自從愛因斯坦降臨于世，物理學(xué)就開始向變態(tài)的方向發(fā)展了。
在牛頓時期，是先有物理學(xué)的直觀，然后才發(fā)展出了所需要的數(shù)學(xué)。而愛因斯坦時期恰恰相反，有一些之前數(shù)學(xué)家隨便瞎玩的東西，本來沒覺得和現(xiàn)實(shí)世界有任何關(guān)系，在這一時期卻被引入了物理學(xué)，具體來說指的是微分流形，群論等。
狹義相對論告訴我們，時間空間地位相當(dāng)，都是四維時空矢量的分量，切換慣性系實(shí)際上是在對四維時空進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，我們可以類比三維旋轉(zhuǎn)來理解。而動量，波矢，電磁場這些物理量都可以找到相應(yīng)的四維協(xié)變形式。
廣義相對論告訴我們，時空不是平坦的而是擰在一起的，我們之所以感覺是平坦的完全是因?yàn)槲覀冎車鷽]有密度特別大的東西所以時空彎曲效應(yīng)不明顯（當(dāng)然這是在把地球造成的時空彎曲解釋為引力的前提下說的），時間和空間第一次在物理學(xué)里發(fā)生了如此深刻的關(guān)聯(lián)！真正描述時空的不是歐式幾何而是黎曼幾何（怒打康德臉）。總的來說，愛因斯坦用微分流形的語言取代了正常人對時空naive的理解，我們發(fā)現(xiàn)直觀上想當(dāng)然是對的東西不一定真是對的（如幾何學(xué)里的平行線公理在現(xiàn)實(shí)世界就不對）。不過我們還是可以用可直觀的二維三維空間彎曲來理解四維時空的彎曲。除了強(qiáng)調(diào)時空幾何以外，相對論并沒有比牛頓力學(xué)多引入任何基本物理量，只是把物理量整理成洛倫茲（Lorentz）協(xié)變的形式。
然后再說量子力學(xué)，盡管這家伙用到的數(shù)學(xué)沒有廣義相對論復(fù)雜，但真是太反直觀了。
1. 它沿襲了分析力學(xué)里面哈密頓量，廣義坐標(biāo)的概念。
2. 牛頓力學(xué)里面用坐標(biāo)和速度來描述一個粒子的狀態(tài)，而量子力學(xué)不認(rèn)為一個粒子有確定的坐標(biāo)和速度，因此用波函數(shù)來表征粒子的狀態(tài)，波函數(shù)的模方正是粒子的概率密度分布。除了坐標(biāo)和動量以外，其他物理量也是概率性的。
3. 量子力學(xué)不認(rèn)為物理量是個數(shù)，而是算符，或者說是線性代數(shù)里面的線性變換（Hermite），（所以公式里兩個物理量的位置就不能像以前那樣按照乘法交換律隨意交換），代數(shù)第一次在物理學(xué)里面被提到這么高的地位！
4. 它用的線性代數(shù)還不是大多數(shù)本科生學(xué)的實(shí)數(shù)域上的線代，而是復(fù)數(shù)域上的。沒錯，量子力學(xué)基本方程薛定鄂方程里面含有虛數(shù)！和電動力學(xué)里那種為了計算方便而引入的虛數(shù)不同，量子力學(xué)理論本身就需要復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)！看上去不可能有物理意義的虛數(shù)居然出現(xiàn)在基本方程里面，這是何等的瘋狂！
量子場論時期
場論是現(xiàn)代物理的基本語言。其中基本物理量叫做場算符，包括標(biāo)量場，矢量場和旋量場。自由標(biāo)量場（Free theory）的定義為這樣：
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如果說量子力學(xué)里面的波函數(shù)還可以通過概率密度來建立直觀，那現(xiàn)在這個場算符就真的一點(diǎn)直觀都沒有了（實(shí)際上應(yīng)該理解為一大堆諧振子的疊加，但是這樣想對我來說很難受，誰關(guān)心諧振子啊。。orz），這樣定義的一個很大的好處是它在洛倫茲變換下的變換性質(zhì)和普通的標(biāo)量場一樣。
學(xué)狹義相對論的時候我們一般把洛倫茲變換理解為一些固定的四維矩陣，但是場論里自旋（spin）的概念讓我們認(rèn)識到，真正最重要的不是那個洛倫茲矩陣，而是矩陣背后的Lie代數(shù)，或者說是洛倫茲群。那個矩陣只不過是Lorentz群的一個四維表示（representation）而已，而像旋量這種二維的東西是按照二維的表示進(jìn)行變換的。試問在相對論性量子力學(xué)建立之前，無論是數(shù)學(xué)家還是普通人，誰能想到群論這種高度抽象的東西能和自然界有這么深刻的聯(lián)系？
場論對何謂粒子的理解也是高度抽象的，不是我們平常腦子里想的一個個小球，我引用Schwartz教材里的話: Particles transform under irreducible unitary representations of the Poincare group. This statement can even be interpreted as the definition of what a particle is（粒子的行為由龐加萊群的不可約酉表示描寫，這在某種意義上可視為對粒子的定義）. 很多人總是好奇反粒子到底是啥東西，其實(shí)在場論里，對反粒子的定義也是純粹抽象的，沒人能直觀地告訴你為啥存在反粒子。
另外，場論把對稱性的重要性提到了前所未有的高度，一個拉格朗日量之所以是其所是的樣子，通常就是出于對對稱性（包括洛倫茲不變性）的考慮。很顯然這是一個數(shù)學(xué)的理由而不是一個直觀的理由。
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