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在博士考試中，我被要求寫(xiě)出5個(gè)哥德?tīng)柖ɡ?。這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是，每一個(gè)定理要么催生了一個(gè)新的分支，要么徹底改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)邏輯。證明理論、模型理論、遞歸理論、集合理論、直覺(jué)邏輯——所有這些都被哥德?tīng)柕墓ぷ鬓D(zhuǎn)化了，或者在某些情況下，從哥德?tīng)柕闹髦械玫搅怂鼈兊钠鹪矗℅oldstein, 2005）。

塔爾斯基在他的演講中強(qiáng)調(diào)一般遞歸概念的重要性。在我看來(lái)，這種重要性很大程度上是因?yàn)橛辛诉@個(gè)概念，人們第一次成功地給一個(gè)有趣的認(rèn)識(shí)論概念下了一個(gè)絕對(duì)的定義，也就是說(shuō)，不依賴(lài)于所選擇的形式主義。

哥德?tīng)栆呀?jīng)表明（在數(shù)學(xué)原理的形式主義中）有命題U使得既不U也不?U是可證明的。結(jié)果表明，在形式主義內(nèi)不能給出數(shù)學(xué)原理（或具有基本算術(shù)的任意形式系統(tǒng)的K）的一致性的證明。[…]我將證明，沒(méi)有通用的方法可以判斷給定公式是否可以在K中證明。（圖靈，1936年）

1. 考慮一個(gè)具有遞歸公理和足夠表達(dá)能力來(lái)表述算術(shù)真理的正式系統(tǒng)S，它在圖靈機(jī)M中有一個(gè)對(duì)等物。
2. 你可以找到這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)哥德?tīng)柧渥樱ㄒ粋€(gè)從系統(tǒng)的角度無(wú)法判定的句子），它的真實(shí)性對(duì)人類(lèi)來(lái)說(shuō)是直觀可見(jiàn)的。
3. 由于M不能證明哥德?tīng)柕倪@句話，所以它的數(shù)學(xué)能力不如人腦。因此，人類(lèi)的大腦具有某種機(jī)器所缺乏的制造數(shù)學(xué)的能力。

在系統(tǒng)地建立數(shù)學(xué)公理的過(guò)程中，新的公理（這些公理與先前建立的公理之間的形式邏輯并不一致）一次又一次地變得明顯起來(lái)。它并沒(méi)有完全被前面提到的否定結(jié)果所排除，盡管如此，每一個(gè)明確提出的數(shù)學(xué)“是或不是”問(wèn)題都是可以用這種方式解決的。因?yàn)檎驗(yàn)槿绱?，基于機(jī)器無(wú)法模仿的原始概念的意義而產(chǎn)生的越來(lái)越多的新公理就變得顯而易見(jiàn)了。（哥德?tīng)枺?995年，第385頁(yè)）

要么人類(lèi)的思維超過(guò)了所有的機(jī)器（更精確地說(shuō)，它能比任何機(jī)器決定更多的數(shù)字理論問(wèn)題），要么存在著人類(lèi)思維無(wú)法決定的數(shù)字理論問(wèn)題。

還有第三種選擇：雖然析取是以“非此即彼”的形式陳述的，但這兩種可能性似乎并不相互排斥。兩種情況都有可能發(fā)生。我們可以想到某種認(rèn)知能力的層次，它從圖靈機(jī)開(kāi)始，然后進(jìn)入人類(lèi)的思維，然后到達(dá)后者無(wú)法到達(dá)的領(lǐng)域。這種選擇引入了大量的本體論差異，因此是非常不經(jīng)濟(jì)的，但我們?nèi)匀徊荒芘懦?/section>

必須強(qiáng)調(diào)的是，第二次吸取并不意味著答案是不可接近的。也就是說(shuō)，它仍然可能是沒(méi)有“數(shù)學(xué)”的情況，而數(shù)學(xué)純粹是人類(lèi)心靈自由活動(dòng)的果實(shí)。如果人類(lèi)沒(méi)有答案，那么就沒(méi)有答案。這條路把我們引向了一個(gè)更深層次的問(wèn)題：我們能否從一個(gè)接一個(gè)的“實(shí)際”任務(wù)中，以某種方式研究數(shù)學(xué)問(wèn)題是否有抽象的答案？也許數(shù)學(xué)中使用的概念具有某種固有的形式，從而導(dǎo)致給定問(wèn)題的“不合理“？也許有一些深?yuàn)W的數(shù)學(xué)語(yǔ)法，可以告訴我們“沒(méi)有確定一個(gè)任意問(wèn)題的一般程序”，但為什么會(huì)這樣？

如果我們?cè)敢?，我們可以進(jìn)一步對(duì)初始情況進(jìn)行問(wèn)題分析。既然心智實(shí)際上是一臺(tái)機(jī)器這一觀點(diǎn)沒(méi)有被證明是錯(cuò)誤的，那么我們就可以假設(shè)存在某種“超級(jí)機(jī)器”，它能夠看到我們的不完整性。這將把這個(gè)定理最初的哲學(xué)結(jié)論顛倒過(guò)來(lái)。

圖靈相信，他和哥德?tīng)柕难芯拷Y(jié)果表明，抽象的人類(lèi)大腦在數(shù)學(xué)上總是比一臺(tái)人造計(jì)算機(jī)更有能力。但是，當(dāng)所有計(jì)算機(jī)“聯(lián)合起來(lái)”時(shí)，它是否會(huì)超越所有計(jì)算機(jī)的總和，這個(gè)問(wèn)題并不是那么明顯。圖靈也看到了這個(gè)問(wèn)題，他在1951年的BBC廣播中說(shuō)，機(jī)器不可能是智能的，我們不可能從機(jī)器的研究中學(xué)習(xí)到關(guān)于我們自己大腦的任何東西。

另一方面，哥德?tīng)栂嘈糯竽X無(wú)限地超越機(jī)器。在1936年的論文中，他（錯(cuò)誤地）采用了圖靈的推理，認(rèn)為大腦可以等同于機(jī)器。他把這種說(shuō)法稱(chēng)為“哲學(xué)謬誤”。后來(lái)在與王浩的談話中，他這樣說(shuō)

大腦在使用中不是靜止的，而是不斷發(fā)展的。

機(jī)器不能以這種方式發(fā)展。這種開(kāi)發(fā)過(guò)程是非算法的、非機(jī)械的、機(jī)器無(wú)法追蹤的。因此，機(jī)制和反機(jī)制之間的新論述開(kāi)始于兩位為計(jì)算機(jī)科學(xué)奠定理論基礎(chǔ)的研究成果之父的陳述。

當(dāng)然，在討論中還有很多需要澄清的地方?！叭祟?lèi)思維”、“抽象思維”以及“機(jī)器”的概念仍然需要一些解釋。更不用提圖靈的“獨(dú)創(chuàng)性”和“直覺(jué)”概念，以及哥德?tīng)柕摹皵?shù)學(xué)直覺(jué)”，這些概念在這場(chǎng)爭(zhēng)論中扮演著重要的角色，但仍然非常模糊。

我們?cè)趩?wèn)題中越陷越深。一段時(shí)間以前，不完全性定理對(duì)我來(lái)說(shuō)似乎是一個(gè)決定性的論點(diǎn)，結(jié)束了許多討論。但最近我傾向于看到相反的情況：它激發(fā)了多少問(wèn)題，以及這件藝術(shù)品在哲學(xué)上有多么豐富。