34120180626周六作品
《雜談 · 等腰三角形的那些事》
（秦中 朱校華 原創(chuàng)）
兩邊相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形具有如下性質：
【邊】：有兩邊相等. 這相等的兩邊叫做“腰”；
【角】：有兩角相等. 這相等的兩角叫做“底角”；這個性質也簡稱為“等邊對等角”.
【對稱性】：等腰三角形是軸對稱圖形. 其對稱軸是底邊的垂直平分線.
【重要線段】：等腰三角形底邊上的高、中線與頂角平分線互相重合. 這條性質也簡稱為“三線合一”.值得注意的是：其中內含六個不同的真命題，具體如下:
以上六大真命題在解題中會起到不少作用，是值得收藏的寶貝之一！
一、等腰三角形的“頂角的不確定性”或“腰的不確定性”導致多答案.
朱校華原創(chuàng)中考200606261號題：
有一個角等于50°的等腰三角形之其余兩角分別等于 .
簡析：
很明顯，本題已知角50°沒有明確到底是什么角，可以是頂角，可以是底角，因此有兩套答案可選：當頂角是50°是，底角分別是65°；當?shù)捉菚r50°時，另一個底角也是50°，則頂角等于80°.于是填上正確的答案是：65°、65°或者50°、80°.
朱校華原創(chuàng)中考200606262號題：
有兩條邊分別等于5與6的等腰三角形之周長等于 .
簡析：
類似上題思考，腰長可以是5，也可以是6.于是周長可以是16或17.
值得注意的是：
等腰三角形是特殊的三角形之一，仍然遵循三角形一切屬性.比如三邊關系等.
變式一：
朱校華原創(chuàng)中考200606263號題：
有一個角等于100°的等腰三角形之其余兩角分別等于 .
參考答案：40°、40°.
變式二：
朱校華原創(chuàng)中考200606264號題：
有兩條邊分別等于3與6的等腰三角形之周長等于 .
參考答案：15.
到了九年級總復習階段，可以增加計算三角形的面積、內切圓或外接圓面積等.
二、數(shù)學分類思想的完美滲透是等腰三角形應用之首選表現(xiàn)之一.
朱校華原創(chuàng)中考200906261號題：
已知點A（-1,0）、B（0,2）,請在直線x=1上確定點C的位置，使得△ABC成為等腰三角形【溫馨提示：在直角坐標平面內，已知兩個點M（a，b）與點N（m，n）間的距離等于（a-m）2＋（b-n）2的算術平方根.】.
簡析：
必須按照AB=AC、BC=AB、BC=AC分別是腰的三種情形給予分類，不妨假設點C的坐標為（1，a）,借助于兩點間距離公式解方程立馬且得出需要的結果.
參考答案：C的坐標為（1,0）或（1,0.25）或（1,1）或（1，-1）.
接下來繼續(xù)請看朱校華原創(chuàng)中考201206262號題：
簡析：
要確定經(jīng)過點E的雙曲線對應的函數(shù)解析式，就要知曉點E的坐標.
確定點E的坐標，就離不開垂線段與兩點間的距離.
從題圖觀察發(fā)現(xiàn)：△ABC≌△ADE，結合已知條件可以看到暗藏的等腰直角△AOB，這就意味著∠ABO=45°=∠ADE，另外∠ADO=45°，于是∠ODE=90°.說明DE垂直x軸沒問題.所以點E的橫坐標就是OD的長度即4，而點E的縱坐標就是線段DE的長.
現(xiàn)在已知條件講△ADE是等腰三角形，說明△ABC肯定也是等腰三角形.
由于AB是固定的，但是AC與BC邊長隨著點C位置的變動而改變著…
當AB=AC或AB=BC或AC=BC時皆有可能，這樣得出對應的DE的長度有不同的三套答案，故所求的函數(shù)解析式就有不同的三份結果.請看簡解：
從上面的簡析中我們可以積累到這樣一些數(shù)學活動經(jīng)驗：
1）等腰三角形的“多面性”：腰的不確定性帶出等腰三角形的多面性.
2）點的坐標的確定離不開觀察：將題給數(shù)據(jù)“搬到”題圖上去可以節(jié)省時間與精力，也是數(shù)學數(shù)形結合思想的活用之一，平常做題過程中必須加以磨煉為上.
3）特殊圖形性質的巧妙使用：熟記特殊圖形的屬性含函數(shù)圖象的屬性是解題的點金術.
4）旋轉（含中心對稱）、平移、翻折（軸對稱）之單一出現(xiàn)或者組合出現(xiàn)是全等變換的先兆，提醒解題當中可能會使用相關性質.比如全等三角形對應線段相等.勿忘相似哦！
三、可怕的“暗藏等腰三角形”是解決問題中的意想不到之一.
暗藏等腰三角形是現(xiàn)今中考命題者們最熱衷去做的事之一.比如：
（一）圓中一條弦與過弦端點的兩條半徑是暗藏的一個等腰三角形.在圓的有關考題中，隨便連接兩條半徑就有可能出現(xiàn)一個新的等腰三角形，值得重視！
（二）對角線分矩形或菱形一定可以得出四個不同的等腰三角形.
（三）可操作型題（比如折疊題或作圖題等）中常暗藏等腰三角形.
下面舉例加以說明，請看朱校華原創(chuàng)中考201506263號題：
簡析：
首先應該猜到PA是圓O的切線.
其次要證明直線是圓的切線，總共兩條思路：一是“連半徑，證垂直”，二是“作垂直，證半徑”.顯然本題使用的是“連半徑，證垂直”，因為點A在圓上.
連OA，想法設法證明∠OAP=90°.
由“已知”到“可知”：不難先證明得出△PAB∽△PCA（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似），可以得出∠PAB=∠PCA；AD=AB可以得出對應的弧相等，從而對應的圓周角相等，于是∠ACD=∠PCA=45°；即∠PAB=45°.
依“未知”想“需知”：要使得∠OAP=90°，需要∠OAB=45°；想到OA是圓的半徑，再連出半徑OB，發(fā)現(xiàn)△OAB是暗藏的等腰三角形，就要∠AOB=90°；事實上：根據(jù)“一條弧所對的圓周角等于該弧所對圓心角的一半”，已經(jīng)看到∠AOB與∠ACB間的關系咯！
數(shù)學活動經(jīng)驗總結：
5）圓中真的有很多的等腰三角形.連半徑是圓中常添的輔助線之一！
6）對于圓來說，關注最多的角是圓周角與圓心角.圓周角定理與推論得熟透！
7）平常多多注重數(shù)學思維“做”與“悟”及“品”間的關聯(lián).“四基”是“祖宗”之一.
折疊題在前面的微信材料中有陳述，其中暗藏的等腰三角形較多，此略.僅僅給廣大讀者提供一道簡單的題作為練習：
朱校華原創(chuàng)中考201506264號題：
將一張長為8寬為6的矩形ABCD紙片折疊，使其對角頂點A、C重合，求折痕的長.
四、更上一層樓的等邊三角形是數(shù)學學業(yè)水平測試熱點之一.
等邊三角形是特殊的等腰三角形.
等邊三角形也叫做正三角形，是最簡單的正多邊形.
等邊三角形有三條對稱軸，每一個內角均等于60°，三條邊均相等.
等邊三角形的重心、垂心、內心、外心“四心合一”.
等邊三角形是“頂點共線三等角”模型（或基本圖形）的“祖宗”.
當我們看到30°、60°、120°、150°這樣的角時或者看到有某一條線段的長等于含有二次根式3這個數(shù)值（含一定的倍數(shù)值）時，內心或腦海就要想到等邊三角形…
請看朱校華原創(chuàng)中考201806265號題：
簡析：
連接AE，想方設法證明點D、E、A三點共線，不難得出△ACE是等腰三角形.
連接BD，直接觀察即可以看得出垂直關系.事實上△ABD就是一個等邊三角形.
由于△ABD是等邊三角形，AC成為平分邊BD的一條高所在的直線，連DF就是△ABD邊AB上的高，假設DF交AC于點H，由于三角形三條高所在的直線交于一點，作直線BH一定垂直于邊AD，由于CD⊥AD，故直線BH一定平行于CD.搞定！
等邊三角形相關計算常常離不開30°角的那塊直角三角板，所以熟記兩塊手中三角板中邊長的數(shù)量關系是解題既準又快的試金石之一，當用心搞懂之！
限于篇幅與個人能力關系，
本次雜談主要是等腰三角形性質內容到此，
更多比如等腰三角形有關判定內容待后續(xù)！
敬請多多提出寶貴意見！
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