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一、模型的基本結(jié)構(gòu)：

（1）兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰直角三角形OAB和OCD，可證得△OAC≌△OBD（SAS），且是旋轉(zhuǎn)90度的位置關(guān)系，AC與BD相等且垂直。

（2）兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的任意等腰三角形OAB和OCD，可證得△OAC≌△OBD（SAS），且旋轉(zhuǎn)角為∠AOB，AC與BD相等且交角等于∠AOB。

（3）兩個(gè)共頂點(diǎn)的任意相似三角形OAB和OCD，可證得△OAC∽△OBD（兩邊成比例且夾角相等），且旋轉(zhuǎn)角為∠AOB，AC:BD=AO:BO，且交角等于∠AOB。

二、模型的抽象表征

研究表明，知識(shí)的抽象表征是深度理解的標(biāo)志，它有利于知識(shí)的廣泛遷移和靈活應(yīng)用，所以對(duì)以上模型不僅要有直觀認(rèn)識(shí)，而且要能進(jìn)行抽象概括。

條件特征：共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)旋轉(zhuǎn)縮放可以得到另一個(gè)，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)的排列順序相同。

結(jié)論推導(dǎo)：把兩個(gè)已知相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接得兩條線段，分別與公共點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)三角形也相似。（已知三角形是等腰三角形時(shí)相似比為1，即得全等）

三、模型的直接應(yīng)用：由一生二，導(dǎo)角導(dǎo)邊

例1.如圖，△OAB和△OCD都是等邊三角形，求證：OP平分∠APD

分析：如下圖，由“SAS”證△OAC≌△OBD，作AC、BD邊上的高，可得全等三角形對(duì)應(yīng)高相等OE=OF，所以O(shè)P平分∠APD。

例2.如圖，點(diǎn)O在線段AB上，△OAB和△OCD都是等邊三角形，試探索EF與AD的位置關(guān)系。

分析：同理可證△OAC≌△OBD，得∠OAF=∠OBE，再證△OAF≌△OBE，得OF=OE，又∠BOC=60°，所以△OEF是等邊三角形，∠OEF=∠DOC=60°，即可得EF∥AD。

例3.如圖，分別以△ABC三條邊為邊在同側(cè)作等邊三角形，試探索當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形。

分析：找出圖中的手拉手模型，可證△ABC≌△DEC≌△FBE，得DE=AB=AF，EF=AC=AD，所以四邊形ADEF是平行四邊形（∠BAC≠60°），若是矩形需∠DAF=90°，可得∠BAC=150°，即當(dāng)∠BAC=150°時(shí)四邊形ADEF是矩形。

四、模型的轉(zhuǎn)化應(yīng)用：添補(bǔ)拆分，化隱為顯

例4.如圖，△ABC和△DEF都是等邊三角形，O是AC和DF的中點(diǎn)，求BE：AD的值。

分析：以O(shè)為公共點(diǎn)構(gòu)造“手拉手”模型，可證得△BOE∽△AOD，BE：AD=OB：OA=√3。

例5.如圖，矩形OABC和矩形ODEF中，OC=6，OA=3，OF=3，OD=1，求AD：CF：BE的值。

分析：圖中含有兩組“手拉手”模型，第一組如下圖，

上圖中△AOD∽△COF，得AD：CF=OC：OA=2：1。

第二組“手拉手”如下圖，

如上圖，同理得△BOE∽△COF，得BE：CF=OB：OC=√5：2，所以BE：CF：AD=√5：2：1。實(shí)質(zhì)上結(jié)果即是矩形的對(duì)角線和兩邊的比。

例6.如圖，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠AED=90°，O是CD的中點(diǎn)，試探索EF與BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

分析：“手拉手”模型由兩個(gè)共頂點(diǎn)的相似三角形構(gòu)成，并且是旋轉(zhuǎn)縮放關(guān)系。圖中△ABC和△AED相似但方向不一致，所以將△ABC和△AED翻折即可得到“手拉手”模型，如下圖：

可證△ACM≌△AND，得CM=DN，CM⊥DN，又EF=1/2 CM，BF=1/2 DN，知EF=BF，又EF∥CM，BF∥DN，知EF⊥BF。

五、模型的構(gòu)造應(yīng)用：一轉(zhuǎn)成雙，一有盡有

例7.如圖，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E在AB上，AD=3，BE=2，∠DCE=45°，求DE的長。

分析：構(gòu)造“手拉手”模型把相關(guān)線段轉(zhuǎn)移集中，即把△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°至△BCF，如下圖：

由旋轉(zhuǎn)可得△BCF≌△ACD，BF=AD，∠CBF=∠A=45°，再證△CEF≌△CED，得EF=DE，在Rt△BEF中，可求EF=√13，即DE=√13。

例7.如圖，AP=4，AB=10，∠BPC=90°，tan∠BCP=2，求AC的取值范圍。

分析：圖中的關(guān)鍵線段AB、AP、AC如何轉(zhuǎn)化集中使其產(chǎn)生關(guān)系呢？圖中形狀確定的△BCP如何應(yīng)用？如下圖，把AB、AC、AP其中一條線段分別繞點(diǎn)B、C、P旋轉(zhuǎn)縮放構(gòu)造“手拉手”即可。

作AD=1/2 AB=5，，∠BAD=90°，可證△BCD∽△BAP，得CD：AP=BC：BP=√5：2，CD=2√5，所以5-2√5≤AC≤5+2√5。

以下幾種構(gòu)造原理相同：

例8.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AB=AD，BC=2，CD=3√2，求AC的長。

分析：俗話說“獨(dú)足難行，孤掌難鳴”，圖中已有一個(gè)確定形狀的三角形△ABD，再構(gòu)造一個(gè)與之形狀相同大小確定的三角形組成“手拉手”模型即可使圖形產(chǎn)生聯(lián)系，如下圖：

構(gòu)造∠CAE=90°，AE=AC，證得△ADE≌△ABC，導(dǎo)邊得DE=BC=2，導(dǎo)角知∠CDE=135°，在△CDE中解三角形得CE=√34，所以AC=√13。

上圖也可以看成把關(guān)鍵圖形△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而得。

本題依同樣的思路還可以產(chǎn)生多種構(gòu)造方法，讀者可自行思考。