青少年的時候一直很喜歡看和戰(zhàn)爭相關(guān)的書籍和影視作品，再長大后也嘗試的去了解下相關(guān)的軍事理論書籍。自己大致的感受就是那些成功的軍事家或者將領(lǐng)都是運氣加持的天才，在指揮千軍萬馬時智慧和藝術(shù)都發(fā)揮到了極致。像孫子兵法這樣的經(jīng)典軍事著作也是賦予了文化和哲學(xué)的意義，和數(shù)學(xué)是似乎扯不到關(guān)系的。直到前段時間碰巧看到了一篇網(wǎng)文提到了蘭徹斯特平方法則（Lanchester's Squared Law），了解到幾個簡潔的方程式竟然可以漂亮的解釋雙方戰(zhàn)斗中數(shù)量和質(zhì)量對結(jié)果的影響。以此為基礎(chǔ)，近百年中學(xué)者們有進(jìn)一步開發(fā)出了更加復(fù)雜的戰(zhàn)爭模型和計算機(jī)為基礎(chǔ)的模擬戰(zhàn)爭系統(tǒng)。作為一名數(shù)學(xué)模型愛好者，我忍不住繼續(xù)探索了一下這個蘭徹斯特法則的來源和含義。
蘭徹斯特全名叫Frederick W. Lanchester，是20世紀(jì)英國的一位多才的工程師。他在觀察第一次世界大戰(zhàn)后，對剛剛出現(xiàn)的空戰(zhàn)產(chǎn)生了濃厚的興趣。他在自己的著作中不僅大膽的預(yù)測空軍會成為一個重要的新型軍事力量，還用數(shù)學(xué)公式推演出空中戰(zhàn)斗單位的數(shù)量和質(zhì)量對戰(zhàn)斗結(jié)果的影響[1]。這個數(shù)學(xué)公式也被稱為蘭徹斯特方程式，可以被看成現(xiàn)代各種戰(zhàn)爭或者戰(zhàn)斗的數(shù)學(xué)模型的鼻祖。
蘭徹斯特方程式最基本的微分形式如下[2]：
dB/dt=-rR
dR/dt=-bB
其中R代表紅軍的數(shù)目，B代表藍(lán)軍的數(shù)目，r代表紅軍的單位戰(zhàn)斗效率，b代表藍(lán)軍的單位戰(zhàn)斗效率。假設(shè)理想情況下，每一方的戰(zhàn)斗單位力量可以直接連續(xù)攻擊到對方的所有成員，而不受地形或者火力范圍的限制，一方的損失速度就等于對方數(shù)目和單位戰(zhàn)斗效率的乘積。通過一些推演，這個方程式得到的通用解為：
r[R(t)^2-R(0)^2]=b[B(t)^2-B(0)^2].
如果兩軍力量旗鼓相當(dāng)，戰(zhàn)斗結(jié)果是同歸于盡，那么所需要的初始條件要滿足
rR(0)^2=bB(0)^2
這個關(guān)系是就是所謂的蘭徹斯特平方法則，揭示戰(zhàn)斗力量和單位戰(zhàn)斗效率有著線形關(guān)系而和單位數(shù)量有著平方關(guān)系。簡言之，戰(zhàn)斗結(jié)果對單位數(shù)量比對單位質(zhì)量更敏感。舉個例子，在藍(lán)軍數(shù)目比紅軍數(shù)目高20%的時候，如果雙方單位戰(zhàn)斗能力相當(dāng)，藍(lán)軍會以減員~45%的代價全殲紅軍。紅軍如果想逆轉(zhuǎn)取得勝利，其單位戰(zhàn)斗能力要提高~50%才能彌補(bǔ)數(shù)量的不足（如下圖所示）。
值得注意的是，這個平方關(guān)系法則的重要前提是：每一方的戰(zhàn)斗單位力量可以直接攻擊到對方的所有成員。如果在對方防御或者自己指揮火力能力限制下，攻擊范圍縮小，那么這個平方關(guān)系就趨向于線形關(guān)系，也就是數(shù)量上所取得的優(yōu)勢變小[2]。
雖然蘭徹斯特模型很簡單，但是它能漂亮的給出了質(zhì)量和數(shù)量對戰(zhàn)斗結(jié)果的定量關(guān)系。這個關(guān)系也和很多近現(xiàn)代的成功的軍事實踐一致，比如集中火力或者分割穿插形成局面數(shù)量優(yōu)勢、進(jìn)行合適情況下的人海戰(zhàn)術(shù)、通過防御和撤退降低對方的火力到達(dá)、以及戰(zhàn)斗中保持對戰(zhàn)場態(tài)勢掌握。當(dāng)然實際情況總是要復(fù)雜很多，比如受地形和通訊限制或者防御的影響，雙方戰(zhàn)斗單位并不能保證直接攻擊到對方，還有一些新型精確制導(dǎo)武器實現(xiàn)的是定點攻擊。所以這些年來有很多新的戰(zhàn)斗模型出現(xiàn)[3]，不僅在理論和實踐上考慮的更加完善，而且計算復(fù)雜程度也大大上升。
在商業(yè)應(yīng)用中，特別是對于小型企業(yè)，蘭徹斯特法則在確定市場進(jìn)入方向上也很有指導(dǎo)意義，下次有時間的時候我們再仔細(xì)了解下吧。
文獻(xiàn)參考：
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Lanchester%27s_laws
[2] Lepingwell JWR (1987). “The Laws of Combat? Lanchester Reexamined”. International Security, 12(1):89-134
[3] https://www.rand.org/pubs/monograph_reports/MR638/app.html#fn11
聯(lián)系客服
