率的只有相對(duì)速度 v，因此，可以畫兩個(gè)圓錐面，一個(gè)圓錐面的頂點(diǎn)位于小明的坐標(biāo)點(diǎn)，跟著小明走，另一個(gè)的頂點(diǎn)則位于小紅的坐標(biāo)點(diǎn)，跟著小紅走，兩個(gè)圓錐面的中心線均平行于本地系時(shí)空?qǐng)D的 t 軸。
圓錐面指示了懷表和時(shí)鐘的快慢。因?yàn)樾∶鞯臅r(shí)空軌跡與 t 軸重合，所以他的懷表計(jì)時(shí)永遠(yuǎn)與本地時(shí)間一致。
小紅的時(shí)鐘與本地時(shí)間的快慢比例取決于小紅的速度，也就是她的時(shí)空軌跡在當(dāng)前坐標(biāo)點(diǎn)的切線方向，切線所在豎直平面與圓錐面的交線的斜率就是時(shí)鐘與本地時(shí)間的快慢比率。這樣，我們就擁有了一個(gè)圖形版的時(shí)鐘快慢指示器。
我們把小明的懷表和小紅的時(shí)鐘顯示時(shí)間表示到三維坐標(biāo)的縱坐標(biāo)軸上，就可以直觀地看出時(shí)間是如何變化的。見(jiàn)下圖：
圖A 小紅回到地球時(shí)比小明年輕了將近7歲半
側(cè)視圖
可以看出，除了出發(fā)、抵達(dá)星球、回到地球這三個(gè)綠圈中的時(shí)刻外，其它過(guò)程中小紅的時(shí)鐘走得都比小明的懷表慢，所以相見(jiàn)時(shí)，當(dāng)然是小紅年輕了。
那怎么回答“為什么小紅看見(jiàn)小明的懷表走得比她的時(shí)鐘慢，相見(jiàn)時(shí)卻依然是小紅更年輕”這個(gè)質(zhì)疑呢？
我基于時(shí)鐘系時(shí)空?qǐng)D來(lái)解釋。
講之前還是要重復(fù)一下我在上一篇文章中關(guān)于“同時(shí)”這個(gè)概念的說(shuō)明：狹義相對(duì)論里提到的“看到”、“發(fā)現(xiàn)”的同時(shí)事件是指等時(shí)線上的事件，是不考慮光信號(hào)傳播時(shí)間的（如果對(duì)這個(gè)有疑問(wèn)，請(qǐng)看我上一篇文章《看見(jiàn)時(shí)間（一）》）。
圖A中水平面上的藍(lán)色虛線和紅色虛線分別是本地系中小明的等時(shí)線和時(shí)鐘系中小紅的等時(shí)線，奧秘就藏在紅色等時(shí)線里。
在上一篇文章中我們說(shuō)了：在小紅看來(lái)，她所看見(jiàn)的小明不是正在看小紅的藍(lán)色等時(shí)線上的小明，而是紅色等時(shí)線上更年輕的小明。但在小紅的飛船減速直至返航的過(guò)程中，情況卻發(fā)生了劇烈變化。圖A可以看出，紅色等時(shí)線的角度發(fā)生了大幅偏轉(zhuǎn)，等時(shí)線與小明時(shí)空軌跡的交點(diǎn)迅速向前推進(jìn)，超越了藍(lán)色等時(shí)線上的小明，因此小紅看到小明的歲數(shù)迅速增加；偏轉(zhuǎn)完成后，小紅看見(jiàn)的小明是正在看她的小明之后的小明。
關(guān)于紅色等時(shí)線的偏轉(zhuǎn)角度，我在上一篇文章中進(jìn)行了分析
這張圖中可以看出，飛船調(diào)頭的這4年中，小紅的時(shí)鐘由6.559年走到10.077年，增加了3.518年，而紅色等時(shí)線上的小明經(jīng)歷的時(shí)間跨度卻是從4.24到19.76的15.52年！
我們切換到時(shí)鐘系視角，圖A變成下圖樣子：
圖B 在飛船調(diào)頭前后，小明的懷表都走得比小紅的時(shí)鐘慢，但調(diào)頭過(guò)程中有一個(gè)坡度的陡增
在這張圖中，小明經(jīng)歷的 15.52 年要在綠色 t 坐標(biāo)軸的 3.518 年中走完，因此出現(xiàn)了坡度陡增的那段淺藍(lán)色軌跡。造成陡增的原因僅僅是時(shí)鐘系中的小紅觀察到的是不同時(shí)間的小明而已。
去掉縱坐標(biāo)軸，時(shí)空?qǐng)D變成下圖平面模式：
飛船調(diào)頭時(shí)小紅發(fā)現(xiàn)小明迅速遠(yuǎn)離，導(dǎo)致小明的時(shí)空軌跡中有個(gè)詭異的鼓包，這是飛船減速導(dǎo)致的“尺縮”效應(yīng)減小與地球持續(xù)遠(yuǎn)離的綜合作用，并不是兩人的相對(duì)速度猛增，這些都是基于狹義相對(duì)論的正?，F(xiàn)象。
細(xì)心的朋友可能會(huì)問(wèn)：為什么小紅的等時(shí)線角度會(huì)發(fā)生這么大的偏轉(zhuǎn)，而小明的等時(shí)線卻不會(huì)呢？
這是因?yàn)橹挥行〖t經(jīng)歷了速度的變化。乘車時(shí)我們都體驗(yàn)過(guò)加速時(shí)車座的推背感和減速時(shí)安全帶的拽拉感，小紅當(dāng)然也體驗(yàn)到了飛船加減速時(shí)的力，而小明從始至終沒(méi)有感覺(jué)到地球速度的變化。當(dāng)然這么回答你，你一定覺(jué)得有些隨意，顯得很不“物理”，很不專業(yè)。這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是關(guān)于“空間是絕對(duì)的還是相對(duì)的”問(wèn)題，在物理學(xué)歷史上曾經(jīng)是一個(gè)爭(zhēng)論不休的話題，我先暫時(shí)這么簡(jiǎn)單回答，有時(shí)間在以后的文章中再詳細(xì)講它。
因此畫時(shí)空?qǐng)D時(shí)，如果涉及多個(gè)參考系、多個(gè)運(yùn)動(dòng)事件，建議選擇其中的慣性參考系作為時(shí)空?qǐng)D的基礎(chǔ)，只有在這樣的時(shí)空?qǐng)D上才能更直觀地觀察各個(gè)事件的時(shí)空軌跡。否則，將不得不考慮等時(shí)線偏轉(zhuǎn)帶來(lái)的影響，導(dǎo)致問(wèn)題大大地復(fù)雜化。
我在前面畫的所有的圖，展現(xiàn)的都只是發(fā)生在一維空間 x 上的事件，當(dāng)然二維空間（x, y）中的事件也可以通過(guò)時(shí)空?qǐng)D來(lái)展現(xiàn)，只是這時(shí)沒(méi)有富余的維度來(lái)表示 t' 而已。至于三維空間（x, y, z）中的事件，它的時(shí)空?qǐng)D就只能存在于我們腦海中了，無(wú)法通過(guò)三維圖形來(lái)展示。
強(qiáng)烈建議你也嘗試畫一畫時(shí)空?qǐng)D，畫圖的過(guò)程一定會(huì)帶給你奇妙的體驗(yàn)，讓你對(duì)狹義相對(duì)論有更深刻的理解。你會(huì)發(fā)現(xiàn)以前那么多的疑惑很神奇地以一種想象不到的方式得到了解答，并且解答得如此合情合理。畫圖時(shí)幫你在腦海中建立起來(lái)的時(shí)空?qǐng)D景，一定會(huì)為你探索更加復(fù)雜有趣的物理世界提供巨大的幫助。
《看見(jiàn)時(shí)間》系列講到這里就告一段落了，實(shí)際上不只是這兩篇文章，包括我之前寫的幾篇文章，我自信是一套對(duì)狹義相對(duì)論比較全面的講解，相信對(duì)初學(xué)者會(huì)有很好的幫助。
知乎上有一個(gè)問(wèn)題：“學(xué)習(xí)了相對(duì)論會(huì)怎么樣”？有個(gè)回答得到了很多點(diǎn)贊：“頭發(fā)會(huì)變少”，下面馬上有人跟上一句：“學(xué)習(xí)狹義相對(duì)論不會(huì)，學(xué)習(xí)廣義相對(duì)論才會(huì)”，所以我的這幾篇文章你可以放心閱讀。
我的下一個(gè)目標(biāo)是廣義相對(duì)論。今天先自拍一張照片，等學(xué)完再對(duì)比一下，看看頭發(fā)到底少?zèng)]少，哈哈。
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