用蘭徹斯特模型解析戰(zhàn)爭

這個著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型，實際上是一個討論參戰(zhàn)方戰(zhàn)斗力和時間關(guān)系的模型，可以用來宏觀地描述參戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)斗力損耗過程。這樣說或許有些抽象，讓我們先思考一個問題，現(xiàn)在有兩支軍隊 A 軍和 B 軍。A 軍以精銳著稱，但兵力只有 B 軍的一半，B 軍人多勢眾，但單兵作戰(zhàn)能力平均只有A軍士兵的一半, 除此之外它們其他方面全部是等同的。如果這兩支軍隊交戰(zhàn)，一支軍隊消滅另一支軍隊即為勝利，你認為誰將是這場戰(zhàn)斗的贏家？讀者們不妨先選定一個答案（ A 勝、B 勝或者玉石俱焚），然后再來看看蘭徹斯特戰(zhàn)斗模型怎么說。

假設現(xiàn)在有一場戰(zhàn)斗，交戰(zhàn)的雙方為甲方和乙方。我們規(guī)定它們在戰(zhàn)斗中某一時刻的戰(zhàn)斗力（冷兵器時代，一般情況下就是部隊中士兵的人數(shù)）分別是 x( t ) 和 y( t ) ，其中t表示時間。同時為方便起見，假設 x( t ) 和 y( t ) 都是關(guān)于 t 的連續(xù)可微函數(shù)，且恒為非負。換言之，雙方的戰(zhàn)斗力都是隨著時間連續(xù)變化的，不可能在某一時刻發(fā)生突變（譬如《西游記》中的孫悟空從天宮搬來救兵），也不可能在某一時刻有變化率的突變（譬如打架的時候被對方一巴掌打通任督二脈）。

在此基礎上，我們再假設某方戰(zhàn)斗力的變化都是由于敵方對它的攻擊造成的，這樣戰(zhàn)斗力在某一時刻的變化量，便只和該時刻對方的戰(zhàn)斗力正相關(guān)。

據(jù)此我們可以得出下面兩個微分方程：

其中系數(shù) a 和 b 分別是乙方和甲方對對方的殺傷率，也就是某方每單位戰(zhàn)斗力能夠?qū)撤皆斐傻膽?zhàn)斗力損耗。

這便是著名的蘭徹斯特戰(zhàn)斗方程。也許現(xiàn)在這個方程看上去還不夠直觀，但如果把它稍作變換，就可以得到這樣的式子。

在上面的式子中，假設等式左右兩邊的值為正，當 x = 0 時，必有 y > 0 。這也就意味著當甲方的戰(zhàn)斗力消耗殆盡的時候，乙軍還有人活著，這種情況下自然是乙軍獲得了勝利。同理，當?shù)仁阶笥覂蛇叺闹敌∮?時，甲軍將取得勝利。那當這個值等于0的時候呢？顯然雙方將慘烈地同歸于盡，最終就像電影《赤壁》收尾處所說的那般：“大家都輸了。”

更重要的是，上述這個式子還說明了 在戰(zhàn)斗中雙方的軍事實力和各自軍隊戰(zhàn)斗力的平方成正比 。這也就是著名的蘭徹斯特平方律。

舉個最簡單的例子，倘若兩支旗鼓相當?shù)能婈爜砘鸩⒌脑?，此時a=b ， x ₀ = y ₀ = 1 ，這時候 a y? ² = b x? ² ，最終雙方將同歸于盡。但是倘若甲軍去和一支人數(shù)是它的兩倍，但每個士兵的實力只有他一半的乙軍來打呢（這正是在前面提出的問題）？由 2a = b, y ₀ = 2x ₀ 可得 a y? ² / b x? ² = 2。這表明占據(jù)人數(shù)優(yōu)勢的乙方將取得勝利，盡管他們的功夫都只有對手的一半。

更進一步來看后面這個例子，把 2a = b， y ₀ = 2x ₀ ，x = 0 這些條件都代入到上面給出的等式當中，可以得到y(tǒng)= √2 x。這意味著在乙軍徹底消滅他的勁敵——精銳的甲軍以后，自身兵力的損失還不到一半。如此事實無疑會讓以精銳聞名的甲軍感到壓力山大，因為他們?nèi)绻胍谌藬?shù)不變的情況下和乙軍對敵而不敗的話，至少要讓自己的每個士兵的單兵作戰(zhàn)能力達到乙軍的四倍才行！

上面的例子讓我們看到，蘭徹斯特平方率直觀地反映了對戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)斗力對比。金庸迷們一定記得《笑傲江湖》中東方不敗獨戰(zhàn)令狐沖、任我行、向左使、任盈盈的精彩片段，雙方實際上打成平手。由此根據(jù)蘭徹斯特平方率能推算出，東方不敗的戰(zhàn)斗力是其余四人戰(zhàn)斗力平均值的16倍！也就是說，如果令狐沖、任我行、向左使、任盈盈戰(zhàn)斗力分別是100、80、60、40的話（平均戰(zhàn)斗力70），東方不敗的戰(zhàn)斗力就是70 × 16 = 1120 。Ta的“天下第一”還真不是浪得虛名。

薩爾滸之戰(zhàn)以少勝多的原因

從蘭徹斯特到將近百年后的今天，歷史開始顯得久遠。但這并不妨礙我們做一回“事后諸葛亮”，意行沙場，也來紙上談兵，用激揚文字再指點當年戰(zhàn)場。而這一回，我們就從數(shù)學角度來講述那場經(jīng)典的以少勝多——薩爾滸之戰(zhàn)。

這是發(fā)生在萬歷四十七年（公元1619年），中國遼東的一場規(guī)模浩大且影響深遠的大戰(zhàn)。

在這場戰(zhàn)役中，當時僅擁有約六萬八旗子弟的后金軍首領(lǐng)愛新覺羅?努爾哈赤，憑借著他老到的戰(zhàn)略眼光，竟將兵力二倍于他、洶洶而來的大明王師打得慘敗而歸。此戰(zhàn)明廷喪師近五萬，將官戰(zhàn)死者亦有三百余人，其中還包括山海關(guān)總兵杜松這樣的高級將領(lǐng)，可謂精銳盡失。若說當年李成梁對待努爾哈赤的態(tài)度是“為虺弗摧”的話，經(jīng)此一役的后金對明廷來說，已然是“為蛇若何”了。

然而在此戰(zhàn)之前，并非人人都把后金當回事，至少此次戰(zhàn)役中明軍方面最高統(tǒng)帥、遼東經(jīng)略楊鎬大人就是如此。據(jù)說在薩爾滸戰(zhàn)役之前，楊鎬曾與努爾哈赤修書一封，稱大明王朝集結(jié)了四十七萬大軍將襲，并將出兵日期如實相告，似乎想以天朝神威威嚇后金，好“不戰(zhàn)而屈人之兵”。由此可見，在當時的楊鎬看來，“消滅賊酋”不過是手到擒來的事情，根本沒有想到會有戰(zhàn)敗的可能。但是事實上，如果楊鎬大人了解蘭徹斯特模型，也許他就會發(fā)現(xiàn)，雖然他的兵力是對方的兩倍，但他的慘敗卻早在出師之日就已注定。

何出此言呢？不妨讓我們用蘭徹斯特戰(zhàn)斗方程來分析薩爾滸之戰(zhàn)。

當時努爾哈赤麾下的八旗子弟都是久經(jīng)沙場的精銳，軍隊素質(zhì)自然不可小覷。但明軍亦有先進的武器和裝備可與之抗衡，再加上常年和叛軍作戰(zhàn)的川軍，以及由當年一代名將戚繼光精心打造的浙軍，軍隊的兵員能力也不在后金軍之下。所以雙方的殺傷率系數(shù)不妨看做是相等的。

那么兵力情況又是怎么樣呢？我們在前面就已說過，后金軍的兵力約六萬人，而明朝方面的數(shù)據(jù)則是十二萬。恰如前面的例子一般，后者的兵力是前者的兩倍。換言之，如果楊鎬的大軍就這么殺過來的話，似乎努爾哈赤唯一的方法，就是在對方到來之前，把自己手下兵士的作戰(zhàn)能力提高到原來的四倍。

但是一個很有趣的事實是，在薩爾滸之戰(zhàn)的交戰(zhàn)過程中，始終占據(jù)兵力優(yōu)勢的卻是后金。原來楊鎬在進攻的時候竟把自己的軍隊分成了四路，而這四路軍隊不但沒有統(tǒng)一的調(diào)度，相互之間的通信也甚不靈便（實際戰(zhàn)爭中，有兩路軍隊已經(jīng)被努爾哈赤消滅了，第三路軍竟還毫不知情）。這就使得本來兵力薄弱的努爾哈赤反倒擁有了以眾擊寡、各個擊破的局部戰(zhàn)略優(yōu)勢。雖然后金的兵力只有明朝的一半，但是后金每次戰(zhàn)斗中面對的兵力，卻都只有自己的一半。

讓我們來為這種戰(zhàn)略局面算一筆帳。假設后金軍和明軍的殺傷率系數(shù)都是 1，戰(zhàn)斗力以萬人為單位，那么后金軍的軍事實力是：

假設明朝的四路軍隊中兵力平均分配，也就是每路有 3 萬人（實際兵力部署與此相去不遠），那么明朝的軍事實力則是：

我們發(fā)現(xiàn)，擁有巨大人數(shù)優(yōu)勢的明軍的軍事實力和后金軍其實是相當?shù)模?/p>

當然，這里的計算有一個問題。我們給出的這種明軍兵力分配方案，恰巧是使得它的軍事實力總和最小，根據(jù)均值不等式可以知道，只要在實際分配的時候哪怕采用3.01，2.99，3，3這樣的方案，明軍不就能夠打敗后金了嗎？

在這個模型下的確如此。但這要求當時的明軍能如同岳飛所夢想的那樣“文臣不愛錢，武臣不惜死”，軍隊在損失慘重的情況下依然堅持戰(zhàn)斗到最后一人。那樣的話，努爾哈赤老兄真的是要操心下自己腦袋的去處了。可惜實際情況并非如此。古代戰(zhàn)爭的一個事實是，當某方的損失超過一定數(shù)量以后（這個數(shù)量通常還并不高），往往會因為士氣低落而潰散，在接下來就變成“追亡逐北”的場面了。這種情況下戰(zhàn)斗變?yōu)橥罋?，潰散軍隊的殺傷率約等于 0。所以戰(zhàn)爭的勝負絕大多數(shù)都不是因為一方把另一方完全殲滅，而是因為一方的士氣已經(jīng)無法維系。

所以不妨讓我們假設雙方都會在自身兵力損失達到一半的時候潰敗。同時再把明軍四路兵力的實際部署情況稍加調(diào)整，用 4，3，3，2 作為它的部署策略，此時的軍事實力總值為38，高于后金軍。第一場戰(zhàn)斗后，后金的殘余兵力 x ₁ 滿足如下方程：

解之得 x ₁ =2√6≈4.90 。也就是第一場戰(zhàn)斗結(jié)束后后金軍的剩余兵力約4.9萬人。我們繼續(xù)通過下面的方程求解 x ₂ ， x ₃ ， x ₄ 。

解之得

計算結(jié)果表明，四場戰(zhàn)斗中每一場都是后金軍的兵力占優(yōu)，導致每一場戰(zhàn)斗的勝者都是后金，所以最后的勝者也是后金——盡管總的軍事實力明軍更高。

要說明的是，這里對明軍并沒有任何的不公平。事實上這個模型還有些偏袒明軍，因為在當時的歷史條件下，明軍士氣的水平其實很難達到傷亡人數(shù)約一半時才潰散。如果按照《竊明》中所說的標準——“除了處于死地外，最優(yōu)秀的封建軍隊也不過能忍受一、兩成的傷亡而不崩潰”來計算，當后金軍取得勝利的時候，它所損失的兵力也不過1.28萬人，還遠不到其初始兵力的三分之一。

借助數(shù)學工具，數(shù)百年后的我們可以輕松地計算出努爾哈赤必將取得大勝的結(jié)果 。可惜的是當時背負十數(shù)萬將士性命的統(tǒng)帥楊鎬并沒有這樣的覺悟，即使當開原總兵馬林根據(jù)自身的經(jīng)驗向他提出“王師當出萬全，宜并兵一路，鼓行而前，執(zhí)取罪人，傾其巢穴”這一清醒建議的時候，他也只是傲慢地堅持故我。如此無能的統(tǒng)帥最終葬送了大明的精銳之師。

結(jié)語

后來的事情是：萬歷四十七年二月二十五日，大明王師正式出征；三月初一，西路軍遭努爾哈赤攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵杜松戰(zhàn)死；三月初三，北路軍遭受攻擊，寡不敵眾，全軍覆沒，總兵馬林狼狽逃回；三月初五，東路軍被后金軍偷襲，猝不及防，全軍覆沒，總兵劉鋌戰(zhàn)死；三月初六，南路軍接到三路大軍戰(zhàn)敗的消息后匆忙撤兵，后金軍趁勢追擊，損傷慘重。結(jié)果正如我們這群事后諸葛亮所分析的一樣，可惜我們的分析也正如開原總兵馬林的意見一樣，終無改這場戰(zhàn)事的結(jié)局。

也許在因這場慘敗而下獄到他被處斬以前，楊鎬也曾多次反思過這場過戰(zhàn)斗。他或許無法像我們這樣定量計算出戰(zhàn)斗的結(jié)果，但至少也應該會對《孫子兵法》虛實篇里“以眾擊寡”這個詞有一層新的理解吧。

本文用蘭徹斯特模型分析了薩爾滸之戰(zhàn)中后金以少勝多背后的數(shù)學原理。誠如作者一再強調(diào)的那樣，這個模型其實是一個簡化的數(shù)學模型，并不能完全反映出最真實的歷史。但這絲毫不影響本文的價值，相比各種繁冗的史料分析，它帶給我們眼前一亮的感覺。

另，本文作者就是網(wǎng)上那套流傳很廣的 讓文科生流淚，讓理科生沉默的文理綜合題 的設計者，請大家多多關(guān)注他吧。