12. 雙生子佯謬
愛(ài)因斯坦幸運(yùn)地結(jié)交了兩位猶太人數(shù)學(xué)家朋友：閔可夫斯基和格羅斯曼。
赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）是出生于俄國(guó)的德國(guó)數(shù)學(xué)家，曾經(jīng)是愛(ài)因斯坦在瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院讀書時(shí)的老師。有趣的是，當(dāng)時(shí)的閔可夫斯基教授很不看好這個(gè)蓬頭垢面從不認(rèn)真上課的學(xué)生，曾經(jīng)當(dāng)面對(duì)愛(ài)因斯坦說(shuō)，他“不適合做物理”。不過(guò)，當(dāng)愛(ài)因斯坦建立狹義相對(duì)論之后，閔可夫斯基卻成為了一名對(duì)相對(duì)論極其熱心的數(shù)學(xué)家。他在1907年提出的四維時(shí)空概念，成為相對(duì)論最重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一。
一開(kāi)始，愛(ài)因斯坦對(duì)閔可夫斯基的四維時(shí)空不以為然，但當(dāng)他結(jié)合黎曼幾何考慮廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型時(shí)，才認(rèn)識(shí)到這個(gè)相對(duì)論少不了的數(shù)學(xué)概念的重要性。
狹義相對(duì)論通過(guò)洛倫茨變換將時(shí)間和空間的概念聯(lián)系在一起。我們生活的空間是3維的，因?yàn)?個(gè)數(shù)字決定了空間一點(diǎn)的位置。然而，在這個(gè)世界發(fā)生的任何事件，除了決定地點(diǎn)（即位置）的3個(gè)值之外，發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)也是很重要的。如果把時(shí)間當(dāng)作另外一個(gè)維度的話，我們的世界便是4維的了，稱之為4維時(shí)空。其實(shí)4維時(shí)空也是我們生活中常用的表達(dá)方式，比如說(shuō)，當(dāng)從電視里看到新聞報(bào)道，說(shuō)到在曼哈頓第5大道99街某高樓上的第60層發(fā)生了殺人案件時(shí)，還一定會(huì)提到案件發(fā)生的時(shí)間：2014年10月3日6點(diǎn)左右。這兒的報(bào)道中提到的5、99、60這3個(gè)數(shù)字，可以說(shuō)是代表了事件的3維空間坐標(biāo)，而發(fā)生的時(shí)間（2014年10月3日6點(diǎn)）就是第4維坐標(biāo)了。
盡管物理學(xué)家企圖將時(shí)間和空間統(tǒng)一在一起，但兩者物理意義上終有區(qū)別，無(wú)法將它們完全一視同仁，一定的場(chǎng)合下還必須嚴(yán)格加以區(qū)分。于是，天才數(shù)學(xué)家龐加萊將四維時(shí)空中的時(shí)間維和空間維分別用實(shí)數(shù)和虛數(shù)來(lái)表示。也就是說(shuō)，將時(shí)空用3個(gè)實(shí)數(shù)坐標(biāo)代表空間和1個(gè)虛數(shù)坐標(biāo)描述時(shí)間?；蛘呤欠催^(guò)來(lái)：用一個(gè)實(shí)數(shù)坐標(biāo)表示時(shí)間和3個(gè)虛數(shù)坐標(biāo)表示空間。到底是讓空間作為實(shí)數(shù)唱主角（前者），還是像后面一種情況那樣將時(shí)間表示為實(shí)數(shù)，只不過(guò)是一種約定或習(xí)慣而已。后一種表示方法是本系列文章中將經(jīng)常使用的。
后來(lái)，閔可夫斯基發(fā)展了龐加萊的想法，他用仿射空間來(lái)定義4維時(shí)空。如此一來(lái)，就可以在形式上用對(duì)稱而統(tǒng)一的方式來(lái)處理時(shí)間和空間。類似于3維歐幾里德空間中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，洛倫茨變換成為這個(gè)4維時(shí)空中的一個(gè)雙曲旋轉(zhuǎn)。在歐幾里德空間中，兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間間隔的平方是一個(gè)正定二次式：
ds2 = dx2 + dy2 +dz2，
但這點(diǎn)不適用于閔可夫斯基時(shí)空，理由很簡(jiǎn)單，因?yàn)闀r(shí)空中的坐標(biāo)除了實(shí)數(shù)之外，還有了虛數(shù)。根據(jù)剛才的約定，閔可夫斯基時(shí)空中兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間間隔的平方變成了：
dt2 =dt2 - dx2 - dy2 - dz2，
這兒的dt被稱為固有時(shí)。不同于歐幾里德度規(guī)，閔可夫斯基時(shí)空的度規(guī)是“非正定”的。這種非正定性也導(dǎo)致閔氏空間具有了許多不同于歐氏空間的有趣性質(zhì)。
從物理的角度，時(shí)間和空間的最根本不同是時(shí)間概念的單向性。你在空間中可以上下左右四面八方隨意移動(dòng)，朝一個(gè)方向前進(jìn)之后可以后退再走回來(lái)。但時(shí)間卻不一樣了，它只能向前，不會(huì)倒流，否則便會(huì)破環(huán)因果律，產(chǎn)生許多不合實(shí)際情況的荒謬結(jié)論。
愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論將時(shí)間和空間統(tǒng)一起來(lái)，徹底改變了經(jīng)典的時(shí)空觀，由此也產(chǎn)生了許多“佯謬”，雙生子佯謬是其中最著名的一個(gè)。
根據(jù)相對(duì)論，對(duì)靜止的觀測(cè)者來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)鐘會(huì)變慢。而相對(duì)論又認(rèn)為運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的。那么，有人就感到糊涂了：站在地面上的人認(rèn)為火車上的人的鐘更慢，坐在火車上的人認(rèn)為地面上的人的鐘更慢，到底是誰(shuí)的鐘快誰(shuí)的鐘慢?。恐詥?wèn)這種問(wèn)題，說(shuō)明人們?cè)跐撘庾R(shí)中仍然認(rèn)為時(shí)間是“絕對(duì)”的。盡管愛(ài)因斯坦先生將同時(shí)性的概念解釋得頭頭是道，聽(tīng)起來(lái)也似乎有他的道理，但是人們總覺(jué)得有問(wèn)題想不通，于是，便總結(jié)出來(lái)了一個(gè)雙生子佯謬。最早是由朗之萬(wàn)在1911年提出的。
話說(shuō)地球上某年某月某日，假設(shè)在1997年吧，誕生了一對(duì)雙胞胎，其中哥哥（劉天）被抱到宇宙飛船送上太空，另一人（弟弟劉地）則留守地球過(guò)普通人的日子。宇宙飛船以極快的速度（光速的四分之三）飛行。根據(jù)相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果，在如此高的速度下，時(shí)間變慢的效應(yīng)很明顯，大概是3比2左右。所謂“時(shí)鐘變慢”，是一種物理效應(yīng)，不僅僅是時(shí)鐘，而是所有與時(shí)間有關(guān)的過(guò)程，諸如植物生長(zhǎng)、細(xì)胞分裂、原子震蕩，還有你的心跳，所有的過(guò)程都放慢了腳步?？傊褪钦f(shuō)，當(dāng)自認(rèn)為是在“靜止”參考系中的人過(guò)了3年時(shí)，運(yùn)動(dòng)的人卻只過(guò)了2年。按照地球人的計(jì)劃，1997年發(fā)射的那艘宇宙飛船，將于30年之后掉頭反向以同樣的速度飛回地球。因此，總共經(jīng)過(guò)地球上60年之后，2057年，一對(duì)雙胞胎能夠再見(jiàn)面啦！那時(shí)候，地球上的弟弟劉地已經(jīng)60歲了，但一直生活在高速運(yùn)動(dòng)的飛船中的哥哥劉天卻只過(guò)了40個(gè)年頭，人到壯年，風(fēng)華正茂的年月。不過(guò)，有人便說(shuō)：劉天會(huì)怎么想呢？愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論不是說(shuō)所有的參考系都是同等的嗎？劉天在飛船中一直是靜止的，地球上的弟弟卻總是相對(duì)于他作高速運(yùn)動(dòng)，因此，他以為弟弟應(yīng)該比他還年輕許多才對(duì)。但是，事實(shí)卻不是這樣，他看到的弟弟已經(jīng)是兩鬢斑白、老態(tài)初現(xiàn)，這便似乎構(gòu)成了佯謬。無(wú)論如何，我們應(yīng)該如何解釋劉天心中的疑惑呢？
圖2-12-1：雙生子佯謬和同時(shí)性
首先，劉天有關(guān)狹義相對(duì)論的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。狹義相對(duì)論并不認(rèn)為所有的參考系都等同，而是認(rèn)為只是慣性參考系才是等同的。劉天所在的宇宙飛船的飛行過(guò)程分成了飛離地球和飛向地球這兩個(gè)階段，每一段過(guò)程相對(duì)于地球而言都是作勻速運(yùn)動(dòng)，都能夠分別當(dāng)作是慣性參考系，但整個(gè)過(guò)程卻不能在一起作為一個(gè)統(tǒng)一的慣性參考系。既然出發(fā)又再回頭的宇宙飛船對(duì)整個(gè)過(guò)程而言并不是一個(gè)慣性參考系，劉天便不能以此而得出劉地比他年輕的結(jié)論，因而“佯謬”不成立。當(dāng)劉天返回地球時(shí)，的確會(huì)發(fā)現(xiàn)地球上的弟弟已經(jīng)比自己老了20歲。如果設(shè)想宇宙飛船的速度更快一些，快到接近光速的話，當(dāng)它再次返回地球時(shí)，的確就有可能出現(xiàn)神話故事中描述的“山中方一日，世上已千年”的奇跡了。
我們可以使用剛才介紹的閔可夫斯基時(shí)空，更為仔細(xì)地分析這個(gè)問(wèn)題。不過(guò)，我們并不需要畫出4維的圖形，只需要像圖2-12-1b所示的，畫出一個(gè)時(shí)間軸t加一個(gè)空間軸x，就足以說(shuō)明問(wèn)題了。
圖2-12-1b中用黑線標(biāo)示的直角坐標(biāo)系（t，x）是地球參考系中的坐標(biāo)。在這個(gè)坐標(biāo)系中，兩個(gè)雙生子的時(shí)空過(guò)程，可以分別用他們的“世界線”來(lái)表示。什么是世界線呢？就是某個(gè)事件在時(shí)空中所走的路徑。用這個(gè)新名詞，以區(qū)別于僅僅是空間的“軌跡”或者僅僅時(shí)間的流逝。比如說(shuō)，劉地在地球上一直沒(méi)有動(dòng)，所以他的世界線是沿著t軸，從出發(fā)點(diǎn)O->A ->C->D，圖中是一條垂直向上的直線。而宇宙飛船中的劉天的世界線在圖中是從O ->B ->D的一條折線。
也就是說(shuō)，兩個(gè)雙生子的世界線都是從O到D，這是標(biāo)志他們交匯見(jiàn)面的兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)：分別對(duì)應(yīng)于出生時(shí)（O）和地球上60年之后（D）。兩人的世界線中的一條是直線，一條是折線，這又說(shuō)明什么問(wèn)題呢？讀者可能會(huì)認(rèn)為：折線不是比直線要長(zhǎng)嗎？這點(diǎn)在普通空間是正確的，在“時(shí)空”中卻未必見(jiàn)得，那是因?yàn)樵谶@個(gè)2維時(shí)空中的距離平方：
dt2=dt2-dx2 （2-12-1）
的原因，而在普通2維坐標(biāo)空間中：
ds2=dx2+dy2 （2-12-2）。
公式（2-12-1）中時(shí)空度規(guī)中的負(fù)號(hào)造成了時(shí)空空間的一些奇特性質(zhì)。
首先，我們用圖2-12-1b，觀察解釋一下時(shí)空中同時(shí)概念的相對(duì)性。對(duì)地球參考系（黑線直角坐標(biāo)）而言，同時(shí)的點(diǎn)位于平行于x軸的同一條水平線上。比如說(shuō)，地球上2012年發(fā)生的事件都在標(biāo)志了“t=15年”的那條水平線上。這段時(shí)間內(nèi)，宇宙飛船相對(duì)于地球作勻速運(yùn)動(dòng)，可以看作是一個(gè)慣性參考系。飛船參考系的坐標(biāo)相對(duì)于地球參考系的坐標(biāo)來(lái)說(shuō)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)，如圖中紅色的斜線所表示。讀者務(wù)必注意，這兒的所謂“坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)”，也不同于普通空間中的旋轉(zhuǎn)，被稱之為“雙曲旋轉(zhuǎn)”，因?yàn)樵陂h可夫斯基時(shí)空中坐標(biāo)變黃時(shí)需要保持光速不變，所以，當(dāng)時(shí)間軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，空間軸需要逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。在劉天的飛船參考系中看起來(lái)，平行于x’的紅色斜線才是等時(shí)線。比如說(shuō)，可以看看圖中的A、B、C這三個(gè)事件。地球上的劉地看來(lái)，C和B是同時(shí)發(fā)生的，都發(fā)生在地球上的2027年，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自己30歲了。在宇宙飛船上的哥哥劉天呢，本來(lái)也應(yīng)該是30歲，但是他的飛船時(shí)間過(guò)得慢，所以，哥哥只有20歲。飛船上的劉天怎么說(shuō)呢？他不認(rèn)為C和B是同時(shí)的。按照他的紅線坐標(biāo)，B和A才是同時(shí)的，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自己20歲，與B同時(shí)的是A點(diǎn)，弟弟相對(duì)于我，是運(yùn)動(dòng)的，時(shí)間應(yīng)該更慢，所以，他還不到20歲。
在圖中的這兩個(gè)坐標(biāo)系中（黑色和紅色的），兩個(gè)人的說(shuō)法都是正確的，每一個(gè)人都觀察到對(duì)方坐標(biāo)系中的時(shí)鐘比自己的更慢，從而都可以得出對(duì)方比自己更年輕的結(jié)論。但是，處于這樣兩個(gè)相互作勻速直線運(yùn)動(dòng)參考系中的雙胞胎，出生且相互分離之后便永遠(yuǎn)不可能再見(jiàn)面，因而也就不可能構(gòu)成前面所述的佯謬。不過(guò)，讀者可能會(huì)說(shuō)：他們雖然不能見(jiàn)面，但是可以通電話呀，在電話中他們互相一問(wèn)，不就知道對(duì)方多少歲了么？然而，狹義相對(duì)論認(rèn)為信息的速度不可能超過(guò)光速，當(dāng)他們以光速通話時(shí)，也需要考慮他們之間的距離以及同時(shí)性的問(wèn)題，對(duì)此我們就不進(jìn)一步分析了。
在我們的故事中，地球上過(guò)了30年之后，太空船掉頭向地球飛來(lái)，但這時(shí)的飛船參考系，已經(jīng)不同于原來(lái)紅線坐標(biāo)的那一個(gè)了。要使太空船掉頭達(dá)到反方向的速度，加速和減速的過(guò)程是必不可少的。在這個(gè)過(guò)程中的劉天感覺(jué)將如何？是不是被壓扁或撕裂了??？還能那么年輕力壯嗎？我們且不去考慮這些種種問(wèn)題，僅僅從狹義相對(duì)論時(shí)鐘變慢的效應(yīng)來(lái)估算他的年齡而已。
那么，既然在雙生子佯謬中需要考慮宇宙飛船的加速度，是不是需要廣義相對(duì)論的知識(shí)才能解釋清楚它呢？也不是這樣的。用地球參考系的2維時(shí)空?qǐng)D就可以解釋清楚了。這兒，首先需要介紹一下在相對(duì)論中很重要的“固有時(shí)”概念。
圖2-12-2：固有時(shí)和坐標(biāo)時(shí)的區(qū)別以及與弧長(zhǎng)的類比
固有時(shí)，或稱原時(shí)，也就是公式（2-12-1）中的t，在（2-12-1）中表示的是微分形式的dt，一段有限長(zhǎng)度的固有時(shí)可用積分來(lái)計(jì)算得到。將公式（2-12-1）和（2-12-2）比較一下可知，固有時(shí)t類似于普通空間中弧長(zhǎng)s的概念。在普通空間中，弧長(zhǎng)s表示一條曲線的長(zhǎng)度，或者說(shuō)是一個(gè)人走過(guò)的路徑的長(zhǎng)度。設(shè)想如圖2-12-2a的旅行者（太空人），帶著自己的時(shí)鐘和卷尺（計(jì)步機(jī)），一直記錄他走過(guò)的距離和時(shí)間。他的計(jì)步機(jī)（或卷尺）計(jì)算測(cè)量他走過(guò)的距離，而他的時(shí)鐘所記錄的，就是固有時(shí)，見(jiàn)圖2-12-2c。從圖2-12-2b可以看出固有時(shí)和坐標(biāo)時(shí)的區(qū)別，坐標(biāo)時(shí)是事件之外的觀察者使用某個(gè)參考系而記錄的事件發(fā)生的時(shí)間，固有時(shí)則是旅行者自己攜帶的時(shí)鐘記錄的時(shí)間。此外，固有時(shí)與弧長(zhǎng)不同之處是：普通空間的弧長(zhǎng)一般比坐標(biāo)數(shù)值更大，但固有時(shí)卻比坐標(biāo)時(shí)更小，其原因從公式（2-12-1）中顯而易見(jiàn)，正是因?yàn)槎纫?guī)中空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)間的符號(hào)差。換言之，固有時(shí)用以描述時(shí)空中兩個(gè)事件之間流過(guò)的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間被賦予事件自身的時(shí)鐘所測(cè)量。因而，測(cè)量結(jié)果不僅取決于兩個(gè)事件對(duì)應(yīng)的時(shí)空點(diǎn)位置，而且也取決于時(shí)鐘參與其中的具體過(guò)程。再表達(dá)得更簡(jiǎn)要一點(diǎn)，固有時(shí)是時(shí)鐘的世界線長(zhǎng)度。
實(shí)際上，我們之前學(xué)過(guò)了黎曼幾何，對(duì)固有時(shí)的概念不難理解，它就是對(duì)應(yīng)于在黎曼幾何中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的內(nèi)蘊(yùn)幾何不變量：弧長(zhǎng)s。對(duì)廣義相對(duì)論重要的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，在狹義相對(duì)論中也很重要。
如何來(lái)計(jì)算兩個(gè)雙胞胎在重逢時(shí)各自度過(guò)的真實(shí)年齡呢？結(jié)論是：計(jì)算和比較他們?cè)趦纱蜗嘤鲋g的固有時(shí)。因?yàn)楣逃袝r(shí)t是內(nèi)蘊(yùn)不變的，這個(gè)計(jì)算可以在任何一個(gè)參考系中進(jìn)行，都將得到同樣的結(jié)果。每個(gè)人的年齡是由他身體的新陳代謝機(jī)制決定的，他的身體內(nèi)有一個(gè)生物鐘。人體處于各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（靜止或運(yùn)動(dòng)、加速或減速）時(shí)，他的生物鐘便會(huì)隨著變化，或減慢，或加快，這便可以作為每個(gè)人自己帶著的“時(shí)鐘”。下面，我們首先用地球參考系來(lái)考察兩個(gè)雙胞胎在兩次相遇之間的固有時(shí)。劉地一直停留在地球上沒(méi)有移動(dòng)，他的世界線是地球參考系中時(shí)間軸上的一段，這個(gè)參考系中，他的固有時(shí)也就等于坐標(biāo)時(shí)，等于60年。而劉天的世界線是圖2-12-2c右圖中的OBD折線。折線中每一段的長(zhǎng)度是20年，兩段相加等于40年。所以，兩個(gè)雙生子在D點(diǎn)見(jiàn)面的時(shí)候，劉天40歲、劉地60歲。
從以上的分析可以體會(huì)到利用“固有時(shí)”來(lái)計(jì)算此類問(wèn)題的方便之處。我們并不需要仔細(xì)考慮每個(gè)事件的過(guò)程，不需要詳細(xì)去分析劉天的宇宙飛船哪一段是勻速，哪一段是加速，等等繁瑣的細(xì)節(jié)，比如圖2-12-2c右圖中的另一條從O到D的彎彎曲曲的曲線，如果那是劉天的宇宙飛船的時(shí)空軌跡的話，只需要在地球參考系中計(jì)算這條線的固有時(shí)，那便就是劉天的年齡了。
如果不用地球參考系，使用宇宙飛船離開(kāi)地球勻速運(yùn)動(dòng)的參考系，或者是返回時(shí)的勻速運(yùn)動(dòng)參考系，也都可以驗(yàn)證以上結(jié)果。三種情形得到同樣結(jié)果：劉天40歲、劉地60歲。見(jiàn)圖2-13-2。
圖2-12-3：使用不同的參考系計(jì)算雙生子的年齡
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