之前的文章對初中數(shù)學(xué)幾何最值問題提供了五種解決方法，它們基本可以解決同學(xué)們遇到的最值問題。但近幾年，出現(xiàn)了另外一種形如mAP+nAB的最值問題，運(yùn)用之前的方法，根本沒辦法解決，難倒了絕大多數(shù)的同學(xué)，我把它歸納為加權(quán)線段之和的最值。我們先來看一下問題吧。
加權(quán)線段之和
如圖所示，A，B是兩個定點(diǎn)，P點(diǎn)以某種軌跡運(yùn)動，一個人以V1的速度走到P，然后以V2的速度走到B，求這個人所用的最短時間。這個問題乍一看，好像是將軍飲馬模型，但將軍飲馬模型只是這個問題的一個特例。當(dāng)V1=V2，P點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動時，實(shí)際上還是求AP+PB的長度，它就是將軍飲馬模型，但當(dāng)V1不等于V2時，即使P點(diǎn)還在一條直線上運(yùn)動，它成了求mAP+nBP的長度，使用將軍飲馬模型怎么也求不出來。這個問題，因為加上了速度這一維度，使難度提高了許多，就好比牛頓經(jīng)典力學(xué)遇上了相對論才能解決的問題。
在初中階段，根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動的軌跡，這個問題主要分為兩類。一個是P點(diǎn)在一條直線上運(yùn)動，對于這種問題的解決，使用的是胡不歸模型。一個是P點(diǎn)在一個圓上運(yùn)動，對于這種問題的解決，使用的是阿氏圓模型。
胡不歸模型
首先，我們來看一下胡不歸模型。
有兩個定點(diǎn)A和B，一個動點(diǎn)P在AC上運(yùn)動，AP段的速度是V1，PB段的速度是V2，求走完AP+BP的最短時間。它的解決思路是把兩個速度作統(tǒng)一化處理，就是把以一個速度V1所完成的路程S1，轉(zhuǎn)化成以另一個速度V2以相同速度所完成的路程S3，這樣以V2速度完成的路程S3就可以和以V2速度完成的路程S3進(jìn)行合并了。說的有點(diǎn)繞，具體到圖中就很明白了，在圖中，就是把V1完成的路程AP'轉(zhuǎn)化成V2完成的路程P'D'，這樣它們的速度一樣，所以去求P'B+P'D'的最小值。根據(jù)垂線段最短，過B作垂線交于P，就是所求的點(diǎn)。下面我們來具體學(xué)習(xí)一下解題過程。
胡不歸解法
以上的過程，同學(xué)們看懂了嗎？可以看到，胡不歸模型通常要與三角函數(shù)相結(jié)合，所以，為了方便計算，用到的數(shù)字比例，通常是特定角的三角函數(shù)值。
接下來我們來看看例題吧。
例題
我們來看看如何用胡不歸模型來解這道題。當(dāng)我們看到兩條線段的系數(shù)不同，動點(diǎn)D在直線上運(yùn)動，我們就要想到胡不歸模型啦。同學(xué)們，你們有思路了嗎？根據(jù)我們之前講過的模型，要使用T=CD/V1+OD/V2，這道題實(shí)際上是求T=CD/2+OD/1，所以V1=2，V2=1，sin角CAO=30，我們要以AC為邊再構(gòu)造出一個30度的角ACF，這樣，過O作CF的垂線，交CF于P，OP就是最小值。我們已經(jīng)知道AB=8，那么OC=4，角OCP等于60，用三角函數(shù)，我們是不是很快就算出了結(jié)果呀。
阿氏圓
第二，我們來看一下阿氏圓模型。
古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，兩個定點(diǎn)A和B，一個動點(diǎn)P，當(dāng)PA/PB等于一個不為1的常數(shù)時，P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是一個圓。反過來就是，當(dāng)P是圓上的一動點(diǎn)時，它到兩個定點(diǎn)的比值相等。接下來我們看一看如何，利用這個知識解決形如mAP+nAB的最值問題。
阿氏圓模型
過程有點(diǎn)復(fù)雜，同學(xué)們要認(rèn)真看一下。關(guān)鍵是記住結(jié)論哈。下面我們來看一下例題吧。
例題
大家看到A和B兩個定點(diǎn)，P點(diǎn)在圓上運(yùn)動，想動阿氏圓模型了嗎？在這題中C是圓心，m：n=1：4，CP：AC肯定也等于1：4，我們只需要構(gòu)造CD=1/4CP就可以了，連接BD，求出BD，這道題就解出來了。大家都明白了嗎？
好了，胡不歸模型和阿氏圓模型講完了，我相信大家肯定有許多收獲。如果考試中以填空題的形式出現(xiàn)，大家一定要直接應(yīng)用結(jié)論，快速算出，不要浪費(fèi)時間哦。
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