第一部分：蘭徹斯特方程
蘭徹斯特（Frederick William Lanchester1868～1946）是英國工程師，流體力學家和運籌學家，也是英國汽車與航空工程先驅者，他于1896年制成英國第一輛汽車。1915年，他在《戰(zhàn)斗中的飛機》一文中，首先提出用常微分方程組描述敵對雙方兵力消滅過程，定性地說明了集中兵力的原理。這個原理，就是“蘭徹斯特方程”（“蘭徹斯特”也常被譯成“蘭切斯特”）。蘭徹斯特方程提出兩個非常理想化的數(shù)學模型：蘭徹斯特線性律和蘭徹斯特平方律。
1-1：蘭徹斯特線性律
蘭徹斯特線性律分為第一線性律和第二線性律。
1-1-1：蘭徹斯特第一線性律
維基百科對于第一線性律的核心表述是“一個戰(zhàn)士每次只能與另外一個敵人戰(zhàn)斗。每次只能擊殺一個敵人，或者被一個敵人擊殺。在作戰(zhàn)雙方武器相同條件下，戰(zhàn)斗結束時剩下的部隊數(shù)量就簡單的是雙方部隊的數(shù)量差——多方多余少方的數(shù)量?！?/span>
只能有一對一的戰(zhàn)斗，換句話說，同一時間，雙方只能有相同數(shù)量兵力參與戰(zhàn)斗。在這種情況下，戰(zhàn)損率（戰(zhàn)斗損失的兵力數(shù)量的變化速度）與雙方的兵力數(shù)量都沒有關系。
符合第一線性律的真實場景中，“狹路相逢”是最常見的一種：兩支部隊在有限寬度的路口短兵相接。其中，最簡單的一個場景是這個路口只能一對一的戰(zhàn)斗，雙方都是近戰(zhàn)，除了對戰(zhàn)的兩個單位，其他單位不能參與到戰(zhàn)斗中【圖01】。兩支對戰(zhàn)的部隊A和B，我們用x表示A隨著時間變化的部隊數(shù)量，y表示B隨著時間變化的部隊數(shù)量；a表示A每個單位的瞬時傷害率（對敵人造成傷害的效率），b表示B每個單位的瞬時傷害率。那么，A的戰(zhàn)損率dx/dt和B的戰(zhàn)損率dy/dt滿足以下微分方程：
這是一個與時間t無關的方程，所以不僅僅在初始兵力下成立，在任何一個瞬間，只要滿足：ax=by【蘭徹斯特線性律】，我們就可以說A和B戰(zhàn)力相等。即，在滿足線性律的條件下，部隊實力與己方部隊數(shù)量成正比。
事實上，除了“一對一”的戰(zhàn)斗，如果雙方參與戰(zhàn)斗的兵力數(shù)量都是n，n不大于A的兵力總數(shù)量x，也不大于B的兵力總數(shù)量y，那么描述戰(zhàn)損的方程就是：
這個方程組依然可以得到線性率的ax=by。
從方程可見，第一線性律所描述的戰(zhàn)損率只跟敵方的傷害輸出有關，而與己方的傷害輸出無關。所以，對于第一線性率更加精確的描述是：如果作戰(zhàn)雙方總是完全承受相同數(shù)量的敵人部隊所造成的傷害，那么部隊實力與己方部隊數(shù)量成正比。
維基百科的描述“古代戰(zhàn)斗中，在由長矛兵組成的密集陣型之間”的條件，就是在有限寬度路口，或者說是在有限“接觸面”情況下的第一線性率【圖02】。在這種情況下，只有“第一排”的戰(zhàn)士參與到戰(zhàn)斗中，后排戰(zhàn)士無法輸出傷害，直到前排戰(zhàn)士被擊殺之后補位到第一排。
符合第一線性率的另外一種情況是雙方陷入混戰(zhàn)，兵力足夠分散從而無法相互支援：戰(zhàn)斗發(fā)生在“捉對廝殺”的兩個單位之間【圖03】。這種情況可能是短暫的狀態(tài)，但是在實際條件下，每個單位的移動速度不是足夠快，射程也不是足夠遠——我們說，在有限“協(xié)作性”的情況下，戰(zhàn)場局面的很多瞬間都是這樣的情形。
1-1-2：蘭徹斯特第二線性律
蘭徹斯特第二線性率描述了與第一線性率完全不同的場景模型：雙方部隊在不能精確瞄準的情況下往對方的大概方向的隨機位置射擊，在雙方隊列密度和武器都相同的情況下，“人數(shù)較多的一方被擊中的概率與其擊中人數(shù)較少一方的次數(shù)相平衡”。也就是說，雖然人多的一方單位時間內(nèi)有更大的傷害輸出，但是因為承受傷害的面積更大，所以被擊中的概率也更大【圖04】。
第二線性率的方程組：
依然可以推出蘭徹斯特線性率的ax=by。（本文所討論的內(nèi)容，如果沒有特別指出，“蘭徹斯特線性率”一般均指“蘭徹斯特第一線性率”。）
1-2：蘭徹斯特平方律
維基百科對于平方律條件的核心描述是：“部隊可以攻擊多個目標并受到來自各個方向的傷害”。描述平方律戰(zhàn)損的方程組：
1-3：蘭徹斯特指數(shù)
在實際的戰(zhàn)斗中，因為每個單位都會占用一定的空間，他們的速度不是足夠快，射程也沒有足夠長。大部分時候，一個單位不僅僅可以攻擊到另外一個單位，也不僅僅只能被另外一個單位所攻擊；同時也不能攻擊到任意敵人單位，且不能被敵人任意單位同時攻擊到。在這種情況下，這些單位組成的部隊戰(zhàn)斗力介于線性率和平方率之間。維基百科中寫道，“在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，常常需要考慮到線性律和平方律在某種程度上同時起作用，通常使用1.5的指數(shù)”。本文中把這個指數(shù)叫做蘭徹斯特指數(shù)。
第二部分：攻擊先后和臨界生命值
蘭徹斯特方程的前提假設是：持續(xù)輸出傷害并且持續(xù)受到傷害。在實際的戰(zhàn)斗中，如果一個單位因為受到傷害被擊殺，那么這個單位就無法再提供傷害輸出。如果一個單位受到下一次攻擊后就會被擊殺，不能做出反擊，我們就說這個單位處于臨界生命值。
我們考慮線性律中最簡單的場景：一對一的戰(zhàn)斗。
用A1表示A隊的第一個單位，A2表示A隊第二個單位，以此類推；A1(1)表示A1的可以承受1次攻擊，A1(2)表示A1可以承受2此攻擊，以此類推；用A1(1):B1(1)表示可以承受1次攻擊的單位A1對抗可以承受1次攻擊的單位B1。
最簡單的情況A1(1):B1(1)，A1和B1都有50%的概率擊殺對方，也有50%的概率被對方擊殺——取決于誰先發(fā)出攻擊；而且因為都只能承受1次攻擊，所以受到攻擊后無法反擊。所以結果要么是A1(1):B2(1)（A1先手，B1被擊殺后B2頂上），要么是A2(1):B1(1)，都有50%的概率。
如果A的每個單位都可以承受2次攻擊，那么A1(2):B1(1)的情況就需要逐步分析【圖05】。可以看出，完全滿足線性律結果的，即2個B單位與1個A單位戰(zhàn)力相同的概率只有25%。甚至有極小的概率，1個A單位可以對抗許多B單位（例如，1個A單位對抗6個B單位的概率有3.125%）。
同樣，分析A1(4):B1(2)的情況【圖06】（A單位質(zhì)量是B的2倍），滿足線性律的概率也只有25%（即2的平方分之一）;
分析A1(3):B1(1)的情況【圖07】（A單位質(zhì)量是B的3倍），滿足線性律的概率只有12.5%（即2的立方分之一）。
出現(xiàn)這個現(xiàn)象的原因，是因為在受到相同的攻擊次數(shù)下，質(zhì)量越高的單位達到臨界生命值的比率更小，我們把這種現(xiàn)象叫做質(zhì)量優(yōu)勢放大。如果考慮到質(zhì)量優(yōu)勢放大的效應，那么在一些極端情況下會出現(xiàn)比線性律指數(shù)更低的情況，也就是說，指數(shù)可能介于0到1之間。我們把低于線性律1的蘭徹斯特指數(shù)（且大于0），叫做次線性指數(shù)。
第三部分：先手概率
在考慮到攻擊先后和臨界生命值的基礎上，我們再分析一個平方律下的場景：A隊有4個單位，每個單位可以承受1次傷害；B隊有一個單位，這個單位可以承受4次傷害。分析圖【圖08】如下：
可見，單位數(shù)量多的一方，會有很大的概率（圖中是80%的概率）在無傷亡的情況下全殲敵人。這是因為考慮到攻擊先后又考慮到被擊殺的單位無法反擊，那么只有先出手攻擊的單位可以造成傷害；而數(shù)量越多的一方，先出手攻擊的單位數(shù)量也多一些。
也就是說，平方律本身就是對數(shù)量優(yōu)勢的放大，如果考慮到先手概率，數(shù)量優(yōu)勢會被放大得更多，在極端情況下甚至會高于平方律的2。我們把高于平方律2的蘭徹斯特指數(shù)，叫做超平方指數(shù)。
第四部分：韌性與協(xié)作性
我們把一個單位承受傷害的能力叫做韌性，把單位能夠及時參與輸出傷害的能力叫做協(xié)作性。通過我們之前的分析，可以得出，蘭徹斯特指數(shù)介于次線性指數(shù)和超平方指數(shù)之間，并且有這樣的兩個結論：
4-1：韌性與協(xié)作性都會造成兵力優(yōu)勢放大
韌性會放大單位的質(zhì)量優(yōu)勢，協(xié)作性會放大部隊的數(shù)量優(yōu)勢。這兩種放大效應會疊加在一起，形成部隊的兵力優(yōu)勢放大。
4-2：協(xié)作性可提升蘭徹斯特指數(shù)
協(xié)作性原本只是讓更多的單位及時參與到戰(zhàn)斗中，也就是說讓戰(zhàn)場上更多的單位滿足平方律的條件。但是因為有超平方指數(shù)的存在，協(xié)作性對于兵力數(shù)量優(yōu)勢的放大效應會更加明顯。這個結論會讓戰(zhàn)斗場面出現(xiàn)一個有趣且違背直覺的現(xiàn)象：即使兵力接近的兩支部隊，甚至可能因為隨機因素導致一方先減員的，會讓這一方完敗。協(xié)作性越強，這種事件出現(xiàn)的概率越大。
第五部分：戰(zhàn)略游戲中的蘭徹斯特方程
兵力接近的兩支部隊發(fā)生戰(zhàn)斗，結果隨機性的一方以非常少的損失全殲了對方——這個“有趣且違背直覺的現(xiàn)象”是游戲中最不愿意看到的情況之一。即便不是這樣的極端情況，雙方兵力有微小的差距，這種差距也會被蘭徹斯特指數(shù)放大，表現(xiàn)出來的結果就是，辛辛苦苦發(fā)展十幾分鐘，見面一戰(zhàn)就定勝負了：兵力優(yōu)勢放大會讓勝利的一方損失很小，而戰(zhàn)敗的一方幾乎全滅。這種情況被玩家戲稱為“一波爭霸”。
5-1：戰(zhàn)棋和回合制
說“違背直覺”，是因為戰(zhàn)略游戲并不是從一開始就是這樣一戰(zhàn)定勝負的。最初的戰(zhàn)略游戲，兵力優(yōu)勢放大效應并不明顯，這些游戲的蘭徹斯特指數(shù)較小，偏線性律。
人們自古就對戰(zhàn)略游戲有需求，一方面是娛樂的需求，但是更加重要的是，戰(zhàn)略游戲在很多元素上模擬了真實的戰(zhàn)爭——戰(zhàn)略游戲以較小的代價（時間成本）在某種程度上滿足了人們積累戰(zhàn)爭博弈經(jīng)驗的需求（而無須真實戰(zhàn)爭的代價）。在沒有電腦和互聯(lián)網(wǎng)的時候，棋類游戲就是最初的戰(zhàn)略游戲。比如說象棋，我們可以把一個回合理解成一個瞬間的“同一時間”：在這個回合中有可能吃掉對方一個棋子也可能沒有。如果在n個回合中，A有i次吃子，B有j次吃子，那么A的戰(zhàn)力相當于在線性率的基礎上乘以，B則乘以，而蘭徹斯特指數(shù)始終還是1。
電腦上的回合制戰(zhàn)棋游戲，一個回合是雙方所有單位行動一次的周期。在一個回合中，如果某一方的所有單位都能輸出傷害，那么這一個回合之中，這一方的戰(zhàn)力滿足平方律。實際上，一個回合之中，不一定所有單位都能參與輸出；某一方參與輸出單位的數(shù)量也不一定與另外一方參與輸出單位的數(shù)量相等。所以，雙方的蘭徹斯特指數(shù)高于線性律的1，而且不一定相等。
由此可見，其實兵力優(yōu)勢放大在回合制戰(zhàn)棋類游戲中已經(jīng)有所體現(xiàn)，但是由于回合制的限制，兵力優(yōu)勢擴大效應并不是在短時間內(nèi)完成的，而是需要經(jīng)歷多個回合。例如，A1與B1，A2與B2原本在相互捉對廝殺。第一回合中A1擊殺了B1，那么A1在回合制的規(guī)則下，至少需要到第二回合才能協(xié)助A2參與到對B2的攻擊中。
5-2：第一代即時戰(zhàn)略游戲
在即時戰(zhàn)略游戲中，如果A1擊殺了B1，在足夠速度和足夠射程的條件下，A1可以“馬上”參與到對A2的協(xié)助中。換句話說，A1對于B1的擊殺導致B隊的減員。在回合制下，在下幾個回合之前（A1能協(xié)助到A2需要的回合次數(shù)），A1和B1都無法參與輸出，即A隊和B隊的蘭徹斯特指數(shù)都降低了；但是在即時制下，A1可以馬上參與到對A2的協(xié)助中，B隊的蘭徹斯特指數(shù)因為減員而降低，但是A隊并沒有降低。所以相對于回合制，即時制的兵力優(yōu)勢放大更加明顯。
戰(zhàn)棋游戲中每個單位每個回合的行動，都是玩家操作和控制的；而在即時戰(zhàn)略游戲中，在時間壓力下，如果每個單位都等待玩家具體的操作再做出反應是會讓人感覺很古怪的。所以即時戰(zhàn)略游戲中，通常每個單位都有一個叫做“警戒范圍”的屬性，如果有敵人進入這個范圍，即便玩家沒有發(fā)出指令，單位也會去自動攻擊。另外，在一場戰(zhàn)斗中，如何調(diào)整陣型，選擇最有效的攻擊目標，除了玩家的操作，更多需要AI的計算配合玩家發(fā)出的指令來完成。
我們看看在星際1里面被玩家戲稱為bug一般的龍騎士尋路AI，甚至在重制版里面為了保持“原汁原味”被保留了下來。當兩隊在狹窄路口相遇，龍騎士作為射程單位，在敵人剛進入射程的時候就會停止移動開始射擊。但在這個時候，敵人并沒有進入后排龍騎士的射程。最理想的狀態(tài)是玩家微操作前排的單位往前再移動一點距離，但是在大部分情況下，普通玩家的手速有限，可能顧及不過來。于是，后排的龍騎士有了奇怪的舉動：他們開始往后走，試圖“繞”到前面去——即便地圖上可能根本無路可繞。
在早期的即時戰(zhàn)略游戲中，因為電腦性能限制，以及AI算法的局限性，在沒有玩家直接參與微操作的情況下，每個單位的行為顯得非常的不智能。這種“笨”可能表現(xiàn)為繞路，也可能表現(xiàn)為發(fā)呆，還可能是折線尋路，圍殺留口等等，總之，就是每個單位應有的協(xié)作性沒法完全表現(xiàn)出來。因此，這樣的早期戰(zhàn)略游戲（我們也稱為第一代即時戰(zhàn)略游戲），它們相對于戰(zhàn)棋游戲有更高的蘭徹斯特指數(shù)，但是因為手速和AI的限制，很難達到平方律甚至超平方律，這樣的游戲對戰(zhàn)時兵力消耗較為緩慢和平穩(wěn)，玩家容易及時止損，比較容易避免出現(xiàn)“一波爭霸”的局面。
5-3：第二代即時戰(zhàn)略游戲
隨著技術與算法的進步，也隨著游戲設計經(jīng)驗的積累，即時戰(zhàn)略游戲中的AI越來越聰明。以星際爭霸2為代表的第二代即時戰(zhàn)略游戲中，AI正變得越來越智能和合理。以剛才龍騎士的例子來說，雖然把前排單位前移屬于微操作范疇，AI不應該越俎代庖，但是讓后排的單位不要亂跑，等待前排單位被擊殺后補位卻是AI份內(nèi)的事情。再比如說，把一個單位從密集陣型的部隊的一邊調(diào)動到另外一邊，第一代即時戰(zhàn)略游戲中那么讓這個單位繞路，要么只有手動微操作讓擋了路的友軍挪動開。而在第二代即時戰(zhàn)略游戲中，即便沒有微操作，友軍也會自動給這個單位讓路。
因為AI的進步，讓游戲中每個單位協(xié)作性可以完全發(fā)揮出來，第二代即時戰(zhàn)略游戲中的蘭徹斯特指數(shù)大大提升，可以接近平方律甚至超平方律。我們回顧一下平方律的條件，如果從單方面戰(zhàn)力來看，可以表述為：自己所有單位都能參與到戰(zhàn)斗的傷害輸出。在單位移動速度和射程有限的情況下，最理想的狀態(tài)莫過于所有單位聚集到一個點上；如果考慮到單位需要占用一定的體積（戰(zhàn)場面積），那么能最大化己方戰(zhàn)力的方案就是盡量的緊密的陣型，即我們常說的團聚機制。
團聚機制是一把雙刃劍：一方面最大化了己方的戰(zhàn)力，另外一方面也導致敵人的AOE傷害（Area of Effect，范圍傷害）會變得異常強大。當然完全禁止AOE傷害也是不明知的，如果沒有AOE傷害的制衡，那么較高的蘭徹斯特指數(shù)會讓所有戰(zhàn)斗靠無懸念的勝者損失極小而敗者全滅。所以，第二代即時戰(zhàn)略游戲除了削弱AOE傷害，還需要更多的機制來制衡高蘭徹斯特指數(shù)造成的兵力優(yōu)勢放大的影響。
5-4：戰(zhàn)略游戲的需求
一場勢均力敵的比賽才是精彩的比賽。如果比賽剛開始不久就可以斷定勝負，或者在比賽之中呈現(xiàn)出一邊倒的局面，這不僅讓觀看者毫無懸念，還會讓劣勢方帶著無望的挫敗感消極比賽，甚至讓優(yōu)勢方缺少樂趣和成就感。
傳統(tǒng)的戰(zhàn)略游戲往往模擬了一個發(fā)展的過程：玩家的兵力從無到有，從少到多。玩家歷經(jīng)十幾分鐘甚至幾十分鐘的發(fā)展（一般競技游戲會控制一場游戲的總時間，而單機PvE的游戲可能需要更長的發(fā)展周期），終于組織起一支足夠強大的部隊，結果雙方部隊遭遇，在幾分鐘甚至幾十秒內(nèi)就勝負已定，而且在蘭徹斯特指數(shù)兵力優(yōu)勢放大的影響下，往往獲勝方以大優(yōu)勢取勝。這樣，一場戰(zhàn)斗失敗的一方，幾乎沒有翻盤的可能。這不是玩家希望看到的局面，也不是游戲設計者希望看到的局面。
我們希望在戰(zhàn)略游戲中，對抗的雙方優(yōu)勢和劣勢都是慢慢積累起來的，而且因為決策或者操作，優(yōu)勢可以失去，劣勢也可以挽回。我們希望每一場戰(zhàn)斗都是勢均力敵的，而且希望能多有幾場戰(zhàn)斗——畢竟對于大部分玩家來說，相對于發(fā)展，激烈的正面交鋒顯得更加有趣。于是在正面戰(zhàn)場上，有了兵種相克和范圍傷害（AOE）等設計來制衡蘭徹斯特指數(shù)兵力優(yōu)勢放大。增加了防守的優(yōu)勢如狹窄地形（降低蘭徹斯特指數(shù)），斜坡（視野與命中率），炮臺（比兵種單位性價比更高）等。在發(fā)展策略上，制定了針對性的數(shù)學模型從資源和經(jīng)濟上來制衡。
比如，在星際1中，因為蘭徹斯特指數(shù)不高，每個種族可以根據(jù)自身特色制定出不同的經(jīng)濟發(fā)展模型；而在星際2中，因為蘭徹斯特指數(shù)的提升，三個種族的經(jīng)濟模型都非常接近——在滿人口的時候都是70左右的農(nóng)民，資源收益速度都差不多。因為即使相當實力的兵力對戰(zhàn)也充滿著極大的不確定性，星際2的經(jīng)濟模型讓一場戰(zhàn)斗的損失可以盡快彌補回來——只要經(jīng)濟足夠好。而在魔獸爭霸3中，總人口的限制和維護費的限制，讓即便是5個農(nóng)民的人口占用也顯得捉襟見肘。魔獸3的經(jīng)濟模型試圖讓對戰(zhàn)雙方的人口都控制在戰(zhàn)力接近的水平上，經(jīng)濟也控制在差不多收入的水平上，以此讓玩家把更多的精力和操作放在正面戰(zhàn)場上。
總之，蘭徹斯特指數(shù)兵力優(yōu)勢放大是戰(zhàn)略游戲需要考慮到的一個基本原理。低蘭徹斯特指數(shù)的戰(zhàn)略游戲有著自己的樂趣和魅力，就像象棋和國際象棋依然吸引著許多愛好者。但是隨著技術和算法的進步，高蘭徹斯特指數(shù)的即時戰(zhàn)略類游戲更加符合人們對于真實戰(zhàn)斗模擬的預期——特別是即時戰(zhàn)略游戲主要表現(xiàn)的局部正面戰(zhàn)場。當我們抱怨像星際2這樣的游戲中，往往雙方兵力抱團游走，誰也不敢輕易出手，一旦交火似乎操作無用，甚至“雙手離開鍵盤”效果更佳的時候，只有多思考，更加深入的去分析背后的原理，才能找到去適應技術進步的合理和科學的設計方案。
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