量子引力可以說(shuō)是理論物理學(xué)的圣杯。在這篇文章中，我將展示一維的量子引力理論，它描述了四維時(shí)空中的粒子。
圖1：這張圖顯示了量子引力在物理理論中的位置。
其中一個(gè)要素就是費(fèi)曼的路徑積分公式。它將躍遷振幅表示為系統(tǒng)從某個(gè)初始狀態(tài)到某個(gè)最終狀態(tài)的所有可能時(shí)空路徑的加權(quán)和。在量子引力的背景下，路徑積分的平均值不是在時(shí)空中的路徑上，而是在時(shí)空的幾何上（然而，正如 威騰所指出的，這種描述在微觀層面上可能是無(wú)效的）。
圖2：左邊顯示了對(duì)量子力學(xué)求和。右邊是量子引力中相應(yīng)的和，其中時(shí)空g類似于路徑x[t]。時(shí)空g連接兩個(gè)三維空間h。
要在四維時(shí)空中建立一維量子引力和量子場(chǎng)論（QFT）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們首先需要了解這兩個(gè)成分中的每一項(xiàng)。讓我們從量子場(chǎng)論開(kāi)始。這里所遵循的方法論通常被稱為QFT的世界線視角。
量子場(chǎng)是經(jīng)典場(chǎng)的延伸，如電磁場(chǎng)和愛(ài)因斯坦的引力場(chǎng)，到量子框架。
圖3：這幅圖顯示了地球磁場(chǎng)與太陽(yáng)太陽(yáng)風(fēng)的關(guān)系。
《量子場(chǎng)理論概論》的作者Zee對(duì)量子場(chǎng)論的定義如下：
量子場(chǎng)論是對(duì)生命短暫本性的回應(yīng)。
這個(gè)定義來(lái)自以下觀察：結(jié)合狹義相對(duì)論和量子力學(xué)意味著粒子“可以生也可以死”。
讓我們來(lái)理解其中的原因。能量-時(shí)間不確定性原理指出，人們不能確定只存在于短暫時(shí)間內(nèi)的量子態(tài)的能量。這在數(shù)學(xué)上可以表示為：
式1：時(shí)間-能量不確定性關(guān)系。
事實(shí)上，真空能量波動(dòng)劇烈。如下圖所示，允許（粒子-反粒子）虛粒子對(duì)的產(chǎn)生。
圖4：真空波動(dòng)，根據(jù)能量-時(shí)間不確定性原理，是一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)能量量的短而強(qiáng)烈的變化。
作為狹義相對(duì)論的結(jié)果，這可能導(dǎo)致能量轉(zhuǎn)化為質(zhì)量——新粒子可以“誕生”，現(xiàn)有粒子可以“消失”。問(wèn)題是標(biāo)準(zhǔn)的量子力學(xué)框架不能解釋這種現(xiàn)象，因此，需要修改。量子力學(xué)的改進(jìn)版本是量子場(chǎng)論（QFT）。
此外，QFT使我們能夠解釋，為什么宇宙中有基本粒子的不可區(qū)分的“副本”——粒子僅僅是量子場(chǎng)的激發(fā)。
圖5：這幅圖顯示了一個(gè)模擬粒子碰撞產(chǎn)生希格斯玻色子的過(guò)程。
量子場(chǎng)相當(dāng)抽象。為了給讀者一些直觀的感覺(jué)，我將使用N個(gè)質(zhì)量m相互耦合的諧振子作為類比。只考慮垂直q_i(t)位移。
對(duì)應(yīng)的作用是：
式2：N個(gè)諧振子的經(jīng)典作用，其中M是一個(gè)對(duì)稱的正定矩陣。
其中矩陣M是對(duì)稱且正定的：
式3
對(duì)M進(jìn)行對(duì)角化，我們得到了法向模態(tài)的作用：
式4：法向模態(tài)的作用。
下一步是獲取連續(xù)標(biāo)量經(jīng)典場(chǎng)?(x,t)的作用。標(biāo)量場(chǎng)是QFT中最簡(jiǎn)單的場(chǎng)類型。將其中的φ (x,t)解釋為每個(gè)點(diǎn)x上的無(wú)限個(gè)振蕩器集是一種有用的方法。注意，當(dāng)我們?nèi)∵B續(xù)極限時(shí)，振子的索引i變成了空間坐標(biāo)x。連續(xù)極限中的作用變成：
式5：自由質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的作用。
根據(jù)量子力學(xué)的路徑積分公式，系統(tǒng)在I和F兩態(tài)之間發(fā)生躍遷的概率為：
式6：量子力學(xué)路徑積分公式中的躍遷振幅。
式中拉格朗日密度為：
式7：質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)的拉格朗日密度。
這里：
生成泛函或配分函數(shù)是式6的一種具體情況，是量子場(chǎng)論中的一個(gè)關(guān)鍵對(duì)象，它是從真空狀態(tài)轉(zhuǎn)回自身的躍遷振幅，其表達(dá)式為：
式8：生成泛函或配分函數(shù)，量子場(chǎng)論中的一個(gè)關(guān)鍵對(duì)象。
真空狀態(tài)如上面的圖4所示。
在本文中，我將采用量化的路徑積分法（而不是標(biāo)準(zhǔn)積分法）。正如我們剛才看到的，該方法基于相對(duì)不變的拉格朗日量，使得路徑積分也具有明顯的不變性。此外，積分內(nèi)的對(duì)象是經(jīng)典量。
我們注意到，與正則量子化相比，該方法涉及到視角的轉(zhuǎn)變。系統(tǒng)的哈密頓動(dòng)力學(xué)由式6定義。因此拉格朗日量成為量子場(chǎng)論“最基本的規(guī)范”。
讓我們回到實(shí)標(biāo)量場(chǎng)論的式4。歐拉-拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用最速（陡）下降法近似于作用：
式9：求作用的極值。
圖6：顯示最陡下降方法的動(dòng)畫。
其結(jié)果就是普遍存在的克萊恩-戈登方程：
式10：質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)服從的克萊恩-戈登方程。
重寫拉格朗日方程，我們得到：
式11：式8中的生成泛函或配分函數(shù)，明確地寫出拉格朗日密度。
其中包括外部電勢(shì)或源電流J。包含J的項(xiàng)是與標(biāo)量場(chǎng)φ (x)和源電流J(x)之間的相互作用有關(guān)的勢(shì)能項(xiàng)。
這個(gè)積分只是高斯積分的一個(gè)復(fù)雜版本：
可以用高斯積分的標(biāo)準(zhǔn)程序來(lái)計(jì)算。我們得到：
式12：對(duì)?進(jìn)行積分后的生成函數(shù)表達(dá)式。
函數(shù)D(x)是自由傳播子，它是以下微分方程的解：
式13：自由傳播子所服從的方程。
由式13，我們可以計(jì)算動(dòng)量為p的粒子在動(dòng)量空間中的費(fèi)曼傳播子，它是被積函數(shù)中D(x-y)的指數(shù)相乘的對(duì)象：
式14：自由傳播子寫成動(dòng)量空間傳播子的傅里葉變換。
其中ε是一個(gè)很小的正量。給定時(shí)空的信號(hào)是度規(guī)張量對(duì)角化后的矩陣表示法上的正負(fù)數(shù)。對(duì)于一個(gè)n維洛倫茲流形：
式15：n維洛倫茲流形。
信號(hào)是(-，+，+，+，…，+)，其中有一個(gè)0和n-1個(gè)1（在我們的討論中，n=4）。
如果我們用歐幾里德符號(hào)(+，+，…，+)來(lái)代替，在質(zhì)量項(xiàng)變?yōu)檎龜?shù)之前，會(huì)失去ε。傳播函數(shù)為：
式16：自由傳播子的歐氏版本，作為歐氏動(dòng)量空間傳播子的傅里葉變換。
現(xiàn)在讓我們進(jìn)入我們討論的第二個(gè)要素，那就是一維時(shí)空中的量子引力。
我們現(xiàn)在的目標(biāo)是建立一個(gè)一維的量子場(chǎng)論，在那里場(chǎng)與引力相互作用。要構(gòu)建一維量子場(chǎng)論，我們需要兩個(gè)基本要素：
理論“存在”的時(shí)空（我們的宇宙）
我們要研究的對(duì)象，也就是這里的場(chǎng)。它們可以是幾種類型，但這里我只考慮標(biāo)量場(chǎng)。
一維緊流形
在一維上，只有兩個(gè)可能的緊流形（封閉和有界流形），即：
圖7：一維中僅有的兩個(gè)可能的緊流形。
我們可以用實(shí)數(shù)標(biāo)記這兩個(gè)流形的點(diǎn)，區(qū)間I和圓S1可以被t∈[0,t]參數(shù)化。區(qū)別在于，在S1中，我們確定了t和t +T。在一維上，每個(gè)流形都有相關(guān)的度規(guī)g——1 x1張量。我們用以下方法分別表示度規(guī)和逆度規(guī)：
式17：一維流形的1x1度規(guī)（下標(biāo)）和1x1逆度規(guī)（上標(biāo)）。
本節(jié)將簡(jiǎn)要介紹回調(diào)（pullback）的概念，以備后用。
回調(diào)
微分幾何中一個(gè)有用的概念是回調(diào)?？紤]下面圖中所示的兩個(gè)流形M和N、映射?、f及其組成。
圖8：回調(diào)
從圖中可以看出：
函數(shù)f通過(guò)函數(shù)?從N回調(diào)到M由以下復(fù)合函數(shù)定義：
式18：函數(shù)f通過(guò)函數(shù)?的回調(diào)。
圖7說(shuō)明了通過(guò)映射?將f從N回調(diào)到M的過(guò)程。
引入標(biāo)量場(chǎng)
現(xiàn)在讓我們用(M, g)表示上面兩個(gè)一維流形中的一個(gè)，即區(qū)間I，并讓它是場(chǎng)“存在”的時(shí)空。我們還引入了另一個(gè)N維流形(N, G)。后者稱為目標(biāo)空間，是待研究對(duì)象的空間，即標(biāo)量場(chǎng)。
現(xiàn)在考慮這兩個(gè)流形之間的映射：
我們引入N上的坐標(biāo)，選擇一個(gè)開(kāi)放的局部表面U ? N，具有n個(gè)局部坐標(biāo)：
其中，對(duì)于每個(gè)t∈M, u中有一個(gè)x(t)。上面的n個(gè)對(duì)象x都是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。下圖使這些定義更加清晰：
圖9：度量g的流形M（兩個(gè)可能的一維流形之一）到目標(biāo)空間N（N維流形）的映射。對(duì)于U中的每一點(diǎn)，我們關(guān)聯(lián)一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)x。
根據(jù)前面的討論，我們確定局部坐標(biāo)x?(t)為通過(guò)函數(shù)x回調(diào)到開(kāi)放局部表面U內(nèi)的坐標(biāo)M。
現(xiàn)在我們要寫下我們理論的廣義相對(duì)論作用。一般來(lái)說(shuō)，廣義相對(duì)論的作用是：
式19：包括物質(zhì)場(chǎng)的廣義相對(duì)論作用。
在這個(gè)表達(dá)式中，有四個(gè)重要的量：
根號(hào)內(nèi)的g是度規(guī)張量的行列式：
R是里奇曲率標(biāo)量，它描述了在每個(gè)點(diǎn)附近時(shí)空的幾何形狀（見(jiàn)下圖）。
圖10：圖顯示了三個(gè)面。第一種是具有負(fù)局部曲率（R<0）的雙曲面；第二個(gè)是圓柱，一個(gè)零曲率的表面；第三個(gè)是球面，一個(gè)正曲率的表面。
Λ是宇宙常數(shù)，與真空的能量和暗能量的有關(guān)。時(shí)空的體積元素是符號(hào)：
括號(hào)內(nèi)的第三項(xiàng)是物質(zhì)場(chǎng)的拉格朗日密度（稍后將更詳細(xì)地討論）。
當(dāng)只有一維時(shí)，R消失了（曲線的固有曲率不存在）。R≡0這一事實(shí)的一個(gè)結(jié)果是，在一維空間中，引力是非動(dòng)力學(xué)的。上述對(duì)于一維流形的作用比式19簡(jiǎn)單得多，可以寫成：
式20：一維流形的一般相對(duì)論作用。
括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)表示標(biāo)量場(chǎng)，其中G是N上度規(guī)對(duì)M的回調(diào)。注意沒(méi)有這一項(xiàng)：
盡管如此，我們?nèi)匀豢梢越⒁粋€(gè)量子引力理論，其中度規(guī)與物質(zhì)場(chǎng)耦合。度規(guī)g的存在表明標(biāo)量場(chǎng)與引力相互作用。在目標(biāo)空間中選擇洛倫茲度規(guī)：
式21：四維閔可夫斯基度規(guī)張量。
作用S變成：
式22：作用S與上面給出的閔可夫斯基度規(guī)G。
愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程（EFE）可以從作用中推導(dǎo)出來(lái)。定義2Λ≡m^2，愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程為：
式23
這個(gè)方程可以用“共軛動(dòng)量”表示：
引號(hào)是提醒我們，xs是標(biāo)量場(chǎng)，而不是位置坐標(biāo)：
式24：用共軛動(dòng)量表示的“愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程”。
遵循規(guī)范量子化的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程：
式25：共軛動(dòng)量由微分算子代替。
式24變成：
式26：經(jīng)過(guò)正則量子化過(guò)程的量子波函數(shù)的微分算符。
我們看到系統(tǒng)的量子波函數(shù)Ψ被與式24相關(guān)的微分算符湮沒(méi)。如果我們重新參數(shù)化流形M或者等價(jià)地如果我們做一個(gè)一般的坐標(biāo)變換：
度規(guī)張量變換如下：
現(xiàn)在，我們可以任意縮放度規(guī)。選擇：
把x?換成t，并設(shè)n=d=4，我們得到了克萊恩-戈登方程：
式27
克萊恩-戈登描述自旋為0的粒子。著名的希格斯玻色子是第一種也是唯一一種自旋為0的粒子。
我們得出結(jié)論，存在一個(gè)一維的非平凡量子引力理論，它描述了一個(gè)質(zhì)量粒子在四維閔可夫斯基時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)。
躍遷振幅
現(xiàn)在讓我們計(jì)算一個(gè)粒子在時(shí)空中從x點(diǎn)傳播到另一個(gè)y點(diǎn)的躍遷振幅（或傳播子）。請(qǐng)參見(jiàn)圖1的左側(cè)，其中顯示了用于通用傳播子的路徑示例。
為了方便，我們選擇n維流形N為具有歐幾里得度規(guī)的四維歐幾里得時(shí)空：
我們也將使用一維流形m中的歐幾里得信號(hào)來(lái)計(jì)算傳播子G。在海森堡圖中，傳播子為：
式28：躍遷振幅。
這個(gè)表達(dá)式可以寫成由下面的積分給出：
此時(shí)T≡τ。τ處的傳播子可以表示為對(duì)所有可能路徑的路徑積分：
在量子引力中，為了計(jì)算躍遷振幅，我們必須對(duì)一維M上所有可能的度量進(jìn)行額外的積分。但是，請(qǐng)注意，由于M的總長(zhǎng)度對(duì)任意坐標(biāo)變換是不變的，所以上述討論的重新參數(shù)化的自由度受到了限制：
長(zhǎng)度是M的唯一不變量。因此，對(duì)所有可能的度量進(jìn)行積分。因此：
除了因子2，這是歐幾里德四維空間中質(zhì)量為m的粒子的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)量場(chǎng)傳播子。因此，通常的傳播子可以表示為一維量子引力流形上的積分。我們?cè)僖淮慰吹揭痪S的量子引力也描述了四維時(shí)空中的自旋為0的粒子。換句話說(shuō)，我們可以用一維的量子引力理論來(lái)解釋一個(gè)在四維時(shí)空中運(yùn)動(dòng)的自由粒子！
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