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初中數(shù)學(xué) 專注初中數(shù)學(xué)解析

目錄：

1. 切線判定定理介紹（附書本例題及習(xí)題）；
2. 反證法證明：切線的性質(zhì)定理；
3. 切線長定理（附書本例題）；
4. 補(bǔ)充定理：弦切角定理；
5. 弦切角的基本圖介紹；

探討了圓內(nèi)部的弦與弦之間的數(shù)量和位置關(guān)系，再來探討圓外的切線和圓內(nèi)的弦、圓外的切線與切線之間的關(guān)系。

切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

簡單地說，就是：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；無切點(diǎn)，作垂直，證半徑。

2道書本習(xí)題：

例1如下圖1，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D，求證：AC是⊙O的切線。

分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是⊙O的切線，只要證明由點(diǎn)O向AC所做的垂線段OJ是⊙O的半徑就可以了，而OD是⊙O的半徑，因此需要證明OE=OD。

證明：如上圖2，過O點(diǎn)作OE⊥AC，垂足為E，連接OD、OA，

∵ ⊙O與AB相切于D，

∴ OD⊥AB，

又 △ABC是等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，

∴ AO是∠BAC的角平分線，

∴ OE=OD，即OE是⊙O的半徑 ，

這樣，AC經(jīng)過⊙O的半徑OE的外端E，并且垂直于半徑OE，

所以AC與⊙O相切。

【溫馨提示】這是從書本上抄錄過來的，建議同學(xué)回歸課本，注意對基礎(chǔ)定理的準(zhǔn)確理解以及準(zhǔn)確應(yīng)用。

例2:如下圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，

求證：直線AB是⊙O的切線。

【解析】題目明確說明了C是直線AB與圓的交點(diǎn)，連接OC則可知OC是半徑，只需證明OC⊥AB即可，

∵OA=OB，C為AB中點(diǎn)，

∴OC⊥AB，且OC=半徑，

則直線AB是⊙O的切線。

切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

書本上特意強(qiáng)調(diào)用反證法來證明。

反證法其實(shí)對學(xué)生的要求比較高，一定要通過書本的基本定理去找矛盾點(diǎn)。

已知：直線l與圓O相切于A，

求證：OA⊥l

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

寫成條件和結(jié)論的形式便是：

如圖所示，已知PA、PB為⊙O的切線，則①PA=PB；②∠1=∠2；

書本上沒說：PO垂直平分AB，因此這個不能直接使用。

弦切角定理： 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

已知：PB是⊙O的切線，BC為弦，連接PC與圓交于點(diǎn)A。

求證：∠1=∠2

如上右圖所示，利用同弧所對的圓周角相等，構(gòu)造過斜邊為直徑的RT三角形。

延長BO交⊙O于點(diǎn)A'，連接A'C，

則∠2=∠A'。

在RT△BCA'中，∠A'+∠3=90°；

OB⊥AB，得∠1+∠3=90°；

則∠1=∠A'=∠2.

同樣的，如果知道∠1=∠2，也可證明PB是⊙O的切線。

弦切角模型：

如圖所示，PB是⊙O的切線，切點(diǎn)是B，PA是割線，求證：∠1=∠2；

如圖所示，連接BO并延長交圓于點(diǎn)A’，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠2=∠A；

由PB是圓的切線可得OB⊥PB，則∠1+∠CBA’=90°；

由直徑所對的圓周角90°得∠A’+∠CBA’=90°；

則∠1=∠A’=∠2；

【弦切角的舉一反三】：

如圖所示，P是圓外一點(diǎn)，B是圓上一點(diǎn)，BC是圓內(nèi)的弦，連接并延長PC與圓交于另一點(diǎn)A，若∠1=∠2，求證：PB是圓的切線。

【濤哥解析】如下圖所示，連接BO并延長交圓于點(diǎn)A’，

根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得∠2=∠A’；

由直徑所對的圓周角90°得∠A’+∠CBA’=90°；

則∠1=∠A’=∠2；∠1+∠CBA’=90°，

則PB是圓的切線。

【示例1】如圖，△ABC中，AB=AC，線段AC的垂直平分線l交BC于D點(diǎn)，過A、B、D三點(diǎn)的⊙O交直線l于E點(diǎn)，求證：AC是⊙O的切線。

【濤哥解析】如圖所示，只需從條件中導(dǎo)出∠1=∠3即可。

由對稱可得：∠1=∠2，由AB=AC可得：∠2=∠3，

由同弧AD所對的圓周角相等可得：∠3=∠4，

則∠1=∠2=∠3=∠4（只需∠1=∠3既可以），

后面的按照弦切角的反證去寫就可以了。

【示例2】如圖，直線CD⊥弦AB，∠1=∠2，求證：PA為⊙O的切線。

【濤哥解析】利用弦切角的知識證明切線，只需要證明∠1=∠3即可。

OE⊥AB可得：弧AC＝弧BC，則∠2=∠3，又∠1=∠2，則∠2=∠3.

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