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“理性永遠(yuǎn)存在, 但它并不永遠(yuǎn)存在于理性的形式之中。”

——卡爾·馬克思

哥德?tīng)?(Kurt G?del) 一生證明了兩個(gè)重要的定理。一個(gè)是1930年證明的一階邏輯的完全性定理, 另一個(gè)是1931年證明的形式算術(shù)系統(tǒng)的不完全性定理。在被稱(chēng)為“20 世紀(jì)最有意義的數(shù)學(xué)真理”當(dāng)中, 最有震撼力的是不完全性定理, 后來(lái)它就被簡(jiǎn)稱(chēng)為哥德?tīng)柖ɡ?。這一理論不僅改變了數(shù)學(xué), 而且改變了整個(gè)科學(xué)世界和建筑于此定理之上的哲學(xué), 更是現(xiàn)代邏輯史上很重要的一座里程碑。它與塔斯基 (Tarskey) 的形式語(yǔ)言的真理論, 圖靈機(jī)和判定問(wèn)題, 被贊譽(yù)為現(xiàn)代邏輯科學(xué)在哲學(xué)方面的三大成果[1]。

哥德?tīng)柖ɡ碚Q生60多年來(lái), 人們對(duì)它的思考和討論就沒(méi)有停止過(guò)。著名物理學(xué)家弗里曼·戴森 (Freeman Dyson) 曾引用哥德?tīng)柖ɡ韥?lái)駁斥萬(wàn)有理論;史蒂芬·霍金 (Stephen Hawking) 也在題為“哥德?tīng)柡臀锢韺W(xué)的終結(jié)”的演講中闡述了哥德?tīng)柖ɡ砼c物理學(xué)的關(guān)系。他說(shuō):“根據(jù)科學(xué)的實(shí)證哲學(xué), 一個(gè)物理學(xué)定理是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。如果存在不可證的數(shù)學(xué)結(jié)果, 也就存在不可預(yù)測(cè)的物理學(xué)問(wèn)題”[2]。哥德?tīng)柖ɡ磉€廣泛地被哲學(xué)家、社會(huì)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家、邏輯學(xué)家、計(jì)算機(jī)和人工智能專(zhuān)家等等各領(lǐng)域的人用來(lái)作為他們有限論或無(wú)限論、可知論或懷疑論、悲觀(guān)主義或樂(lè)觀(guān)主義的理論依據(jù)。這在科學(xué)發(fā)展史上是非常少見(jiàn)的。哥德?tīng)柖ɡ矸鬯榱诉壿嬜罱K將使我們理解整個(gè)世界的夢(mèng)想, 其所揭示的不完全性, 不是僅存在于一個(gè)數(shù)學(xué)或邏輯系統(tǒng)之中, 而是普遍存在于人類(lèi)使用的語(yǔ)言符號(hào)之中。這是人類(lèi)認(rèn)知無(wú)法逾越的障礙, 還是我們對(duì)該定理的誤解和濫用?什么是理性思維的界限?哥德?tīng)栆院? 人們不得不重新思考數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)和哲學(xué)的語(yǔ)言基礎(chǔ)問(wèn)題。邏輯理論和分析方法發(fā)生了重大變革, 從而影響了西方哲學(xué)的發(fā)展形態(tài)。筆者通過(guò)課程學(xué)習(xí)和相關(guān)文獻(xiàn)考察, 認(rèn)為哥德?tīng)柖ɡ聿⑽粗萍s人類(lèi)理性認(rèn)知的發(fā)展, 而是更新了人們進(jìn)行科學(xué)研究的方法和觀(guān)念, 邏輯認(rèn)知系統(tǒng)不斷進(jìn)化來(lái)克服現(xiàn)存的問(wèn)題;該定理所揭示的是“絕對(duì)真理”和“相對(duì)真理”的關(guān)系, 與物理學(xué)的相對(duì)論有異曲同工之妙, 本文欲從進(jìn)化與辯證的角度探討上述富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。

一、哥德?tīng)柖ɡ淼漠a(chǎn)生及其哲學(xué)意義

(1) 背景-希爾伯特方案

20世紀(jì)20年代, 在集合論不斷發(fā)展的基礎(chǔ)上, 德國(guó)大數(shù)學(xué)家希爾伯特向全世界的數(shù)學(xué)家提出了一個(gè)宏偉計(jì)劃, 要建立一組公理體系, 使一切數(shù)學(xué)命題原則上都可由此經(jīng)有限步推定真?zhèn)? 即公理體系的“完備性”;他還要求公理體系保持“無(wú)矛盾性” (即相容性, 公理和公理之間不能是自相矛盾的) 。數(shù)學(xué)作為一門(mén)演繹的科學(xué), 它的確定性幾乎與邏輯的確定性等價(jià)。但非歐幾何的誕生以及它與歐幾里德幾何的相對(duì)一致性, 尤其是集合論悖論的發(fā)現(xiàn), 使數(shù)學(xué)家必須去證明已有的各個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的絕對(duì)一致性。這樣, 我們才可以找到知識(shí)確定性的的基礎(chǔ)。這就是希爾伯特方案。

值得指出的是, 希爾伯特所說(shuō)的公理不是我們通常認(rèn)為的公理, 而是經(jīng)過(guò)了徹底的形式化。所謂形式化就是只考慮符號(hào)的種類(lèi), 符號(hào)的排列以及從符號(hào)序列到符號(hào)序列的變形而不考慮它們的意義的一種方法。一個(gè)形式系統(tǒng)通常由幾部分組成: (1) 各種初始符號(hào), 它們是系統(tǒng)的字母表; (2) 形成規(guī)則, 它們規(guī)定哪些符號(hào)序列是合式的, 合式的符序列稱(chēng)為合式公式; (3) 公理, 它們是被挑選出來(lái)的一些合式公式, 作為系統(tǒng)推演的出發(fā)點(diǎn); (4) 變形規(guī)則, 它們明確規(guī)定一個(gè)合式公式怎樣可以變換為另一個(gè)合式公式。形式系統(tǒng)就是這樣一個(gè)抽象的“無(wú)意義”的框架。

于是, 在一個(gè)形式系統(tǒng)內(nèi), 數(shù)學(xué)的可證性成為一個(gè)技術(shù)上可操作的概念。所謂證明就是有窮多個(gè)符號(hào)序列, 其中每一個(gè)符號(hào)列或者是一條公理, 或者是從先行的符號(hào)序列應(yīng)用變形規(guī)則得到的, 最后一個(gè)符號(hào)序列被稱(chēng)為定理。全部定理構(gòu)成了一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)可證的命題。一個(gè)形式系統(tǒng)還必須滿(mǎn)足一個(gè)基本要求, 即要能在有窮步驟內(nèi)根據(jù)已給定的機(jī)械方法判定一個(gè)符號(hào)序列是否為合式公式;一個(gè)合式公式是否為一公理;一個(gè)有窮長(zhǎng)的合式公式序列是否為一證明。因此, 希爾伯方案以形式系統(tǒng)為出發(fā)點(diǎn), 把數(shù)學(xué)對(duì)象與形式系統(tǒng)的符號(hào)串相匹配, 企圖發(fā)現(xiàn)一個(gè)沒(méi)有內(nèi)在矛盾的并且其定理完全符合于全部算術(shù)的真事實(shí)的形式系統(tǒng)。如果解決了算術(shù)形式系統(tǒng)的一致性問(wèn)題, 也就解決了整體數(shù)學(xué)的一致性問(wèn)題。

然而, 1931年, 當(dāng)哥德?tīng)栕裱柌胤桨冈噲D證明形式算術(shù)系統(tǒng)的一致性時(shí), 卻得到了意想不到的結(jié)果。這便是聞名于世的哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼?/span>

(2) 哥德?tīng)柖ɡ淼膬?nèi)容及哲學(xué)基礎(chǔ)

在那篇著名的論文“論《數(shù)學(xué)原理》和相關(guān)系統(tǒng)I中的形式不可判定命題” (über formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I) “中, 哥德?tīng)柼岢龊妥C明了不完全性定理[3]。實(shí)際上, 哥德?tīng)栕C明了兩個(gè)不完全性定理:第一, 一個(gè)不弱于初等數(shù)論的形式系統(tǒng)S, 如果一致, 則不完全;第二, 這樣的形式系統(tǒng)如果一致, 則這種一致性在系統(tǒng)內(nèi)不可證。第二定理也可以作為第一定理的直接推論。不完全的意義是, 在該系統(tǒng)的語(yǔ)言中存在這樣一個(gè)陳述, 它在該系統(tǒng)中既不能被證明, 也不能被證偽。這樣的陳述被稱(chēng)為在該系統(tǒng)中是不可判定的。

所謂初等數(shù)論形式系統(tǒng), 是指用形式化方法構(gòu)造的算術(shù)公理系統(tǒng) (簡(jiǎn)稱(chēng)算術(shù)系統(tǒng)) 。它有三個(gè)層面:語(yǔ)法、語(yǔ)義和元理論 (稱(chēng)為元數(shù)學(xué)) 。算術(shù)系統(tǒng)是一致的, 是指不存在公式A , A 和?A ( A 的否定) 都可證。算術(shù)系統(tǒng)是完全的, 是指不存在公式A , A 和?A 都不可證。哥德?tīng)栕C明:任何無(wú)矛盾的公理體系, 只要包含初等算術(shù)的陳述, 則必定存在一個(gè)不可判定命題, 用這組公理不能在有限步內(nèi)判定其真假。也就是說(shuō), “無(wú)矛盾”和“完備”是不能同時(shí)滿(mǎn)足的! (具體證明過(guò)程見(jiàn)[3]

理解哥德?tīng)柌煌耆远ɡ? 首先要弄清楚算術(shù)系統(tǒng)的兩個(gè)基本概念:“可證”和“真”[4]。“可證”是語(yǔ)法概念。一個(gè)公式可證, 是指存在它的一個(gè)證明, 即存在以該公式結(jié)尾的一個(gè)公式序列, 其中每個(gè)公式或者是公理, 或者是依據(jù)規(guī)則得到的。判定一個(gè)公式是否可證, 不涉及任何涵義?！罢妗笔莻€(gè)語(yǔ)義概念。一個(gè)公式真, 形式地說(shuō), 是指它經(jīng)過(guò)語(yǔ)義解釋后確定為真;直觀(guān)地說(shuō), 是指它表達(dá)算術(shù)真理。因此, 一個(gè)公式可證與該公式真, 不能直接畫(huà)等號(hào)。值得注意的是, 哥德?tīng)栐谧C明過(guò)程中是區(qū)分了“真”和“可證”的, 這甚至早于塔爾斯基的T語(yǔ)句, 是他第一次將“真”與“可證”作為不同的概念來(lái)對(duì)待。他告訴我們, 可證的一定是真的, 但真的不一定可證。這種區(qū)分對(duì)以后的數(shù)理邏輯和哲學(xué)研究產(chǎn)生了重要的影響。[5]

這里不得不提到, 與哥德?tīng)枎缀跬瑫r(shí)代的大哲學(xué)家維特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein) 從“真”與“可證”的關(guān)系出發(fā), 批判地表達(dá)了自己對(duì)哥德?tīng)柖ɡ淼目捶ā?/span>[6]他認(rèn)為, “在羅素的系統(tǒng)中為真”即意味著“在羅素系統(tǒng)中可證”。對(duì)于維氏的評(píng)論, 學(xué)者們多持批評(píng)態(tài)度;近年來(lái), 一些學(xué)者也為其評(píng)論尋找合理的解讀方式, 例如從直覺(jué)主義的數(shù)學(xué)觀(guān)出發(fā)理解維特根斯坦的評(píng)論, 認(rèn)為維特根斯坦后期的數(shù)學(xué)觀(guān)是直覺(jué)主義的[7]。但這些卻似乎有開(kāi)脫之嫌。看來(lái), 維特根斯坦的評(píng)論并不合乎哥德?tīng)柋救说乃枷?。哥德?tīng)柕摹罢妗眮?lái)自“數(shù)學(xué)直覺(jué)”。在哲學(xué)上哥德?tīng)柺冀K如一地堅(jiān)持異常強(qiáng)硬的柏拉圖主義態(tài)度。如果沒(méi)有這種形而上學(xué)觀(guān)點(diǎn), 他就不能以數(shù)學(xué)直覺(jué)為標(biāo)尺度量形式化的完全性。在哥德?tīng)柨磥?lái), 數(shù)學(xué)中之所以存在不完全性是因?yàn)槿藗儫o(wú)法將所有的數(shù)學(xué)直覺(jué)形式化。因?yàn)橐坏┎糠种庇X(jué)被形式化了, 這種直覺(jué)又將成為新的直覺(jué)知識(shí)。簡(jiǎn)言之, 哥德?tīng)柕牟煌耆灾傅氖菙?shù)學(xué)直覺(jué)和形式化之間的關(guān)系, 也即直覺(jué)思維與相對(duì)的理性思維的關(guān)系。

二、哥德?tīng)柖ɡ砼c邏輯進(jìn)化

在當(dāng)時(shí)的經(jīng)典邏輯的前提范圍內(nèi), 哥德?tīng)柖ɡ斫沂玖似湔胬硇允窍鄬?duì)的, 形式化方法的應(yīng)用是有限制的。但是, 它并未給出人類(lèi)理性的界限, 并未否定形式化方法和邏輯學(xué), 恰恰相反, 它極大地促進(jìn)了現(xiàn)代邏輯學(xué)的發(fā)展。哥德?tīng)柖ɡ淼淖C明本身就說(shuō)明, 形式化方法和演繹的運(yùn)用仍然是有效的認(rèn)知方式。

哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硎惯壿媽W(xué)發(fā)生了革命, 在它之后, 經(jīng)典邏輯發(fā)生了重大的變革--在筆者看來(lái)是邏輯的進(jìn)化 (雖然沒(méi)有見(jiàn)到有人正式提出這種說(shuō)法) , 是邏輯學(xué)或者邏輯系統(tǒng)本身為了更加適應(yīng)科學(xué)和哲學(xué)發(fā)展環(huán)境的進(jìn)化, 并且, 在今天和將來(lái)的任一時(shí)間點(diǎn)上, 這種進(jìn)化一直都在延續(xù)著。邏輯系統(tǒng)或邏輯理論的進(jìn)化象是一棵分形學(xué)意義上的樹(shù), 它不是一個(gè)線(xiàn)性擴(kuò)張的序列, 它具有無(wú)窮性, 不確定性, 和復(fù)雜性的特征。每個(gè)邏輯系統(tǒng)是一個(gè)節(jié)點(diǎn), 節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)連線(xiàn)彼此相連。我們知道, 邏輯的基礎(chǔ)是語(yǔ)言。邏輯是建立在某一特殊語(yǔ)言上的關(guān)于認(rèn)識(shí)模式和推理系統(tǒng)的理論體系。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō), 人類(lèi)在進(jìn)化, 語(yǔ)言在進(jìn)化, 邏輯也在進(jìn)化。因此, 邏輯的進(jìn)化是兩個(gè)方面的力量交織作用的結(jié)果:來(lái)自環(huán)境要求的外部力量和其自身基礎(chǔ)的內(nèi)部力量。過(guò)去一個(gè)多世紀(jì)以來(lái), 西方哲學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了從懷疑自然語(yǔ)言的適當(dāng)性而試圖建立一種理想語(yǔ)言開(kāi)始, 到對(duì)理想語(yǔ)言幻想的破滅, 后又重新回歸于自然語(yǔ)言這樣一條曲折發(fā)展和辯證回歸到道路。各種邏輯理論也不必再千篇一律地保持經(jīng)典的形式。

邏輯的進(jìn)化表現(xiàn)在兩個(gè)方面:擴(kuò)充和變異。所謂經(jīng)典邏輯的擴(kuò)充 (extensions of classical logic) , 就是在經(jīng)典邏輯的基礎(chǔ)上增加新的算子而得到的邏輯系統(tǒng)和邏輯理論, 如模態(tài)邏輯, 道義邏輯, 認(rèn)識(shí)邏輯, 時(shí)間邏輯等等;所謂經(jīng)典邏輯的變異 (alternative to classical logic) , 就是對(duì)經(jīng)典邏輯中的一個(gè)或兩個(gè)前提提出挑戰(zhàn), 改變它們或者拋棄他們, 從而得到新的邏輯系統(tǒng)和邏輯理論, 如多值邏輯, 直覺(jué)主義邏輯, 自由邏輯、相關(guān)邏輯, 非單調(diào)邏輯, 概率邏輯等等。經(jīng)典邏輯加上它的擴(kuò)張和變異所得到的邏輯理論合稱(chēng)為基本邏輯 (basic logic) , 它是比一個(gè)經(jīng)典邏輯范圍廣大得多的邏輯體系, 更重要的是, 與經(jīng)典邏輯僅僅適用于數(shù)學(xué)分析不同, 基本邏輯更加適用于對(duì)數(shù)學(xué)以外的其他學(xué)科的分析。將基本邏輯應(yīng)用于哲學(xué)的分析, 得到哲學(xué)邏輯;應(yīng)用于語(yǔ)言的分析, 得到語(yǔ)言邏輯;應(yīng)用于科學(xué)的分析, 得到科學(xué)邏輯, 包括量子邏輯, 生物學(xué)的邏輯、人工智能的邏輯等等[8]。

有學(xué)者提出一種進(jìn)化邏輯系統(tǒng)[9], 是在人工智能心理學(xué)派研究的推動(dòng)下誕生的一種科學(xué)進(jìn)步和發(fā)展的動(dòng)態(tài)模式。進(jìn)化的邏輯由三個(gè)部分組成:1.選擇的邏輯或間接評(píng)價(jià)的邏輯;2.通過(guò)反復(fù)競(jìng)爭(zhēng)而進(jìn)行的學(xué)習(xí);3.遺傳發(fā)現(xiàn)的邏輯。進(jìn)化的邏輯的核心是一種學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)的算法。最重要特征是把邏輯研究的重點(diǎn)從論證邏輯轉(zhuǎn)移到動(dòng)態(tài)的發(fā)展邏輯, 使邏輯有可能反映知識(shí)增長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)圖景。它用一種獨(dú)特的方式描述了知識(shí)增長(zhǎng)的進(jìn)程, 引進(jìn)了優(yōu)勝劣汰, 適者生存的選擇機(jī)制, 提出了既有繼承又有發(fā)展的遺傳算法, 是科學(xué)發(fā)展的邏輯。

20世紀(jì)70年代中期以后, 由于認(rèn)知科學(xué)的誕生, 對(duì)邏輯學(xué)的研究又提出了新的要求。認(rèn)知科學(xué)以體驗(yàn)哲學(xué)為基礎(chǔ), 以涉身心智為研究對(duì)象, 它對(duì)理性主義的邏輯學(xué)乃至近代以來(lái)整個(gè)西方的理性主義思想提出了挑戰(zhàn)。國(guó)內(nèi)有學(xué)者提出建立認(rèn)知邏輯的體系來(lái)適應(yīng)科學(xué)技術(shù)特別是認(rèn)知科學(xué)的發(fā)展[10]。認(rèn)知科學(xué)由6個(gè)相關(guān)學(xué)科支撐:哲學(xué)、心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、人類(lèi)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、神經(jīng)科學(xué)。與之相應(yīng), 認(rèn)知邏輯的體系包括哲學(xué)邏輯、語(yǔ)言邏輯、心理邏輯、文化與進(jìn)化的邏輯、人工智能的邏輯、腦與神經(jīng)系統(tǒng)的邏輯。認(rèn)知邏輯體現(xiàn)了回歸自然語(yǔ)言并基于經(jīng)驗(yàn)、非形式化和非演繹、反映認(rèn)知的規(guī)律三大特征。它放棄作為思維立法者的企圖, 在語(yǔ)言基礎(chǔ)和研究方法上更多地關(guān)心人, 關(guān)心語(yǔ)言的使用者。其研究方法的特殊性在于, 它同時(shí)使用現(xiàn)代語(yǔ)言學(xué)和現(xiàn)代邏輯學(xué)的方法, 并將人的因素引入到邏輯理論之中, 建立起一種與語(yǔ)言的使用者有關(guān)的、而不是適用于一切人的邏輯理論。因此, 認(rèn)知邏輯是一種展現(xiàn)認(rèn)知科學(xué)特征的新的邏輯理論。

在變革的過(guò)程中, 有的邏輯系統(tǒng)雖然失去了一階邏輯的某些性質(zhì), 如緊致性, 但是, 它們都越來(lái)越強(qiáng)大, 比起那些性質(zhì)全面但推理能力很弱的系統(tǒng)要有用得多。實(shí)踐表明, 邏輯理論和邏輯系統(tǒng)具有很強(qiáng)的生命力, 它的發(fā)展與人類(lèi)的認(rèn)知發(fā)展是相輔相成的。

三、哥德?tīng)柖ɡ砼c人工智能極限

馮·諾伊曼 (von Neumann) 受哥德?tīng)柧幋a的啟發(fā)設(shè)計(jì)了世界第一臺(tái)計(jì)算機(jī)?，F(xiàn)代邏輯和形式化方法普遍應(yīng)用在計(jì)算機(jī)科學(xué)的人工智能領(lǐng)域, 使其成為理性思維的代表。什么是理性思維的界限?形式化能代表理性思維的全部嗎?由哥德?tīng)柖ɡ硭沂镜木窒扌宰匀痪鸵饛V泛的爭(zhēng)論。

1950 年圖靈在《計(jì)算機(jī)器與智能》中指出, 機(jī)器也能夠思維。這篇文章還隱含著“人心等價(jià)于一臺(tái)計(jì)算機(jī)”的論斷。1961年美國(guó)哲學(xué)家魯卡斯提出著名的“魯卡斯論證”, 在《心、機(jī)器、 哥德?tīng)枴分? 試圖用哥德?tīng)柖ɡ碜C明“人心超過(guò)計(jì)算機(jī)”的結(jié)論。1979年 《哥德?tīng)枴?、巴? 一條永恒的金帶》一書(shū), 試圖從多個(gè)視角闡明如何用哥德?tīng)柖ɡ矸褡C強(qiáng)人工智能方案。

哥德?tīng)柋救酥赋? 人工智能的極限不是哥德?tīng)柖ɡ淼闹苯油普? “從我的定理可以推出的結(jié)論只能是如下形式的選言判斷:或者數(shù)學(xué)是不可完全的, 即它的自明的公理不可 能包含在有窮規(guī)則中, 因此人心超過(guò)有窮機(jī)器;或者存在人心絕對(duì)不可判定的數(shù)論問(wèn)題”。哥德?tīng)?931年曾經(jīng)在一個(gè)重要腳注和給蔡梅羅的信中指出, “所有數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)的內(nèi)在不完全性的根源在于, 更高類(lèi)型的形式化總能持續(xù)到超窮, ......因此, 這里構(gòu)造的不可判定命題在更高類(lèi)型中將變成可判定的”[11]。哥德?tīng)柕倪@一斷言為我們不斷突破低層形式系統(tǒng)的局限, 尋求更高類(lèi)型形式系統(tǒng)模擬人類(lèi)智能提供了豐富的空間。我們無(wú)法證明理性思維存在不可逾越的邏輯極限, 完全可以探索如何超越目前的圖靈機(jī)來(lái)模擬人類(lèi)智能的新途徑。

“認(rèn)知即是計(jì)算”, 這是認(rèn)知科學(xué)的基本假設(shè)。目前人工智能領(lǐng)域也完全是在圖靈意義上的“認(rèn)知可計(jì)算主義”的范式指導(dǎo)下工作。那么, 是否可以采用某種新型的包含非古典邏輯的具有動(dòng)態(tài)性質(zhì)的形式系統(tǒng), 在這種系統(tǒng)中哥德?tīng)柖ɡ聿怀闪⒛?有些學(xué)者 (如物理學(xué)家霍金等) 認(rèn)為, 哥德?tīng)柌煌耆远ɡ磉m用于非形式系統(tǒng)甚至一切科學(xué)理論。按照哥德?tīng)柖ɡ? 無(wú)論我們構(gòu)造出多么復(fù)雜的理論, 它都有一個(gè)表述的形式系統(tǒng), 但在這個(gè)系統(tǒng)內(nèi)都有一個(gè)不可證的公式, 這個(gè)公式不能作為定理在該系統(tǒng)內(nèi)被推導(dǎo)出來(lái)。但是這種形式化 (人類(lèi)的理性認(rèn)知形式) 的不能證明性, 是否就意味著認(rèn)知本身的不可能和不正確呢?

哥德?tīng)柖ɡ碚墙沂玖俗銐虼蟮睦碚摬荒鼙煌耆问交? 因而人類(lèi)不可能將其所有知識(shí)形式化, 總有某些知識(shí)在形式系統(tǒng)中是無(wú)法表達(dá)的。但是, 不能形式化并不意味著不正確, 不意味著不可知。理性并不永遠(yuǎn)存在于形式化之中。我們?nèi)匀挥衅渌椒ㄅ袛嗾胬怼＿壿嫷倪M(jìn)化表現(xiàn)了人類(lèi)智能的進(jìn)化。人類(lèi)的認(rèn)知一直處于進(jìn)化之中, 甚至哥德?tīng)柖ɡ肀旧硪彩撬囊粋€(gè)結(jié)果?？v觀(guān)科學(xué)發(fā)展史, 人類(lèi)總是在不斷突破認(rèn)知的限度。人工智能或人類(lèi)智能的極限并不是絕對(duì)的, 在一個(gè)動(dòng)態(tài)的發(fā)展過(guò)程中, 我們?cè)诿總€(gè)階段所看到的極限都不相同。我們不能證明哪里是思維無(wú)法把握之處, 如果可證, 那么它就不是。

結(jié)語(yǔ)

通過(guò)以上分析可以看到, 正確看待哥德?tīng)柖ɡ? 對(duì)于我們把握學(xué)術(shù)方向、堅(jiān)持科學(xué)發(fā)展是非常重要的。邏輯認(rèn)知是一種理性的實(shí)證思維方式。在具體的科學(xué)實(shí)踐當(dāng)中, 理性思維與直覺(jué)思維總是互相補(bǔ)充、共同構(gòu)成人類(lèi)認(rèn)知行為的。理性之花也需要直覺(jué)的土壤, 如果沒(méi)有哥德?tīng)柕闹庇X(jué)洞察力, 就不會(huì)產(chǎn)生哥德?tīng)柖ɡ??？茖W(xué)研究的過(guò)程, 是一個(gè)起于直覺(jué), 經(jīng)由理性, 再到直覺(jué), 再理性以至無(wú)窮的過(guò)程。該過(guò)程表明, 人類(lèi)認(rèn)知是一個(gè)直覺(jué)與理性辯證統(tǒng)一的過(guò)程。

在科學(xué)哲學(xué)中, 任何科學(xué)理論都是相對(duì)真理, 那么, 哥德?tīng)柖ɡ硪膊焕?。從邏輯的觀(guān)點(diǎn)看, 哥德?tīng)柖ɡ淼某闪⑹怯袟l件的, 它不會(huì)在所有可能世界里必然成立。我們不應(yīng)該把它絕對(duì)化甚至濫用。哥德?tīng)柖ɡ斫沂玖诵问较到y(tǒng)的局限性, 從而也揭示了人工智能和人類(lèi)智能的局限性。但哥德?tīng)柖ɡ聿⑽粗萍s人類(lèi)理性認(rèn)知的發(fā)展, 而是更新了人們進(jìn)行科學(xué)研究的方法和觀(guān)念, 人類(lèi)思維的上向性使理論系統(tǒng)不斷通過(guò)進(jìn)化來(lái)克服現(xiàn)存的問(wèn)題。從弗雷格到希爾伯特再到哥德?tīng)? 人類(lèi)在認(rèn)知進(jìn)化的艱難旅途上已走得那么遙遠(yuǎn), 他們?yōu)槿祟?lèi)建立了一種理性認(rèn)知的模式, 其深遠(yuǎn)意義至今還在影響著我們。

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