什么是智慧？
智慧就是能夠在紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象世界中看見異同發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再以此解決問題改造現(xiàn)實.
這也是我們一切學(xué)習(xí)的最終目的.
而數(shù)學(xué)提供了最好的工具和方法.
在武俠小說中一切功夫以武道和心法為上，以招式為次，兵器更次，若無心法功力，即使倚天劍屠龍刀在三腳貓手中也無甚大用.像《倚天屠龍記》中的九陽真經(jīng)：“他強(qiáng)任他強(qiáng)，清風(fēng)拂山崗，他橫由他橫，明月照大江”，就不是具體的招式，而是武功心法.它雖沒有招式，但能產(chǎn)生一切招式，它雖未及兵器，但能役使一切兵器.
學(xué)習(xí)也要從道、法、術(shù)、器的不同層面進(jìn)行深入研究領(lǐng)悟，才能更好地掌握該學(xué)科的精髓和本質(zhì).
多說無益，且看實例，來吧，上題.
例.Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3/4，AD=3，CD=4，BD的取值范圍為 .
如果不了解解題的方法策略和基本模型，乍看此題會比較懵圈，感覺無從下手.
數(shù)學(xué)思維的根本之道是什么？
如果用最簡潔的文字來表達(dá)，應(yīng)該是“抽象、推理”.
我們對問題進(jìn)行抽象和推理：
（1）△ABC形狀確定，但大小不確定。AD、CD大小確定，但不在確定的三角形中.
（2）要求的線段BD所在三角形只有一邊確定，且無法利用已知條件建立有效聯(lián)系.
問題的關(guān)鍵找到了，條件無法有效利用說明模型不完整，當(dāng)此情境時我們通常要進(jìn)行“完形構(gòu)造”.“完形構(gòu)造”是一種通用的思考方法，它讓我們根據(jù)條件積極地聯(lián)想尋找相關(guān)的可用的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行構(gòu)造.
上面的分析是在“道”與“法”的層面，繼續(xù)再到“術(shù)”與“器”的層面思考：如何構(gòu)造模型呢？構(gòu)造哪種模型呢？
完形構(gòu)造法有三種具體方式：有則組之，缺則補(bǔ)之，無則變之.
由條件知BC：AC：AB=3：4：5，我們可以聯(lián)想到相似模型，題中的關(guān)鍵線段（已知的和所求的）是AD、BD、CD，那么我們要干的事自然就是構(gòu)造含AD、BD、CD的三角形使之與△ABC相似，也可以看成構(gòu)造與△ACD、△BCD、△ABD相似的三角形，到最后你會發(fā)現(xiàn)一件既神奇又合理的事：它們是一致的、等價的，異曲而同工，殊途而同歸！
既然△ABC的形狀已確定，我們就以AD為邊添補(bǔ)構(gòu)造一個與之相似（形狀相同）的三角形△AED.AD長已定，則△AED三邊皆定.還要注意△AED的方向位置與△ABC要一致，為什么呢？因為這樣才可以進(jìn)行下一步推理，得到另一對相似三角形△ADC∽△AEB，這就是很常用的“一轉(zhuǎn)成雙”模型，如下圖.
此構(gòu)造從“補(bǔ)形”（缺則補(bǔ)之）的角度看，是在AD處補(bǔ)上一個以其為邊的與△ABC相似的△AED；從“變形”（無則變之，變即運(yùn)動變換）的角度看，是把△ABC旋轉(zhuǎn)縮放至△AED，或把△ADC旋轉(zhuǎn)縮放至△AEB.
簡要推理過程：作∠ADE=90°，DE=9/4，得△ADE∽△ACB，得AD:AE=AC:AB=4:5，且∠DAC=∠EAB，得△ADC∽△AEB，CD:BE=4:5， 所以BE=5，得5-9/4≤BD≤5+9/4，即11/4≤BD≤29/4.
上述方法可抽象概括為：以AD與AC為對應(yīng)邊構(gòu)造三角形與△ABC相似，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABC使AC與AD重合，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ADC使AC與AB重合.
抽象具有強(qiáng)大的作用是因為它可以作為規(guī)律重復(fù)使用，我們把它作為一般方法再使用，把上面的邊或三角形進(jìn)行同類置換：
以AD與AB為對應(yīng)邊構(gòu)造三角形與△ABC相似，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABC使AB與AD重合，或旋轉(zhuǎn)并縮放△ABD使AB與AC重合.如下圖：
推理過程與前圖類同，這里是先在△CED中求CE的取值范圍，再根據(jù)BD=5/4CE求BD的取值范圍.
圖中的AD、BD、CD所處地位是等價的，根據(jù)對稱原理，可以把三條線段任意一條作邊構(gòu)造3:4:5的相似三角形，每條線段有兩種對應(yīng)方式可作兩種圖形共有六種作法，或把三個三角形分別繞A、B、C三點順逆旋轉(zhuǎn)各一次共六種構(gòu)造方法，另四種構(gòu)造方式如下圖：
上面六種構(gòu)造方法從本質(zhì)上來說是一種方式，可抽象為：以關(guān)鍵（已知或所求）線段為邊構(gòu)造相似三角形（或把關(guān)鍵線段所在三角形旋轉(zhuǎn)縮放構(gòu)造得到兩對相似三角形），最終把所求線段或其相關(guān)線段轉(zhuǎn)化到一個有兩邊確定的三角形（可能三邊共線）中，從而得到所求線段的取值范圍.
本題還可以從軌跡與集合的角度思考：若線段AD的位置確定，C點軌跡可以看成以D為圓心4為半徑的圓，而B點可以看成由C點繞定點A旋轉(zhuǎn)∠CAB并放大5/4倍而得，判斷C點與B點的關(guān)系屬于主從聯(lián)動模型，可得B點軌跡是圓D繞點A旋轉(zhuǎn)∠CAB并放大5/4倍，圓心也是由D繞A旋轉(zhuǎn)∠CAB得點E，半徑長為4×5/4=5，問題轉(zhuǎn)化為定點D到圓E上動點B的最大路徑和最短路徑，從而得到同樣的結(jié)論.
類似的，若線段CD的位置確定，A點軌跡可以看成以D為圓心3為半徑的圓，同樣是主從聯(lián)動模型，轉(zhuǎn)化為定點D到定圓E的最值問題.
上文所提的最值模型及主從聯(lián)動模型在拙著《中考數(shù)學(xué)思維方法與解題策略》中有完整歸納，或在本公眾號搜索關(guān)鍵字“最值”和“路徑”可以獲得相關(guān)文章專門講解.
我們在上面的問題解決中所用的都是基本的知識模型：旋轉(zhuǎn)、相似、兩點之間線段最短，但是顯然僅掌握這些知識模型是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.知識模型是器與術(shù)的層面，策略方法是道與法的層面，在知識模型的運(yùn)用中體現(xiàn)和生成策略方法，策略方法為知識模型的具體應(yīng)用提供思想指導(dǎo).它們相輔相成不可分割，若離開策略方法，則知識模型就成了死的無用的東西，若離開知識模型，則策略方法就成了無源之水無本之木.
我們把上述問題進(jìn)行抽象可以形成這樣的一類模型：三點A、B、C組成一個確定形狀的三角形ABC，另一點D到此三點中的兩點距離確定，則D到第三點的距離取值范圍可求，概括為：一點、定形、兩定長.
這樣，我們不僅會解題，還會編題，抬手間就可以命制幾道同類問題：
（1）已知等邊△ABC，AD=3，BD=5，求CD的取值范圍.
（2）已知正方形ABCD中，AP=1，CP=3，求BP的取值范圍.
（3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=2，E為CD的中點，CD=4，AE=√2，求BD的取值范圍.
怎么樣，不看例題講解能不能信手拈來幾種不同的構(gòu)造方法？
如果能，才算是真正掌握了領(lǐng)悟了這類問題的解題策略和方法！
公布答案：（1）2≤BD≤8；（2）√2≤BP≤2√2；（3）2√2≤BD≤6√2.
值得一提的是第（3）題，題中部分圖形條件符合例題模型“一點定形兩定長”，一點E到確定形狀的△ABC頂點中已知兩定長AE、CE，可求BE的取值范圍，但題目求的是BD的取值范圍，求BE并無幫助.可取BC中點F，BD=2EF，求EF的取值范圍即可.
用同樣的構(gòu)造方法如下圖，作等腰直角三角形ECP，在△EFP中根據(jù)PE、PF的長求EF的取值范圍是√2≤EF≤3√2，進(jìn)而求得2√2≤BD≤6√2.
也可以從軌跡的角度看，A點軌跡為半徑為√2的圓E，由BC:AC=2，∠ACB=90°，可知B點軌跡是圓E繞點C旋轉(zhuǎn)90度并放大2倍的圓P，BD就轉(zhuǎn)化為定點D到圓P上一點B的長度最值（也可以直接在△BDP根據(jù)PD、PB的長確定第三邊BD的范圍）.
如果才能做到解決問題時得心應(yīng)手游刃有余呢？
老子說：有道無術(shù)，術(shù)尚可求，有術(shù)無道，止于術(shù).
莊子說：以道馭術(shù)，術(shù)必成，離道之術(shù)，術(shù)必衰.
孫子說：道為術(shù)之靈，術(shù)為道之體，以道統(tǒng)術(shù)，以術(shù)得道.
古人又說：上人用道，中人用術(shù)，下人用力.
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