張?zhí)烊兀ǖ驴怂_斯州大學(xué)奧斯汀分校理論物理博士）
在科學(xué)史上，恐怕沒有哪一個(gè)理論會(huì)像相對(duì)論這樣，引發(fā)那么多的“佯謬”，雙生子佯謬是其中最著名的一個(gè)。
根據(jù)狹義相對(duì)論，對(duì)靜止的觀測者來說，運(yùn)動(dòng)物體的時(shí)鐘會(huì)變慢。而相對(duì)論又認(rèn)為運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的。那么，有人就感到糊涂了：站在地面上的人認(rèn)為火車上的人的鐘更慢，坐在火車上的人認(rèn)為地面上的人的鐘更慢，到底是誰的鐘快、誰的鐘慢?。咳藗儯òㄎ锢韺W(xué)家）總覺得想不通，于是，便總結(jié)出來了一個(gè)“雙生子佯謬”。這個(gè)概念，最早是由物理學(xué)家朗之萬（Paul Langevin，1872～1946）在1911年提出的。
話說地球上的某年某月某日，比如假設(shè)是在1997年的某一天吧，誕生了一對(duì)雙胞胎，其中哥哥（劉天）被抱到宇宙飛船1號(hào)送上太空；另一人（弟弟劉地）則留守地球過普通人的日子。
飛船1號(hào)以極快的速度（光速的四分之三）飛離地球（圖1中向右）。根據(jù)相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果，在如此高的速度下，時(shí)間變慢的效應(yīng)很明顯，大概是3：2左右。所謂“時(shí)鐘變慢”，是一種物理效應(yīng)，不僅僅是時(shí)鐘，而是所有與時(shí)間有關(guān)的過程，諸如植物生長、細(xì)胞分裂、原子震蕩，還有你的心跳，所有的過程都放慢了腳步。
總而言之，當(dāng)自認(rèn)為處于“靜止”參考系中的人過了3年時(shí)，他認(rèn)為運(yùn)動(dòng)的人只過了2年。按照地球人的計(jì)劃，1997年發(fā)射的那艘宇宙飛船1號(hào)，將于地球上30年（而飛船1號(hào)上20年）之后，在某處與飛船2號(hào)相遇。飛船2號(hào)是朝地球飛過來的，即圖1中向左的方向，速度也是光速的四分之三左右。在那個(gè)時(shí)刻，劉天從飛船1號(hào)轉(zhuǎn)移到飛船2號(hào)上。也就是說，飛船1號(hào)繼續(xù)向右飛行，飛船2號(hào)繼續(xù)向左飛行，只有劉天，被掉頭反向以速度（0.75c）飛回地球。
由此，地球上總共經(jīng)過了60年之后，2057年，一對(duì)雙胞胎終于能夠再見面啦！那時(shí)候，地球上的弟弟劉地已經(jīng)60歲了，但一直生活在高速運(yùn)動(dòng)的飛船中的哥哥劉天卻只過了40個(gè)年頭，應(yīng)該是人到壯年，風(fēng)華正茂的年月。
不過，有人便說：劉天會(huì)怎么想呢？愛因斯坦的狹義相對(duì)論不是說所有的參考系都是同等的嗎？劉天在兩艘飛船中不也一直是靜止的嗎？地球上的弟弟卻總是相對(duì)于他作高速運(yùn)動(dòng)，因此，他以為弟弟應(yīng)該比他年輕許多才對(duì)。但是，事實(shí)卻不是這樣，他看到的弟弟已經(jīng)是兩鬢斑白、老態(tài)初現(xiàn)，這便似乎構(gòu)成了佯謬。無論如何，我們應(yīng)該如何解釋劉天心中的疑惑呢？
首先，劉天有關(guān)狹義相對(duì)論的說法是錯(cuò)誤的。狹義相對(duì)論并不認(rèn)為所有的參考系都等同，而是認(rèn)為只是互相作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性參考系才是等同的。劉天在旅行過程中坐了兩個(gè)宇宙飛船。他的旅程分成了飛離地球（飛船1）和飛向地球（飛船2）這兩個(gè)階段。飛船1和飛船2可以分別當(dāng)作與地球等同的慣性參考系，但劉天的整個(gè)旅行過程卻不能作為一個(gè)統(tǒng)一的慣性參考系。
因?yàn)閯⑻斓挠^察系統(tǒng)不是慣性參考系，劉天便不能以此而得出劉地比他年輕的結(jié)論。所以，“佯謬”不成立。當(dāng)劉天返回地球時(shí)，的確會(huì)發(fā)現(xiàn)地球上的弟弟已經(jīng)比自己老了20歲。如果設(shè)想兩個(gè)宇宙飛船的速度更快一些，快到接近光速的話，當(dāng)劉天返回地球時(shí)，的確就有可能出現(xiàn)神話故事中描述的 “山中方一日，世上已千年” 的奇跡了。
首先，我們用兩維的時(shí)間空間圖，研究雙生子佯謬中時(shí)間變慢的相對(duì)性。
圖2中有兩套時(shí)空坐標(biāo)：地面上劉地使用的(x,t)，用黑線表示；和飛船1上劉天使用的(x’,t’) ，用紅線表示。注意：劉天在飛船1上只待了一半，后來轉(zhuǎn)到飛船2，而圖上并沒有畫出飛船2上的坐標(biāo)系。
兩個(gè)雙生子的時(shí)空過程，可以分別用他們的“世界線”來表示。什么是世界線呢？就是某個(gè)事件在時(shí)空中所走的路徑。用這個(gè)新名詞，以區(qū)別于僅僅是空間的“軌跡”或者僅僅時(shí)間的流逝。比如說，劉地在地球上一直沒有動(dòng)，所以他的世界線是沿著地球坐標(biāo)系的t軸，從出發(fā)點(diǎn)O ->A ->C->D，在圖2中是一條垂直向上的直線。而劉天坐了兩次宇宙飛船，他的世界線在圖中是從O ->B ->D的一條折線。
對(duì)地球參考系（黑線直角坐標(biāo)）而言，同時(shí)的點(diǎn)位于平行于x軸（黑色）的同一條水平線上，即水平線是同時(shí)線。比如說，地球上2012年發(fā)生的事件都在標(biāo)志了“t=15年”的那條黑色水平線上。
飛船1號(hào)的時(shí)空坐標(biāo)相對(duì)于地球時(shí)空坐標(biāo)來說有一個(gè)旋轉(zhuǎn)，如圖中紅色的斜線所表示。但讀者務(wù)必注意，這兒的所謂“坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)”，不同于普通空間中的旋轉(zhuǎn)，被稱之為“雙曲旋轉(zhuǎn)”。對(duì)于普通空間中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)而言，直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)后仍然是直角坐標(biāo)。但在時(shí)空中，坐標(biāo)變換時(shí)需要保持光速不變，也就是，保持光錐的位置總是在黑色坐標(biāo)系的45度角處，如圖3中的虛線所示。所以，當(dāng)時(shí)間軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，空間軸需要逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，以對(duì)光錐保持對(duì)稱。
現(xiàn)在，我們只研究劉地30歲之前的情況，即他的世界線從O到C的一段。
對(duì)飛船1號(hào)的時(shí)空參考系而言，等時(shí)線不再是水平線，而是平行于x’，標(biāo)上了t’=0、t’=10年、t’=20年的那些紅色斜線。例如，研究一下圖2中的A、B、C這三個(gè)事件之間的關(guān)系。在地球的時(shí)空坐標(biāo)中，C和B是同時(shí)的，都發(fā)生在地球時(shí)間t＝30年的那條等時(shí)線上。然而，從飛船1的時(shí)空參考系看來，A和B才是同時(shí)發(fā)生的，都發(fā)生在飛船1的時(shí)間t’=20年的那條等時(shí)線上。而飛船1看起來，C事件是在A事件之后，所以也在B事件之后。
現(xiàn)在，劉地使用的是地球坐標(biāo)系，他認(rèn)為C和B是同時(shí)發(fā)生的，都發(fā)生在地球上的2027年，C點(diǎn)在劉地的世界線上，表明劉地30歲；B點(diǎn)在劉天的世界線上，表明劉天的“地球年齡”也是30歲。但因?yàn)閯⑻鞂?shí)際上是在運(yùn)動(dòng)的飛船1號(hào)上，所以劉地認(rèn)為劉天的時(shí)間過程要過得更慢，因而，劉地認(rèn)為劉天的“真實(shí)年齡”是20歲。
到地球上的2027年為止，劉天（B點(diǎn)之前）一直都在飛船1號(hào)上。在他看來，B和C不是同時(shí)的。按照他的紅線坐標(biāo)，B和A才是同時(shí)的，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)于自己20歲，與B同時(shí)的是A點(diǎn)，弟弟劉地相對(duì)于“我”是運(yùn)動(dòng)的，時(shí)間應(yīng)該更慢，所以，在劉天看來，自己在B點(diǎn)是20歲，而A點(diǎn)的劉地還不到20歲。
到此為止，兩個(gè)人的說法都是正確的，每一個(gè)人都認(rèn)為對(duì)方坐標(biāo)系中的時(shí)鐘（還有衰老的過程）比自己的更慢，從而都可以得出對(duì)方比自己更年輕的結(jié)論。
也就是說，對(duì)兩個(gè)互作勻速運(yùn)動(dòng)的慣性參考系而言，每一個(gè)觀測者都認(rèn)為對(duì)方的時(shí)鐘更慢，都認(rèn)為對(duì)方比自己更年輕。這個(gè)結(jié)論對(duì)地球和飛船1（劉地的前30年）是如此，對(duì)地球和飛船2（劉地的后30年）也是如此。
但是，想象一下，如果劉天只坐在飛船1上的話，他和劉地相距只會(huì)越來越遠(yuǎn)，就永遠(yuǎn)不可能再見面了，因而也就不可能構(gòu)成前面所述的“佯謬”之說。即使他們互相都認(rèn)為對(duì)方更年輕，但卻無法驗(yàn)證誰對(duì)誰錯(cuò)。不過，讀者可能會(huì)說：他們雖然不能見面，但是可以通電話呀，在電話中他們互相一問，不就知道對(duì)方多少歲了么？然而，狹義相對(duì)論認(rèn)為信息的速度不可能超過光速，當(dāng)他們以光速通話時(shí)，也需要考慮他們之間的距離以及同時(shí)性的等等問題。因此，對(duì)這種通電話的情況，我們就不進(jìn)一步詳細(xì)分析了。
關(guān)鍵在于，劉天不是一直待在以V勻速運(yùn)動(dòng)的飛船1上，也不是一直待在反方向勻速運(yùn)動(dòng)的飛船2上，而是在半途從飛船1（瞬間）被轉(zhuǎn)移到了飛船2，掉頭（從+0.75c的速度，變成-0.75c的速度）向地球飛來。最后兩兄弟相遇時(shí)，劉天比劉地年輕，其秘訣就隱藏在劉天的旅程中包括了這段從飛船1到飛船2的“轉(zhuǎn)換”過程。
那么，既然在雙生子佯謬中需要考慮劉天在兩艘宇宙飛船中切換的加速度，是不是需要廣義相對(duì)論的知識(shí)才能解釋清楚它呢？也不是這樣的。用地球參考系的2維時(shí)空?qǐng)D就可以解釋，用“固有時(shí)”的概念，還可以計(jì)算劉天相對(duì)于劉地的年齡。
“固有時(shí)”是什么呢？固有時(shí)也稱原時(shí)，其數(shù)學(xué)意義是2維時(shí)空?qǐng)D中的一段“長度”，類似于普通空間中的弧長s。具體來說，劉天和劉地的年齡，可以用圖2中他們的世界線的弧長長度來計(jì)算。
在圖2中的地球坐標(biāo)系中，兩個(gè)雙生子的世界線都是從O到D，這是標(biāo)志他們交匯見面的兩個(gè)時(shí)空點(diǎn)：分別對(duì)應(yīng)于他們出生之時(shí)（O）和地球上60年之后（D）。劉地的世界線是直線OD，等于線段OC的兩倍。劉天的是折線OB+BD，等于線段OB的兩倍。讀者可能會(huì)認(rèn)為：圖中直角三角形的斜邊OB“看起來”不是比直角邊OC要長嗎？這點(diǎn)在普通空間是正確的，在“時(shí)空”中卻未必見得。這是因?yàn)闀r(shí)空中線段OB的長度是等于OC（時(shí)間）的平方減去CB（空間坐標(biāo)值）的平方。
在普通空間中，弧長s表示一條曲線的長度，或者說是一個(gè)人走過的路徑的長度。而固有時(shí)表示的是某種時(shí)間。如圖3a，設(shè)想一個(gè)旅行者（太空人），帶著自己的時(shí)鐘和卷尺，一直記錄他走過的距離和時(shí)間。卷尺計(jì)算測量他走過的距離，而時(shí)鐘所記錄的，就是固有時(shí)。
從圖3b可以看出固有時(shí)和坐標(biāo)時(shí)（間）的區(qū)別，坐標(biāo)時(shí)是事件之外的觀察者使用某個(gè)參考系記錄的事件發(fā)生的時(shí)間間隔，固有時(shí)則是旅行者自己攜帶的時(shí)鐘記錄的時(shí)間間隔。此外，固有時(shí)與弧長不同之處是：普通空間的弧長一般比坐標(biāo)數(shù)值更大，但固有時(shí)卻比坐標(biāo)時(shí)更小，其原因如剛才所舉的例子中描述過的，是因?yàn)榭臻g坐標(biāo)平方和時(shí)間坐標(biāo)平方間的符號(hào)差所致。
換言之，固有時(shí)用以描述時(shí)空中事件之間流過的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間被事件自身的時(shí)鐘所測量，測量結(jié)果不僅取決于兩個(gè)事件對(duì)應(yīng)的時(shí)空點(diǎn)位置，而且也取決于時(shí)鐘參與其中的具體過程?；蚝唵蔚卣f，固有時(shí)是時(shí)鐘自己經(jīng)過的世界線長度。
如何來計(jì)算兩個(gè)雙胞胎在重逢時(shí)各自度過的真實(shí)年齡呢？可以計(jì)算和比較他們在兩次相遇之間，每個(gè)人的世界線長度。每個(gè)人的年齡是由他身體的新陳代謝機(jī)制決定的，他的身體內(nèi)有一個(gè)生物鐘。人體處于各種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（靜止或運(yùn)動(dòng)、加速或減速）時(shí)，他的生物鐘便會(huì)隨著變化，或減慢，或加快，這便可以作為每個(gè)人自己帶著的“時(shí)鐘”。
劉地一直停留在地球上沒有移動(dòng)，他的世界線是地球參考系中時(shí)間軸上的一段直線，在這個(gè)參考系中，他的固有時(shí)也就等于坐標(biāo)時(shí)，等于60年。而劉天的世界線是圖2中的OBD折線。折線中每一段的長度是20年，兩段相加等于40年。所以，兩個(gè)雙生子在D點(diǎn)見面的時(shí)候，劉天40歲、劉地60歲。
從以上的分析可以體會(huì)到利用“固有時(shí)”來計(jì)算此類問題的方便之處。我們并不需要仔細(xì)考慮每個(gè)事件的過程，不需要詳細(xì)去分析劉天的旅行過程哪一段是勻速、哪一段是加速或減速等等繁瑣的細(xì)節(jié)，比如圖3c右圖中的從O到D的彎彎曲曲的曲線，如果那是劉天的時(shí)空軌跡的話，也只需要在地球參考系中使用積分計(jì)算出這條世界線的長度（即固有時(shí)），那便就是劉天的年齡了。
剛才的分析是基于地球坐標(biāo)系，事實(shí)上，使用飛船1號(hào)的參考系，或者是飛船2號(hào)的參考系，也都可以驗(yàn)證以上結(jié)果。三種情形將得到同樣的結(jié)果：劉天40歲、劉地60歲。
（本文系作者“廣義相對(duì)論100周年”系列文章之四，《賽先生》獲授權(quán)刊發(fā)。）
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