文/策劃發(fā)子哥
在一本正經(jīng)的介紹蘭徹斯特方程前，先膜拜一下方程的創(chuàng)始人：F.W.蘭徹斯特
弗雷德里克·威廉姆·蘭徹斯特，1868—1946
蘭徹斯特方程最早收錄在蘭徹斯特的工程著作《戰(zhàn)斗中的飛機》一書中，其核心主要是預(yù)測大規(guī)模多人會戰(zhàn)中，各方隊伍在人數(shù)、戰(zhàn)力數(shù)據(jù)明確的情況下，各方在戰(zhàn)斗結(jié)束時的戰(zhàn)損情況，并且因為其計算結(jié)果在多次戰(zhàn)爭中得到印證而逐漸的被神化。
也因為其對理想狀況下戰(zhàn)損預(yù)測的高度精確性，在游戲行業(yè)中也經(jīng)常會有一些人去琢磨怎樣利用蘭徹斯特方程讓自己的戰(zhàn)斗結(jié)果更加真實可信。而事實可能往往不如人意，這也是本文為什么要詳細(xì)的介紹蘭徹斯特方程的原因。
誕生背景
蘭徹斯特提出的這個公式有著非常強的時代背景。當(dāng)時的歐洲戰(zhàn)爭，是以“排隊槍斃”戰(zhàn)術(shù)為主流，打起來基本是這樣的：
18、19世紀(jì)英國主流戰(zhàn)術(shù)—“排隊槍斃”
在我們現(xiàn)代人眼里，線列步兵這種“排隊槍斃”戰(zhàn)術(shù)簡直就是二貨扎堆的真人版，槽點滿滿。但實際上，這卻是當(dāng)時最先進、最實際的戰(zhàn)術(shù)，沒有任何其它戰(zhàn)術(shù)能比它更加有操作性。
“排隊槍斃”戰(zhàn)術(shù)在實戰(zhàn)過程中分成兩個階段，遠(yuǎn)距離對射，近距離肉搏，基于該特征，蘭徹斯特在對戰(zhàn)爭損耗的模擬時，也利用了分情況討論，并且以此得出了兩個不同的戰(zhàn)損計算公式。
方程解釋
1、遠(yuǎn)距離恒定傷亡對射情況(上古時代才有的情況)
蘭徹斯特第一線性律
以古代戰(zhàn)斗模型為基礎(chǔ)，戰(zhàn)斗結(jié)局取決于雙方的格斗水平。其假定條件是作戰(zhàn)兵力相互暴露，可解釋成人對人或武器對武器的交戰(zhàn)，每一方損耗率都平均為常值。
設(shè)x0為紅方在t=0時刻的初始兵力，xt為紅方在t時刻瞬時兵力（或剩余兵力）；
設(shè)y0為藍(lán)方在t=0時刻的初始兵力，yt為藍(lán)方在t時刻瞬時兵力（或剩余兵力）；
設(shè)a為紅方單位時間內(nèi)損失的作戰(zhàn)單位數(shù)；（每秒死a個人）
設(shè)b為藍(lán)方單位時間內(nèi)損失的作戰(zhàn)單位數(shù)；（每秒死b個人）
則紅方，藍(lán)方在戰(zhàn)斗中的人員損失情況可以用常微分方程表述如下：
簡單求解可得在戰(zhàn)斗過程中紅方剩余人數(shù)xt以及藍(lán)方剩余人數(shù)yt的具體數(shù)值。
戰(zhàn)斗結(jié)果分析：
a,b分別代表紅方，藍(lán)方的損耗系數(shù)，換個方式來理解，a代表著藍(lán)色方對紅方的殺傷力，b代表著紅色方對藍(lán)色方的殺傷力。
簡單的換算一下，紅方，藍(lán)方的戰(zhàn)斗力可以表述如下：
當(dāng)bx0＞ay0時：
紅方獲得戰(zhàn)斗勝利
戰(zhàn)斗結(jié)束時間為：t2
戰(zhàn)斗結(jié)束時紅方剩余人數(shù)：x=x0-a*t2
當(dāng)bx0＜ay0時：
藍(lán)方獲得戰(zhàn)斗勝利
戰(zhàn)斗結(jié)束時間為：t1
戰(zhàn)斗結(jié)束時紅方剩余人數(shù)：y=y0-b*t1
當(dāng)bx0＝ay0時：
雙方同歸于盡
第一線性戰(zhàn)損公式適用條件分析：第一線性律適用于同兵種、損耗系數(shù)為常數(shù)、能進行直接瞄準(zhǔn)的一對一格斗的作戰(zhàn)過程（如步兵對步兵、坦克對坦克的格斗）
第一線性律的基本特征是：在作戰(zhàn)過程中，雙方不斷減員，兵力對比關(guān)系不斷變化，但雙方在單位時間內(nèi)的對敵殺傷數(shù)卻始終恒定。
第一線性律所描述的戰(zhàn)場態(tài)勢具有這樣的性質(zhì)：在戰(zhàn)斗進行過程中，雙方各自的對敵殺傷率不因戰(zhàn)斗減員而變化，不因兵力對比關(guān)系的變化而變化。
2、不能精確探測雙方位置的遠(yuǎn)距離對戰(zhàn)
蘭徹斯特第二線性律
以炮擊為基礎(chǔ)，射擊帶有一定的盲目性，火力集中在已知的敵戰(zhàn)斗單位的集結(jié)地區(qū)，并不針對具體的目標(biāo)實施射擊，而這個集結(jié)地區(qū)的大小幾乎與敵部隊的數(shù)量無關(guān)（面射擊模型）。因為射擊為隨機瞄準(zhǔn)且不轉(zhuǎn)移火力，在此情況下，雙方的損耗率與自己部隊數(shù)量，敵方戰(zhàn)斗力，敵方部隊數(shù)量均成正比：
設(shè)藍(lán)軍戰(zhàn)斗力為a（每秒對紅軍的殺傷力）
設(shè)紅軍戰(zhàn)斗力為b（每秒對藍(lán)軍的殺傷力）
則紅方，藍(lán)方在戰(zhàn)斗中的人員損失情況可以用常微分方程表述如下：
根據(jù)第一定律時設(shè)定的初值條件和常微分方程知識，可以求解出紅方，藍(lán)方在不同時間段的剩余兵力（過程略去，給出最后的計算結(jié)果供大家參考）。
戰(zhàn)斗結(jié)果分析：
當(dāng)bx0＞ay0時
紅方獲得戰(zhàn)斗勝利
剩余兵力為：
當(dāng)bx0＜ay0時
藍(lán)方獲得戰(zhàn)斗勝利
剩余兵力為：
當(dāng)bx0＝ay0時
雙方同歸于盡
第二線性戰(zhàn)損公式適用條件分析：第二線性律適用于清楚敵方大概方位，但是因為射程，視距等因素影響不能對其進行精準(zhǔn)打擊的情況。
第二線性律的基本特征是：在作戰(zhàn)過程中，雙方戰(zhàn)斗力會隨己方戰(zhàn)斗減員而發(fā)生變化。
3、大規(guī)模遭遇戰(zhàn)（適合大多數(shù)現(xiàn)實情況）
蘭徹斯特平方律
以大部分遭遇戰(zhàn)為原型，合理的解釋了“人海戰(zhàn)術(shù)”的科學(xué)性和合理性，同時因為方程自身存在的特性，也提供了為敵眾我寡，分而擊之提供了理論依據(jù)（計算結(jié)果顯示，將大團隊等分能最大限度降低戰(zhàn)斗的作戰(zhàn)能力，這也是截斷戰(zhàn)術(shù)的理論解釋），不過現(xiàn)代戰(zhàn)爭中影響戰(zhàn)力偏差的因素太多，所以蘭徹斯特平方定律并不能完美的解釋現(xiàn)代戰(zhàn)爭的傷亡人數(shù)比。
在蘭徹斯特平方律中，己方人員損失速率完全取決于敵方殺傷力和敵方人數(shù)，在能夠精確打擊的情況下，敵方一波能夠帶走己方人數(shù)的數(shù)量由敵方單體戰(zhàn)斗力和敵方當(dāng)前可投入戰(zhàn)斗人數(shù)決定，即：
根據(jù)常微分方程知識，可以對該方程進行求解，得出紅軍，藍(lán)軍在t時候的剩余人數(shù)xt和yt（略去計算過程，結(jié)果僅供參考）
注：根據(jù)狀態(tài)方程，在大規(guī)?；鞈?zhàn)中軍團戰(zhàn)斗力正比于單兵作戰(zhàn)能力乘以軍團人數(shù)的平方，即：
戰(zhàn)斗結(jié)果分析：
紅方戰(zhàn)力大于藍(lán)方，紅方獲勝
獲勝時紅方剩余兵力為：
藍(lán)方戰(zhàn)力大于紅方，藍(lán)方獲勝
獲勝時藍(lán)方剩余兵力為：
一個重要的結(jié)論：在大規(guī)?；鞈?zhàn)模型中，如下公式在戰(zhàn)斗的各個階段始終成立：
應(yīng)用分析
很多人都思考過怎樣將蘭徹斯特方程應(yīng)用到RTS游戲的設(shè)計中去，以便制造出更加仿真的戰(zhàn)斗結(jié)果；然而事實是，對游戲設(shè)計而言，蘭徹斯特方程并沒有想象中那么實用——它適合對非常理想化、單一化的戰(zhàn)場情況進行模擬，比如沒有第三方火力、排除地形因素等等，而實際戰(zhàn)場遠(yuǎn)非這么簡單。
試想一下，在皇室戰(zhàn)爭中利用蘭徹斯特方程對戰(zhàn)斗結(jié)果進行修正會出現(xiàn)什么情況？
因為皇室戰(zhàn)爭的戰(zhàn)斗表現(xiàn)是即時的，玩家對戰(zhàn)斗的細(xì)節(jié)一清二楚，而公式只能控制最終結(jié)果，如果二者出現(xiàn)偏差，玩家會在第一時間久發(fā)現(xiàn)問題。這說明，在所有需要表現(xiàn)戰(zhàn)斗過程的多對多對戰(zhàn)游戲中蘭徹斯特方程都起不到任何作用。
那么是不是蘭徹斯特方程在游戲設(shè)計中真的毫無用處嗎？答案也是否定的！
在忽略戰(zhàn)斗過程的情況下，蘭徹斯特方程是最合理的計算戰(zhàn)損比例的方式。所以在諸如《三國霸業(yè)》、《三國志》等通過兵力數(shù)值變化來表示戰(zhàn)斗結(jié)果的游戲中，蘭徹斯特定律是大有可為的！蘭徹斯特方程自身的局限，最大的原因不是現(xiàn)實環(huán)境的制約，而是其本身是跳過過程直接對戰(zhàn)斗結(jié)果進行模擬。事實上，在所有需要表達(dá)戰(zhàn)斗過程的對戰(zhàn)游戲中，戰(zhàn)斗的結(jié)果會自然的去向于蘭徹斯特方程，根本就不需要用蘭徹斯特方程來對戰(zhàn)斗結(jié)果進行修正！
如果為了追求一個理論上合理的結(jié)果而改變游戲的體驗，這是違背游戲設(shè)計原則的。蘭徹斯特只是方程，不是標(biāo)準(zhǔn)
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